--- title: "3 · Expected Shortfall และมาตรวัดความเสี่ยงแบบ coherent" description: นิยาม ES สองแบบ การพิสูจน์ ES ของ Normal อัตราส่วน ES/VaR สัจพจน์ coherence และเหตุที่ FRTB เลือก ES 97.5% inline_math: true --- # 3 · Expected Shortfall และมาตรวัดความเสี่ยงแบบ coherent

VaR บอกว่าประตูสู่หางอยู่ตรงไหน ES บอกว่าข้างในหางมีอะไร บทนี้พิสูจน์สูตร ES ของ Normal ทีละขั้น และแสดงว่าทำไม ES จึงรวมความเสี่ยงข้ามพอร์ตได้ แต่ VaR ทำไม่ได้

อ้างอิงต้นฉบับ: หน้า 6–8 · เปิด PDF หน้า 6

## 3.1 นิยามสองแบบที่เทียบเท่ากัน $$ \begin{aligned} \operatorname{ES}_c(X)&=\mathbb E\big[X\mid X\le\operatorname{VaR}_c(X)\big] &&(\text{ค่าคาดหวังของหางแบบมีเงื่อนไข})\\ \operatorname{ES}_c(X)&=\frac{1}{1-c}\int_0^{1-c}\operatorname{VaR}_u(X)\,du &&(\text{ค่าเฉลี่ยของเปอร์เซ็นไทล์ในหาง}) \end{aligned} $$ นิยามแรก: **เมื่อรู้ว่า** อยู่ในหางแล้ว ผลขาดทุนเฉลี่ยเป็นเท่าไร นิยามที่สอง: เฉลี่ย VaR ทุกระดับในหาง (99%, 99.1%, 99.2%, … 99.99%, …) สำหรับการแจกแจงต่อเนื่องทั้งสองให้ผลเท่ากัน สำหรับการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง แบบที่สองแข็งแรงกว่า (coherent เสมอ) ทั้งสองแบบเป็น **model-free** ส่วนสูตรใช้งานจริงขึ้นกับการแจกแจงของ $X$ สรุปสั้น ๆ: **VaR คือประตูสู่หาง ES บอกว่าข้างในมีอะไร** ## 3.2 พิสูจน์ ES ของ Normal ทีละขั้น **ทาง A: จากค่าเฉลี่ยของเปอร์เซ็นไทล์ในหาง** เขียนอินทิกรัลใหม่บนหางด้านบน แทน $\operatorname{VaR}_u=\mu+\sigma\Phi^{-1}(1-u)$ แล้วดึงค่าเฉลี่ยออก $$ \operatorname{ES}_c=\frac{1}{1-c}\int_c^1\big(\mu+\sigma\Phi^{-1}(1-u)\big)du=\mu+\frac{\sigma}{1-c}\int_c^1\Phi^{-1}(1-u)\,du $$ แทน $u=\Phi(z)$, $du=\varphi(z)dz$ ขอบเขต $[c,1]\mapsto[\Phi^{-1}(c),\infty)$ และใช้ความสมมาตร $\Phi^{-1}(1-\Phi(z))=-z$ $$ =\mu-\frac{\sigma}{1-c}\int_{\Phi^{-1}(c)}^{\infty}z\,\varphi(z)\,dz $$ เคล็ดลับสำคัญ: antiderivative ของ $z\varphi(z)$ คือ $-\varphi(z)$ เพราะ $\frac{d}{dz}e^{-z^2/2}=-z\,e^{-z^2/2}$ และที่ขอบบน $\varphi(\infty)=0$ ดังนั้น $$ \boxed{\operatorname{ES}_c=\mu-\sigma\,\frac{\varphi\big(\Phi^{-1}(c)\big)}{1-c}} \qquad c=99\%:\ \frac{\varphi(-2.32635)}{0.01}=\frac{0.026652}{0.01}=2.6652\ \Rightarrow\ \operatorname{ES}_{99\%}=\mu-2.6652\,\sigma $$ **ทาง B: โมเมนต์แรกของหาง ÷ ความน่าจะเป็นของหาง** ค่าเฉลี่ยหาง $=\int_{-\infty}^{\mu-n\sigma}x f(x)\,dx\ /\ \int_{-\infty}^{\mu-n\sigma}f(x)\,dx$ ตัวหารคือมวลของหาง $1-c$ ตัวตั้งคือโมเมนต์แรกของหาง การแทน $x=\mu-z\sigma$ ให้ผลเดียวกัน ตอบสัมภาษณ์ด้วยทางไหนก็ได้ สูตร “inverse CDF อยู่ใน PDF” ($\varphi(\Phi^{-1}(c))$) ดูแปลกจนกว่าจะแทนตัวเลข: หาเปอร์เซ็นไทล์ −2.326 ก่อน แล้วอ่านความสูงของความหนาแน่นที่จุดนั้น 0.02665
PDF ของ Normal มาตรฐานบนแกน P&L มาตรฐาน มีเส้นทึบที่ VaR99% = −2.3263σ และเส้นประที่ ES99% = −2.6652σ พื้นที่หาง 1% ระบายสีแดง
ภาพที่ 2 (ต้นฉบับ Figure 2) VaR 99% (เส้นทึบ) และ ES 99% (เส้นประ) ภายใต้ Normal มาตรฐาน ES คือจุดศูนย์ถ่วงของหางที่ระบายสี

ตัวอย่างคำนวณ 3 · หางที่เลย 2σ

สัดส่วนของหางซ้ายของ Normal มาตรฐานที่เลย −2σ คือ $\Phi(-2)=2.275\%$ หรือความเชื่อมั่น 97.725% ค่าเฉลี่ยของหางนั้นคือ $-\varphi(2)/\Phi(-2)=-0.05399/0.02275=-2.373$ ในโลกแบบ Normal ผลขาดทุนเฉลี่ยที่เลย 2σ แย่กว่า 2σ เพียงประมาณ 19% เท่านั้น: หางของ Normal บาง
## 3.3 อัตราส่วน ES/VaR บอกความหนาของหาง $$ \rho_c=\frac{\operatorname{ES}_c}{\operatorname{VaR}_c} \qquad \text{Normal}(\mu=0):\ \rho_c=\frac{\varphi(z_c)}{(1-c)\,|z_c|}\xrightarrow{\;c\to1\;}1; \qquad \text{GPD tail}:\ \rho\xrightarrow{\;\operatorname{VaR}\gg u\;}\frac{1}{1-\xi} $$ $\rho$ ไม่มีหน่วย: วัดว่ามวลหลังประตูอยู่ห่างจากประตูแค่ไหน ภายใต้ Normal ค่า $\rho$ อยู่ระดับปานกลาง (1.146 ที่ 99%) และ **ค่อย ๆ ลดลงเข้าหา 1** เมื่อ $c\to1$ (ตารางใน §2.2) ยิ่งลึก หางของ Normal ยิ่งดูบาง สำหรับหางแบบ power-law (หางหนา) $\rho$ ลู่เข้าสู่ค่าคงที่ $1/(1-\xi)>1$: หางไม่บางลงเลย ตัวตั้ง $\int x f(x)\,dx$ อาจระเบิดได้สำหรับหางหนา ขณะที่ตัวหาร (มวลของหาง) ยังมีค่าจำกัด นี่คือเหตุที่ ES อาจไม่มีนิยาม ($\xi\ge1$) แม้ VaR จะมีอยู่เสมอ ช่วงของ Hull $\xi\in[0.1,0.4]$ ทำให้ ρ อยู่ระหว่าง 1.1 ถึง 1.7 หมายเหตุ: สไลด์ของคอร์สอธิบายว่า ρ ของ Gaussian “คงที่ทุกค่า c” ที่ถูกต้องคือมีค่าปานกลางและค่อย ๆ ลดลงเข้าหา 1 ซึ่งเป็นจุดที่ต่างจากลิมิตคงที่ของหางหนา | $\xi$ | ลักษณะหาง | $\rho\approx$ | |---|---|--:| | 0.10 | ขอบล่างของช่วง Hull | 1.11 | | 0.25 | ปานกลาง | 1.33 | | 0.40 | ขอบบนของช่วง Hull | 1.67 | | 0.50 | ES = 2×VaR | 2.00 | | →1 | แบบ Cauchy, ES ไม่มีขอบเขต | →∞ | ## 3.4 Coherence และ subadditivity Artzner et al. (1999) นิยามมาตรวัดความเสี่ยงแบบ coherent $\rho(\cdot)$ (บนผลขาดทุนที่เป็นบวก) ด้วยสัจพจน์สี่ข้อ 1. **Monotonicity**: พอร์ตที่ขาดทุนมากกว่าเสมอไม่ได้เสี่ยงน้อยกว่า 2. **Subadditivity**: $\rho(X+Y)\le\rho(X)+\rho(Y)$ การรวมพอร์ตไม่เพิ่มความเสี่ยง หรือก็คือการกระจายความเสี่ยง 3. **Positive homogeneity**: สถานะเพิ่มเป็นสองเท่า ความเสี่ยงเพิ่มเป็นสองเท่า 4. **Translation invariance**: เพิ่มเงินสด $m$ ความเสี่ยงลดลง $m$ ES ผ่านทั้งสี่ข้อ ส่วน VaR โดยทั่วไปไม่ผ่านข้อ 2 (ยกเว้นการแจกแจง Normal หรือ elliptical) Subadditivity ทำให้เงินกองทุนตาม ES แยกและรวมข้ามโต๊ะเทรดได้อย่างสะอาด

ตัวอย่างคำนวณ 4 · การผิดนัดชำระแบบไม่ต่อเนื่อง

พันธบัตรอิสระสามตัว A, B, C มูลค่าหน้าตั๋ว £1,000 ต่อตัว ความน่าจะเป็นผิดนัด 0.5% ต่อตัว ผลขาดทุนเมื่อผิดนัดเท่ากับมูลค่าหน้าตั๋ว การแจกแจงผลขาดทุนของพอร์ตอยู่ในตารางด้านล่าง **VaR**: พันธบัตรตัวเดียวผิดนัดด้วยความน่าจะเป็น 0.5% < 1% ดังนั้น $\operatorname{VaR}_{99}(A)=$ £0 สำหรับพอร์ต ความน่าจะเป็นสะสมที่ £0 มีเพียง 98.51% < 99% ดังนั้น $\operatorname{VaR}_{99}(ABC)=$ £1,000 > 0+0+0 **VaR ละเมิด subadditivity**: การกระจายความเสี่ยง “เพิ่ม” VaR **ES**: สำหรับพันธบัตรตัวเดียว ครึ่งหนึ่งของหาง 1% คือผลขาดทุน £1,000 และอีกครึ่งคือ £0 ดังนั้น $\operatorname{ES}(A)=0.005\times1000/0.01=$ £500 สำหรับพอร์ต การผิดนัด 2 และ 3 ตัวครองความน่าจะเป็น 0.0075% และ 0.0000125% มวลแบบมีเงื่อนไขที่เหลือ 0.992525 คือการผิดนัดหนึ่งตัว: $\operatorname{ES}(ABC)=$ £1,007.49 ≤ £1,500 **ES เป็น subadditive** สังเกตว่าการคำนวณถือหางเป็น 1% ของความน่าจะเป็นพอดี โดยแบ่งก้อน £1,000 ณ จุดที่คร่อมเปอร์เซ็นไทล์ที่ 99 นี่คือนิยาม “ค่าเฉลี่ยของเปอร์เซ็นไทล์ในหาง” ที่ทำงานอยู่ และเป็นเหตุที่นิยามนี้เหมาะกับ P&L แบบไม่ต่อเนื่อง | จำนวนผิดนัด | ผลขาดทุน | ความน่าจะเป็น | สะสม | |---|--:|--:|--:| | 0 | £0 | 98.5075% | 98.5075% | | 1 | £1,000 | 1.4850% | 99.9925% | | 2 | £2,000 | 0.0075% | ≈100% | | 3 | £3,000 | 0.0000125% | 100% |
## 3.5 ทำไม FRTB เลือก ES 97.5% ภายใต้ Normal ตัวคูณ ES 97.5% คือ 2.338 เกือบเท่าตัวคูณ VaR 99% คือ 2.326 สำหรับการแจกแจงที่ประพฤติดี เงินกองทุนแทบไม่เปลี่ยน แต่สำหรับพอร์ตหางหนา ES 97.5% สูงกว่า VaR 99% อย่างมีนัยสำคัญ มันลงโทษรูปร่างของหางตรงจุด นี่คือตรรกะการ calibrate เบื้องหลังการเปลี่ยนของ Basel จาก VaR 99% ไปเป็น ES 97.5% ราคาที่ต้องจ่ายคือ backtest ยากขึ้น ES เป็นค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข ไม่ใช่เหตุการณ์แบบสองค่า และไม่เป็น *elicitable* (Gneiting 2011) จึงไม่มีการทดสอบที่สะอาดเท่าการนับ breach FRTB จึงยังคง backtest **VaR** ที่ 97.5% และ 99% ขณะที่วัดเงินกองทุนด้วย ES

เทียบกฎเกณฑ์ · Expected Shortfall

| กรอบ | ข้อกำหนด | |---|---| | UCITS | ไม่บังคับ ES; CESR สนับสนุนให้เสริม VaR สำหรับกลยุทธ์หางหนา (arbitrage, structured) โดย ES เป็นตัวเลือกที่พบบ่อย | | AIFMD | ไม่บังคับ; ผู้จัดการอาจใช้ ES เป็นตัวชี้วัดขีดจำกัดภายใน โดยระบุในนโยบายความเสี่ยง | | MiFID II | ผ่าน IFR/CRR สำหรับ trading book ของบริษัทหลักทรัพย์ขนาดใหญ่: internal model ของ FRTB ใช้ ES 97.5% (สหภาพยุโรปตั้งแต่ 2027) |
## ห้องทดลอง: VaR, ES และ Cornish–Fisher ปรับระดับความเชื่อมั่น ความผันผวน ช่วงเวลา และพารามิเตอร์ความเบ้/ความโด่ง เพื่อดูว่าตัวคูณเปลี่ยนอย่างไร ห้องทดลองนี้ใช้สูตรในบทที่ 2, 3 และ §6.1 กับพอร์ตสมมติ ไม่ใช่ข้อมูลตลาด