---
title: "1 · พื้นฐาน: ผลตอบแทน ความผันผวน และการปรับตามเวลา"
description: ทำไมใช้ log-return, ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนยกกำลังสอง, กฎรากที่สองของเวลา และความผันผวนของพอร์ต
inline_math: true
---

<div class="part-banner">
<p class="eyebrow">Part I · 1 วัน ถึง 1 เดือน</p>
<p><strong>การติดตามความเสี่ยงระยะสั้น (Short-Term Risk Monitoring)</strong> ตอบคำถามว่า “ในตลาดปกติ เราขาดทุนได้เท่าไร” อาศัยการแจกแจงและควอนไทล์ คำนวณทุกวันพร้อม backtest รายเดือน และเป็นฐานของ UCITS global exposure และเงินกองทุนสำหรับความเสี่ยงด้านตลาดของธนาคาร</p>
</div>

# 1 · พื้นฐาน: ผลตอบแทน ความผันผวน และการปรับตามเวลา

<p class="lead">ก่อนคำนวณ VaR ต้องตกลงสามเรื่องให้ชัด: วัดผลตอบแทนแบบไหน ความผันผวนรายวันมาจากไหน และขยายจาก 1 วันเป็น h วันได้อย่างไร</p>

<p class="source-note">อ้างอิงต้นฉบับ: หน้า 3–4 · <a href="downloads/market-risk-handbook.pdf#page=4">เปิด PDF หน้า 3</a></p>

## 1.1 ทำไมต้องใช้ log-return

[Log-return](glossary.md#log-return) $u_t=\ln(S_t/S_{t-1})$ **บวกกันได้ตามเวลา** ผลตอบแทน 10 วันคือผลรวมของผลตอบแทนรายวันสิบวัน

$$
r_{10D,t}=\ln\!\left(\frac{S_{t+10}}{S_t}\right)=\sum_{i=1}^{10}u_{t+i}
$$

คุณสมบัตินี้เองที่ทำให้ความแปรปรวนบวกกันได้และความผันผวนขยายตาม $\sqrt{h}$ สำหรับข้อมูลรายวัน log-return กับ simple return มีค่าใกล้กัน แต่ส่วนต่างจะมีนัยสำคัญที่ระยะ 10 วันและในช่วงตลาดถูกเทขายหนัก

## 1.2 ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนยกกำลังสอง

$$
\hat\sigma^2_{1D}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(u_i-\bar u)^2
\;\xrightarrow{\;\bar u\approx 0\;}\;
\hat\sigma^2_{1D}\approx\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}u_i^2
$$

ค่าเฉลี่ยรายวัน (ประมาณ 0.03%) เล็กกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรายวัน (ประมาณ 1%) มากกว่าสิบเท่า และค่าคลาดเคลื่อนของการประมาณค่าเฉลี่ยสูงมาก ($\text{s.e.}=\sigma/\sqrt{n}$) ผู้บริหารความเสี่ยงจึงกำหนด $\mu\to 0$ ทำให้ความแปรปรวนเหลือเพียงค่าเฉลี่ยธรรมดาของผลตอบแทนยกกำลังสอง การลดรูปนี้คือกุญแจของ [EWMA](glossary.md#ewma) ซึ่งเพียงแทนค่าเฉลี่ยธรรมดาด้วยค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ไม่ว่าหน้าต่างจะมีข้อมูล 21, 42 หรือ 66 ค่า $\sigma$ ที่ได้ก็ยังเป็นค่า **รายวัน** เสมอ ความยาวหน้าต่าง $n$ ควบคุมความไวและสัญญาณรบกวน ส่วนช่วงเวลา $h$ ควบคุมการขยายตามเวลา ทั้งสองเป็นคนละแนวคิดกัน

## 1.3 กฎรากที่สองของเวลาและการทำเป็นรายปี

$$
\sigma_{hD}=\sqrt{\sigma^2_{1D}+\cdots+\sigma^2_{1D}}=\sigma_{1D}\sqrt{h},\qquad
\mu_{hD}=h\,\mu_{1D},\qquad
\sigma_{1Y}=\sigma_{1D}\sqrt{252}
$$

<div class="box box-deep">
<p class="box-label">เจาะลึก · √h เป็นผลมาจาก log หรือไม่</p>

ไม่ทั้งหมด มีสองชั้นที่ทำหน้าที่ต่างกัน

- **log ทำให้ผลตอบแทนบวกกันได้**: log-return หลายวันคือผลรวมของรายวัน $r_{hD}=u_1+\cdots+u_h$ ชั้นนี้แค่แปลงปัญหาให้เป็นผลบวก
- **√h เป็นเรื่องทางสถิติ**: ความแปรปรวนของผลบวกนั้นโตอย่างไรขึ้นกับว่าแต่ละพจน์สัมพันธ์กันอย่างไร

ตัวคูณจะเป็น √h หรือไม่ ชั้นที่สองเป็นผู้ตัดสิน ถ้าใช้ simple return ผลลัพธ์ก็ยังใช้ได้โดยประมาณเมื่อการเคลื่อนไหวรายวันเล็ก ส่วน log เพียงทำให้การบวกเป็นจริงแบบแม่นตรง

</div>

$$
\operatorname{Var}\!\Big(\sum_{i=1}^{h}u_i\Big)=\sum_{i=1}^{h}\operatorname{Var}(u_i)+2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(u_i,u_j)
\;\xrightarrow{\;\operatorname{Cov}=0,\ \operatorname{Var}(u_i)=\sigma^2\;}\;h\sigma^2
\;\Rightarrow\;\sigma_{hD}=\sigma\sqrt{h}
$$

ดังนั้น √h ต้องการสองเงื่อนไข (1) ผลตอบแทนรายวัน **ไม่มีสหสัมพันธ์กัน** (พจน์ covariance เป็นศูนย์ ข้อนี้คือหัวใจ และ **ไม่จำเป็น** ต้องเป็น Normal) (2) ความแปรปรวนรายวัน **คงที่** (มิฉะนั้นต้องใช้ $\sqrt{\sigma_1^2+\cdots+\sigma_h^2}$) สรุปในบรรทัดเดียว: **log ทำให้ผลตอบแทนบวกกันได้; “ไม่มีสหสัมพันธ์และความแปรปรวนเท่ากัน” ทำให้ความแปรปรวนบวกกันได้; √h ตามมาจากข้อหลัง**

<div class="box box-practice">
<p class="box-label">ในทางปฏิบัติ · เมื่อ √h ใช้ไม่ได้</p>

1. **Autocorrelation**: momentum (สหสัมพันธ์บวก) ทำให้ความผันผวน 10 วันจริงสูงกว่า √10 เท่าของรายวัน ส่วน mean reversion ทำให้ต่ำกว่า ทดสอบด้วย variance ratio $VR(h)=\operatorname{Var}(r_{hD})/\big(h\operatorname{Var}(r_{1D})\big)$ เทียบกับ 1 (Lo–MacKinlay)
2. **Volatility clustering**: σ ที่สูงวันนี้หมายถึงสูงในวันถัด ๆ ไป σ × √10 ของวันนี้จึงประเมินความเสี่ยงต่ำเกินไปขณะความผันผวนกำลังเพิ่ม และสูงเกินไปขณะกำลังลด EWMA สมมติโครงสร้างตามระยะเวลาแบบแบน ส่วน GARCH ค่อย ๆ กลับสู่ค่าเฉลี่ยระยะยาว
3. **Fat tails**: √h ขยาย σ ไม่ได้ขยายควอนไทล์โดยตรง ผลรวมของผลตอบแทนรายวันที่หางหนาจะเข้าใกล้ Normal (ทฤษฎีบทลิมิตกลาง) หาง 10 วันจึงบางลงโดยเปรียบเทียบ และ VaR 1 วัน × √10 จะ **ประเมินควอนไทล์สุดขั้วสูงเกินไป**
4. **ค่าเฉลี่ย**: ค่าเฉลี่ยโตตาม h ส่วน σ โตตาม √h ที่ระยะสั้นค่าเฉลี่ยแทบไม่มีผล แต่สำคัญขึ้นเมื่อ h ยาวขึ้น นี่คือเหตุผลหนึ่งที่ VaR เป็นมาตรวัดระยะสั้น
5. **สถานะคงที่**: √10 สมมติว่าไม่มีการซื้อขายหรือ hedge ตลอดสิบวัน ในความจริงพอร์ตถูกลดหรือ hedge จึงเป็นเหตุผลที่ FRTB ใช้ liquidity horizon ตามปัจจัยเสี่ยง (10–120 วัน)
6. **ความสะดวกด้านกฎเกณฑ์**: Basel ให้ใช้ √10 แปลง VaR 1 วันเป็น 10 วัน เพราะการประมาณผลตอบแทน 10 วันโดยตรงต้องใช้ข้อมูลมาก ตัวอย่างที่ไม่ซ้อนกันมีเพียงหนึ่งในสิบ ส่วนตัวอย่างที่ซ้อนกันก่อให้เกิด serial correlation (§7.2) √10 จึงเป็นการประมาณที่ยอมรับได้ ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่แม่นตรง

สิ่งที่ต้องตรวจในทางปฏิบัติคือ “ไม่มีสหสัมพันธ์และความแปรปรวนเท่ากัน” เป็นจริงสำหรับข้อมูลและช่วงเวลาของเราหรือไม่

</div>

## 1.4 ความผันผวนของพอร์ตโฟลิโอ

$$
\sigma^2_\Pi=\mathbf w'\Sigma\mathbf w,\qquad
\text{สองสินทรัพย์ (หน่วยเงิน)}:\ \sigma^2_\Pi=\sigma_X^2+2\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y+\sigma_Y^2
$$

<div class="box box-example">
<p class="box-label">ตัวอย่างคำนวณ 1–2 · Analytical VaR</p>

**ตัวอย่าง 1**: สถานะ £5,000,000 ความผันผวนรายวัน 1% ความผันผวนรายปี $0.01\sqrt{252}\approx 15.9\%$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 วัน $0.01\sqrt{10}=3.16\%$ ดังนั้น VaR 99%/10 วัน $=2.326\times 0.0316\times 5{,}000{,}000\approx$ **£367,800** (£368,400 ถ้าใช้ตัวคูณปัดเศษ 2.33)

**ตัวอย่าง 2**: สองสินทรัพย์ สินทรัพย์ละ £100,000 ความผันผวนรายวัน 1% ทั้งคู่ (£1,000) สหสัมพันธ์ 0.3 จะได้ $\sigma^2_\Pi=2.6\times10^6$ และ $\sigma_\Pi=$ £1,612.45 VaR 99%/5 วัน $=2.33\times1612.45\times\sqrt5\approx$ **£8,401** ถ้าสหสัมพันธ์เป็น 1 VaR จะเป็น £10,420 ส่วนต่างนี้คือประโยชน์จากการกระจายความเสี่ยง (diversification benefit)

</div>

<div class="box box-practice">
<p class="box-label">ในทางปฏิบัติ · อย่าแปลง VaR เป็นรายปี</p>

VaR และ ES เป็นมาตรวัด **ระยะสั้น** (1 วัน, 10 วัน) ตลอดหกเดือนหรือหนึ่งปี พอร์ตถูกปรับสมดุลและสมมติฐานเรื่องการแจกแจงเปลี่ยนไป VaR 6 เดือนหรือ 1 ปีจึงแทบไม่มีความหมาย ใช้ stress test สำหรับระยะกลาง (Part II) และ drawdown กับ scenario analysis สำหรับระยะยาว (Part III) เครื่องมือเหล่านี้ไม่มีช่วงเวลาตายตัวตามการแจกแจง แต่สะท้อนสิ่งที่นักลงทุนประสบจริง

</div>