เริ่มจากความต่างระหว่างสิทธิแบบยุโรปกับอเมริกัน แล้ววางฐานการกำหนดราคาแบบ Risk-neutral ก่อนเข้าสู่แบบจำลอง Bachelier
## บทนำ (Introduction) การพิจารณาอนุพันธ์ทางการเงิน (financial derivatives) มีรายละเอียดหลายอย่างนอกเหนือจากพื้นผิวความผันผวน (volatility surface) สิ่งสำคัญก่อนจะสร้างพื้นผิวดังกล่าวได้คือเราจำเป็นต้องทราบแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม เนื่องจากอนุพันธ์ถูกประยุกต์ในหลากหลายกรณี ผู้ใช้จึงมีโอกาสสับสนในการเลือกแบบจำลอง รวมถึงรายละเอียดของลักษณะออปชันซึ่งแบ่งได้เป็นสองประเภทหลัก ได้แก่ ออปชันแบบยุโรป (European option) ที่ใช้สิทธิได้เฉพาะ ณ วันครบกำหนด และออปชันแบบอเมริกัน (American option) ที่ใช้สิทธิได้ทุกเวลาก่อนหรือ ณ วันครบกำหนด โดยทั่วไปมูลค่าออปชันแบบอเมริกันไม่มีรูปแบบปิด (closed-form) ทำให้การคำนวณโดยไม่ใช้คอมพิวเตอร์เป็นเรื่องยาก อย่างไรก็ตามมีความพยายามประมาณมูลค่าออปชันแบบอเมริกันจากออปชันแบบยุโรปที่บวกด้วยส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า (Early Exercise Premium) ก่อนจะไปถึงจุดนั้นเราจะแสดงภาพรวมความเป็นมาของแบบจำลองตามลำดับเวลา **Definition 1** (ออปชันและฟังก์ชันผลตอบแทน). ให้ $S_t$ แทนราคาสินทรัพย์อ้างอิง ณ เวลา $t$ ออปชันซื้อ (call) และออปชันขาย (put) ที่มีราคาใช้สิทธิ (strike) $K$ และวันครบกำหนด $T$ มีฟังก์ชันผลตอบแทน ณ เวลาครบกำหนดเท่ากับ $$\begin{equation} \label{eq:payoff} \Lambda_{\text{call}}(S_T) = (S_T-K)^+, \qquad \Lambda_{\text{put}}(S_T) = (K-S_T)^+, \end{equation}$$ โดยที่ $(x)^+ = \max(x,0)$. ออปชันแบบยุโรปให้สิทธิใช้ ณ เวลา $T$ เท่านั้น ส่วนออปชันแบบอเมริกันให้สิทธิใช้ ณ เวลาหยุด (stopping time) $\tau \in [t,T]$ ใด ๆ. ภายใต้กรอบการกำหนดราคาแบบไร้การเก็งกำไร (no-arbitrage) มูลค่าของออปชันแบบยุโรป ณ เวลา $t$ เท่ากับค่าคาดหวังของผลตอบแทนที่คิดลด ภายใต้มาตรวัดความน่าจะเป็นเชิงกลาง-ความเสี่ยง (risk-neutral measure) $\mathbb{Q}$ $$\begin{equation} \label{eq:rn-price} V_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\Big[\, \mathrm{e}^{-\int_t^T r(s)\,\mathrm{d}s}\,\Lambda(S_T) \,\Big|\, \mathcal{F}_t \,\Big], \end{equation}$$ ในขณะที่ออปชันแบบอเมริกันเป็นปัญหาการหยุดเหมาะสม (optimal stopping) $$\begin{equation} \label{eq:am-price} V_t^{A} = \sup_{\tau \in \mathcal{T}_{[t,T]}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\Big[\, \mathrm{e}^{-\int_t^{\tau} r(s)\,\mathrm{d}s}\,\Lambda(S_\tau) \,\Big|\, \mathcal{F}_t \,\Big], \end{equation}$$ โดย $\mathcal{T}_{[t,T]}$ คือเซตของเวลาหยุดที่รับค่าในช่วง $[t,T]$. โครงสร้างที่เหลือของบทความจัดเรียงตามพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของแบบจำลอง เริ่มจากแบบจำลองบาเชอลิเยในหัวข้อถัดไป ผู้อ่านที่ต้องการภูมิหลังเชิงปฏิบัติเพิ่มเติมสามารถศึกษาได้จาก (Hull 2018). ## แบบจำลองบาเชอลิเย (Bachelier Model, 1900) แบบจำลองแรกเริ่มถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส หลุยส์ บาเชอลิเย (Louis Bachelier) ในวิทยานิพนธ์ปี ค.ศ. 1900 (Bachelier 1900) โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อพิจารณาพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ที่เปลี่ยนแปลงไป บาเชอลิเยเสนอให้ใช้สมมติฐานการเคลื่อนที่แบบบราวน์ (Brownian Motion) และสมมติว่าราคาสินทรัพย์มีการกระจายตัวแบบปกติ (Normal Distribution) ผลพลอยได้ประการหนึ่งของข้อสมมตินี้คือราคาสินทรัพย์สามารถมีค่าติดลบได้ ซึ่งในยุคหลังเคยถูกมองว่าเป็นจุดอ่อนของแบบจำลอง แต่กลับกลายเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นในบางสถานการณ์ดังจะกล่าวถึงด้านล่าง งานของบาเชอลิเยเป็นพื้นฐานของการศึกษาแบบจำลองที่อธิบายพฤติกรรมของกระบวนการสุ่ม เมื่อสังเกตราคาสินทรัพย์ที่เคลื่อนที่แบบสุ่มเชิงเลขคณิต (Arithmetic Brownian Motion, ABM) แม้แบบจำลองนี้จะถูกเสนอตั้งแต่ปี ค.ศ. 1900 แต่ก็ถูกนำกลับมาใช้อีกครั้งในช่วงวิกฤตโควิด-19 (Covid-19) เมื่อเกิดเหตุการณ์ราคาน้ำมันดิบติดลบ จนกระทั่ง CME ได้ออกประกาศ CME Advisory \#20-152 (วันที่ 8 เมษายน 2020) และ \#20-171 (วันที่ 21 เมษายน 2020) (CME Group 2020a, 2020b) เพื่อเปลี่ยนกลับมาใช้แบบจำลองบาเชอลิเยสำหรับการกำหนดราคาออปชันบนสัญญาที่ราคาอ้างอิงอาจติดลบได้ **Assumption 2** (พลวัตแบบ ABM). ให้ $F_t$ เป็นราคาฟอร์เวิร์ดของสินทรัพย์ที่ครบกำหนด ณ $T$ ภายใต้มาตรวัดเชิงกลาง-ความเสี่ยงและอัตราดอกเบี้ยคงที่ โดยเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์สโทแคสติก (Stochastic Differential Equation, SDE) $$\begin{equation} \label{eq:abm-sde} \mathrm{d}F_t = \sigma_N \,\mathrm{d}W_t, \end{equation}$$ โดย $\sigma_N>0$ คือความผันผวนแบบปกติ (normal volatility) และ $W_t$ คือกระบวนการเวียนเนอร์มาตรฐาน ดังนั้น $F_T = F_0 + \sigma_N W_T$ มีการกระจายตัว $\mathcal{N}(F_0,\sigma_N^2 T)$. **Theorem 3** (สูตรราคาออปชันบาเชอลิเย). *ภายใต้สมมติฐาน 2 และอัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยงคงที่ $r$ ราคาออปชันซื้อแบบยุโรปที่มีราคาใช้สิทธิ $K$ และครบกำหนด $T$ เท่ากับ $$\begin{equation} \label{eq:bachelier-call} C_{\mathrm{Bach}} = \mathrm{e}^{-rT}\Big[ (F_0-K)\,\Phi(d) + \sigma_N\sqrt{T}\,\varphi(d) \Big], \qquad d = \frac{F_0-K}{\sigma_N\sqrt{T}}, \end{equation}$$ โดย $\Phi$ และ $\varphi$ คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมและฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติมาตรฐานตามลำดับ.* *Proof.* จาก [eq:rn-price] เขียน $F_T = F_0 + \sigma_N\sqrt{T}\,Z$ โดย $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ ดังนั้น $$\begin{equation*} C_{\mathrm{Bach}} = \mathrm{e}^{-rT}\,\mathbb{E}\big[(F_T-K)^+\big] = \mathrm{e}^{-rT}\,\mathbb{E}\big[(F_0-K+\sigma_N\sqrt{T}\,Z)^+\big]. \end{equation*}$$ ผลตอบแทนเป็นบวกก็ต่อเมื่อ $Z > -d$ โดย $d=(F_0-K)/(\sigma_N\sqrt{T})$ จึงได้ $$\begin{align*} \mathbb{E}\big[(F_0-K+\sigma_N\sqrt{T}\,Z)^+\big] &= \int_{-d}^{\infty} \big(F_0-K+\sigma_N\sqrt{T}\,z\big)\varphi(z)\,\mathrm{d}z \\ &= (F_0-K)\!\int_{-d}^{\infty}\!\varphi(z)\,\mathrm{d}z + \sigma_N\sqrt{T}\!\int_{-d}^{\infty}\! z\,\varphi(z)\,\mathrm{d}z. \end{align*}$$ เทอมแรกเท่ากับ $(F_0-K)\,\Phi(d)$ เนื่องจากความสมมาตร $1-\Phi(-d)=\Phi(d)$. สำหรับเทอมที่สองใช้เอกลักษณ์ $\int z\varphi(z)\mathrm{d}z = -\varphi(z)$ เพราะ $\varphi'(z) = -z\varphi(z)$ ดังนั้น $$\begin{equation*} \int_{-d}^{\infty} z\,\varphi(z)\,\mathrm{d}z = \big[-\varphi(z)\big]_{-d}^{\infty} = \varphi(-d) = \varphi(d), \end{equation*}$$ โดยใช้ความเป็นฟังก์ชันคู่ $\varphi(-d)=\varphi(d)$. รวมทั้งสองเทอมและคูณด้วยตัวประกอบคิดลด $\mathrm{e}^{-rT}$ ได้ [eq:bachelier-call] ตามต้องการ. ◻ *Remark 4*. คุณสมบัติเด่นของ [eq:bachelier-call] คือมูลค่ายังคงนิยามได้แม้ $F_0<0$ หรือ $K<0$ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ CME เลือกใช้แบบจำลองนี้ในช่วงราคาน้ำมันติดลบ ต่างจากแบบจำลองแบล็ก-โชลส์ที่ต้องการ $\ln(F_0/K)$ และจึงไม่นิยามเมื่อราคาติดลบ. ## Payoff และกำไรขาดทุนเปิด JavaScript เพื่อปรับค่าห้องทดลองนี้ สมการและตัวอย่างในบทอ่านได้ตามปกติ
เปิด JavaScript เพื่อปรับค่าห้องทดลองนี้ สมการและตัวอย่างในบทอ่านได้ตามปกติ