---
title: "4 · ความผันผวน: Rolling Window, EWMA และ GARCH"
description: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบหน้าต่างเลื่อน, EWMA ของ RiskMetrics, การเลือก λ และ GARCH(1,1) เทียบ EWMA
inline_math: true
---

# 4 · ความผันผวน: Rolling Window, EWMA และ GARCH

<p class="lead">VaR = ตัวคูณ × ความผันผวน บทนี้ว่าด้วยครึ่งหลังของสมการ: จะประมาณ σ ของวันพรุ่งนี้จากข้อมูลวันนี้อย่างไร และแต่ละวิธีแลกความไวกับความเสถียรอย่างไร</p>

<p class="source-note">อ้างอิงต้นฉบับ: หน้า 8–10 · <a href="downloads/market-risk-handbook.pdf#page=9">เปิด PDF หน้า 8</a></p>

## 4.1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบ rolling window

วิธีที่ง่ายที่สุด: ทุกวันคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างจากผลตอบแทนรายวัน $n$ ค่าล่าสุด (Excel `STDEV.S`) แล้วเลื่อนหน้าต่างไปทีละหนึ่งค่า ตัวอย่างในคอร์สใช้ $n=21$ (ประมาณหนึ่งเดือน) และช่วง backtest มากกว่า 200 วันทำการ

- $n$ สั้นเกินไป (10–15): ค่าประมาณมีสัญญาณรบกวน VaR กระโดด
- $n$ ยาวเกินไป (60–100): ไม่ไวต่อความผันผวนล่าสุด breach กระจุกตัวช่วงต้นวิกฤต
- ตัวคูณ Normal สมมติว่ามีข้อมูลอย่างน้อยประมาณ 25 ค่า

จุดอ่อน: น้ำหนักเท่ากันภายในหน้าต่าง และเป็นศูนย์นอกหน้าต่าง shock หนึ่งครั้งดันความผันผวนขึ้นเมื่อเข้าหน้าต่าง และทำให้ลดลง **ทันที** เมื่อหลุดออกไปในอีก $n$ วัน (“ghost effect”)

## 4.2 EWMA (RiskMetrics)

$$
\sigma_t^2=\lambda\,\sigma_{t-1}^2+(1-\lambda)\,u_{t-1}^2
\quad\Longleftrightarrow\quad
\sigma_t^2=(1-\lambda)\sum_{i\ge1}\lambda^{i-1}u_{t-i}^2,
\qquad
\tau_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\lambda}
$$

[EWMA](glossary.md#ewma) ย่อมาจาก Exponentially Weighted Moving Average มันเป็น “ตัวกรองความน่าจะเป็น” ที่ชั่งน้ำหนักระหว่าง **ความเชื่อเดิม (prior)** คือความแปรปรวนเมื่อวาน $\sigma_{t-1}^2$ กับ **ข่าวใหม่** คือผลตอบแทนยกกำลังสองเมื่อวาน $u_{t-1}^2$ โดยใช้ $\lambda$

- $\lambda$ ต่ำ: ให้น้ำหนักข่าวมากขึ้น ไวมาก แต่ procyclical และมีสัญญาณรบกวนมากขึ้น
- $\lambda$ สูง: ให้น้ำหนักความเชื่อเดิมมากขึ้น ตอบสนองช้า ใกล้เคียงหน้าต่างยาว

RiskMetrics (J.P. Morgan, 1994) ใช้ $\lambda=0.94$ สำหรับข้อมูลรายวัน มี half-life ประมาณ 11.2 วัน; $\lambda=0.97$ ให้ประมาณ 22.8 วัน และข้อมูลที่เก่ากว่า 60–80 วันแทบไม่มีผล EWMA ไม่มีหน้าต่างตายตัว จึงไม่มี ghost effect

<figure class="source-figure"><img src="assets/images/source-figures/figure-03.png" alt="กราฟน้ำหนักบนผลตอบแทนยกกำลังสองในอดีตตาม lag: EWMA λ=0.94 เริ่มราว 6% และลดลงเร็ว, λ=0.97 เริ่มราว 3% และลดลงช้า, น้ำหนักเท่ากัน 21 ค่าคงที่ราว 4.8% แล้วตกเป็นศูนย์ในวันที่ 22" width="1102" height="461" loading="lazy"><figcaption>ภาพที่ 3 (ต้นฉบับ Figure 3) น้ำหนักบนผลตอบแทนยกกำลังสองในอดีต EWMA ลดลงอย่างราบรื่น ส่วนหน้าต่าง 21 วันตกเป็นศูนย์ในวันที่ 22</figcaption></figure>

<div class="box box-practice">
<p class="box-label">ในทางปฏิบัติ · รายละเอียดการติดตั้ง EWMA สามข้อ</p>

1. **ค่าเริ่มต้น**: กำหนด $\sigma_0^2$ ด้วยค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนยกกำลังสองในประวัติยาว (เช่น 250 วันแรก) ถ้ามีช่วง burn-in ยาวพอ ค่าเริ่มต้นจะไม่มีผล (≈150+ วันสำหรับ λ=0.97)
2. **การจัดดัชนีเวลา**: $\sigma_{t\mid t-1}$ ต้องใช้ผลตอบแทนถึง $t-1$ เท่านั้นจึงจะเป็นการพยากรณ์จริง ถ้ารวม $u_t$ จะได้ค่าประมาณย้อนหลัง (ex-post) และเกิด look-ahead bias ใน backtest งานวิจัยของ Bank of England แสดงว่าสองแบบให้ผล FHS ต่างกัน
3. **การเลือก λ**: calibrate ให้จำนวน breach ตรงกับทฤษฎี หรือให้ residual ที่ถูก devolatilise ดูเป็น i.i.d. แต่ระวัง over-fitting ชีต RiskMetrics ใน workbook ของคอร์สใช้ λ=0.88 เพื่อแสดงความไวเท่านั้น

</div>

<div class="box box-practice">
<p class="box-label">ในทางปฏิบัติ · การกำหนดน้ำหนักเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วย λ</p>

**1. การคำนวณสองแบบที่เทียบเท่ากัน**: สูตรเวียนเกิด $\sigma_t^2=\lambda\sigma_{t-1}^2+(1-\lambda)u_{t-1}^2$ ใช้เพียงความแปรปรวนและผลตอบแทนของเมื่อวาน เขียนสูตร Excel เดียวแล้วลากลง; รูปแบบชัดแจ้ง $\sigma_t^2=\sum_i w_i u_{t-i}^2$ โดย $w_i=(1-\lambda)\lambda^{i-1}$ เมื่อมีข้อมูลจำกัด ($n$ ค่า) น้ำหนักรวมกันได้ $1-\lambda^n$ จึงต้อง **normalise**: $w_i=(1-\lambda)\lambda^{i-1}/(1-\lambda^n)$ ที่ λ = 0.94 การตัดที่ 250 วันแทบไม่มีผล แต่ที่ λ = 0.99 มีผล

**2. การเลือก λ**:

| วิธี | ทำอย่างไร |
|---|---|
| ธรรมเนียมอุตสาหกรรม | RiskMetrics: 0.94 รายวัน, 0.97 รายเดือน |
| จาก half-life | $\lambda=0.5^{1/\tau_{1/2}}$; half-life 20 วันได้ λ ≈ 0.966 |
| จากค่าเฉลี่ยของ lag | lag เฉลี่ยของน้ำหนัก $1/(1-\lambda)$: ประมาณ 17 วันที่ 0.94 และ 33 วันที่ 0.97 |
| Fit เชิงสถิติ | ทำให้ความคลาดเคลื่อนกำลังสองของการพยากรณ์ $\sigma^2$ เทียบ $u^2$ ที่เกิดจริงต่ำสุด หรือใช้ maximum likelihood |
| Calibrate ด้วย backtest | อัตรา breach ใกล้ทฤษฎีโดยไม่กระจุกตัว |

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมต้องใช้ **λ ร่วมค่าเดียว** ข้ามสินทรัพย์ มิฉะนั้นเมทริกซ์อาจไม่เป็น positive semi-definite และความแปรปรวนของพอร์ตอาจติดลบได้ แต่งานวิจัยของ Bank of England พบว่า λ “ที่เหมาะสม” ต่างกันตามสินทรัพย์ (WTI 1.00, Gasoil 0.958, NatGas 0.973) เป็นการแลกเปลี่ยนที่ต้องบริหาร

**3. ค่าเริ่มต้น**: กำหนด $\sigma_0^2$ ด้วยค่าเฉลี่ยผลตอบแทนยกกำลังสองของ 1–2 ปีแรก และเผื่อ burn-in ราว 5 เท่าของ half-life (≈60 วันที่ λ = 0.94, ≈115 วันที่ 0.97)

**4. ใน historical simulation**: ให้ scenario ที่มาจาก $i$ วันก่อนมีน้ำหนักที่ normalise แล้ว เรียง P&L จากแย่สุดไปดีสุด scenario ที่น้ำหนักสะสมถึง 1% เป็นครั้งแรกคือ VaR 99% (กล่องเจาะลึกหลัง §5.2)

**5. พารามิเตอร์แบบอื่น**: น้ำหนักเอ็กซ์โพเนนเชียลกำหนดด้วย half-life หรือความยาวหน้าต่างประสิทธิผลก็ได้ ทั้งหมดแปลงกันได้; GARCH เพิ่มพจน์ระยะยาว ω บนโครงสร้าง λ (§4.3)

</div>

## 4.3 GARCH(1,1) เทียบกับ EWMA

$$
\sigma_{t+1}^2=\omega+\alpha\,r_t^2+\beta\,\sigma_t^2,
\qquad
\bar\sigma^2=\frac{\omega}{1-\alpha-\beta},
\qquad
\text{EWMA}=\text{GARCH เมื่อ }\omega=0,\ \alpha=1-\lambda,\ \beta=\lambda
$$

GARCH ย่อมาจาก Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity: ความผันผวนเปลี่ยนตามเวลา (conditional heteroskedasticity) และขึ้นกับผลตอบแทนและความแปรปรวนในอดีต (autoregressive) Bollerslev (1986) ขยายแบบจำลอง ARCH ของ Engle (1982) โดยเพิ่มพจน์ความแปรปรวนที่ lag

| | EWMA | GARCH(1,1) |
|---|---|---|
| พารามิเตอร์ | หนึ่งตัว: λ | สามตัว: ω, α, β (MLE) |
| Mean reversion | ไม่มี; การพยากรณ์แบนทุกช่วงเวลา | มี กลับสู่ $\bar\sigma^2$ ด้วยความเร็ว α+β |
| โครงสร้างตามช่วงเวลา | $\sigma_{hD}=\sigma\sqrt h$ | $\sum_k\big[\bar\sigma^2+(\alpha+\beta)^{k-1}(\sigma^2_{t+1}-\bar\sigma^2)\big]$ |
| มุมมองผู้ปฏิบัติงาน | ง่าย โปร่งใส เหมือนกันทุกสินทรัพย์ แต่ procyclical มากกว่า | พารามิเตอร์มากกว่า ค่าประมาณไม่เสถียร การพยากรณ์ถูกดึงเข้าหาค่าเฉลี่ยระยะยาว อาจตอบสนองต่ำเกินไปในวิกฤต |

<div class="box box-deep">
<p class="box-label">เจาะลึก · ทำไมผู้ปฏิบัติงานชอบ EWMA</p>

ในทางวิชาการ mean reversion ของ GARCH “ถูกต้อง” กว่า แต่การบริหารความเสี่ยงสนใจความผันผวนในช่วง **หนึ่งหรือสองสัปดาห์ข้างหน้า** เมื่อวิกฤตปะทุ การพยากรณ์ของ GARCH ถูกดึงกลับหาค่าเฉลี่ยระยะยาวและดูต่ำเกินไปในจังหวะที่ต้องการความระมัดระวังที่สุด พารามิเตอร์สามตัวยังต้องประมาณใหม่เป็นระยะข้ามปัจจัยเสี่ยงหลายร้อยตัว EWMA มีพารามิเตอร์เดียว ไม่มีความคลาดเคลื่อนจากการประมาณค่า และเหมือนกันทุกปัจจัย คุณสมบัติเชิงวิศวกรรมเหล่านี้มักมีน้ำหนักมากกว่าข้อบกพร่องทางทฤษฎี

</div>

<div class="box box-regulatory">
<p class="box-label">เทียบกฎเกณฑ์ · การประมาณความผันผวน</p>

| กรอบ | ข้อกำหนด |
|---|---|
| UCITS | ประวัติข้อมูล ≥ 1 ปี (250 วัน) สั้นกว่านี้ได้เฉพาะเมื่อความผันผวนเพิ่มขึ้นมาก; ปรับข้อมูลอย่างน้อยรายไตรมาส; การถ่วงน้ำหนักแบบ EWMA ต้องให้เหตุผลใน RMP รวมถึงช่วงข้อมูลประสิทธิผล |
| AIFMD | เลือกวิธีได้อิสระ ภายใต้การตรวจสอบโดยอิสระและการทบทวนเป็นระยะ (Level 2 Art. 45); บันทึกเหตุผลของ λ และความยาวหน้าต่าง |
| MiFID II | PRIIPs Category 2 MRM ประมาณ σ, ความเบ้ และความโด่งจากผลตอบแทน 5 ปี (อย่างน้อย 2 ปีถ้าเป็นข้อมูลรายวัน) |

</div>