ถือหุ้นหกตัวเท่ากันอาจยังรับความเสี่ยงหลักเพียงสองทิศทาง PCA ช่วยแยกทิศทางการเคลื่อนไหวร่วมของผลตอบแทน แล้วเราจึงตรวจได้ว่าพอร์ตให้น้ำหนักกับทิศทางไหนมาก
สมมติหุ้น A กับ B มีรายได้จากลูกค้ากลุ่มเดียวกัน เมื่อความต้องการของลูกค้าลดลง หุ้นทั้งคู่ตกพร้อมกัน การแบ่งเงินระหว่างชื่อหุ้นสองชื่อจึงไม่ได้แบ่งความเสี่ยงทางเศรษฐกิจออกเป็นสองส่วนเท่ากันเสมอไป บท [วิธีจัดพอร์ตเพื่อกระจายความเสี่ยง](diversification-methods.html) วัดการกระจุกตัวจากน้ำหนักเงิน และบท [Risk contribution](risk-contributions.html) แบ่งความเสี่ยงกลับไปยังสินทรัพย์แต่ละตัว บทนี้จะเปลี่ยนฐานการมองจากชื่อสินทรัพย์เป็นทิศทางร่วมของข้อมูล Principal Component Analysis หรือ PCA เป็นวิธีแปลงตัวแปรหลายตัวให้เป็นชุดตัวแปรใหม่ที่ไม่สัมพันธ์เชิงเส้นกันในข้อมูลที่ใช้ประมาณ ทิศทางแรกอธิบายความแปรปรวนได้มากที่สุด ทิศทางถัดไปอธิบายส่วนที่เหลือภายใต้เงื่อนไขว่าต้องตั้งฉากกับทิศทางก่อนหน้า เราจะคำนวณวิธีนี้จากตัวอย่างสองสินทรัพย์ ก่อนขยายเป็นข้อมูลสมมติหกสินทรัพย์ โค้ดทั้งบทใช้ NumPy, pandas และ scikit-learn รันจากต้นบทใน Notebook ใหม่ได้ ไม่มีราคาหุ้นจริงหรือไฟล์ข้อมูลจากคอร์ส ตัวอย่างสุ่มใช้ seed 317 เพื่อให้ทำซ้ำได้ ทุกแถวเป็นผลตอบแทนรายสัปดาห์หน่วยทศนิยม เช่น 0.02 หมายถึง 2% เนื้อหาเรียบเรียงใหม่ตามหัวข้อ [Benefits of portfolio diversification](https://www.coursera.org/learn/python-machine-learning-for-investment-management/lecture/16faT/benefits-of-portfolio-diversification), [Portfolio diversification measures](https://www.coursera.org/learn/python-machine-learning-for-investment-management/lecture/MWFae/portfolio-diversification-measures) และ [PCA](https://www.coursera.org/learn/python-machine-learning-for-investment-management/lecture/XsYTH/principle-component-analysis) ## เริ่มจากชื่อหุ้นสองชื่อ ถ้า A และ B มี SD ปีละ 20% และ correlation เท่ากับ 0.8 พอร์ตที่ลงคนละครึ่งมี covariance matrix และน้ำหนักดังนี้ $$ \Sigma=\begin{pmatrix}0.04&0.032\\0.032&0.04\end{pmatrix}, \qquad w=\begin{pmatrix}0.5\\0.5\end{pmatrix}. $$ ช่อง 0.032 มาจาก $0.8\times0.2\times0.2$ ความแปรปรวนของพอร์ตเท่ากับ $0.5^2(0.04)+0.5^2(0.04)+2(0.5)(0.5)(0.032)=0.036$ จึงมี SD $\sqrt{0.036}\approx18.9737\%$ ต่อปี ต่ำกว่า SD 20% ของแต่ละตัว แต่ไม่ได้ลดเหลือครึ่งหนึ่ง จำนวนสินทรัพย์ตามการกระจุกตัวของเงิน หรือ [effective number of assets](glossary.html#effective-number-assets) เท่ากับ $$N_{\text{capital}}=\frac{1}{\sum_iw_i^2}=\frac{1}{0.5^2+0.5^2}=2.$$ ```python import numpy as np import pandas as pd # รูปแบบตัวเลขที่แสดงผล ไม่ลดความละเอียดของค่าที่คำนวณ np.set_printoptions(precision=6, suppress=True) from sklearn.decomposition import PCA small_cov = np.array([[0.04, 0.032], [0.032, 0.04]]) small_w = np.array([0.5, 0.5]) small_enc = 1 / np.sum(small_w ** 2) small_variance = small_w @ small_cov @ small_w print('ENC:', small_enc) print('Portfolio SD:', np.sqrt(small_variance)) print('Covariance eigenvalues:', np.linalg.eigvalsh(small_cov)[::-1]) ``` ตัวเลข `2.0` บอกว่าลงเงินเท่ากันสองส่วน ส่วน `0.189736...` คือ SD ของพอร์ต ไม่ใช่ผลตอบแทนคาดหมาย บรรทัดสุดท้ายได้ eigenvalues 0.072 และ 0.008 ซึ่งเป็นความแปรปรวนตามทิศทางใหม่สองทิศทางที่กำลังจะคำนวณ เราหาทิศทางเหล่านั้นได้ด้วยมือ $$v_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^\top,\qquad v_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)^\top.$$ ทิศทางแรกจับการขึ้นลงร่วมกัน ส่วนทิศทางที่สองจับส่วนต่าง A กับ B เมื่อคูณ $\Sigma v_1$ จะได้ $0.072v_1$ และเมื่อคูณ $\Sigma v_2$ จะได้ $0.008v_2$ จึงเรียก $v_k$ ว่า eigenvector และตัวคูณ $\lambda_k$ ว่า eigenvalue PCA จัดความแปรปรวนของข้อมูลให้ทิศทางแรก $0.072/(0.072+0.008)=90\%$ ส่วนที่สอง 10% แต่พอร์ตครึ่งต่อครึ่งมี $v_2^\top w=0$ จึงไม่รับความเสี่ยงจากทิศทางส่วนต่างเลย ความเสี่ยงของพอร์ตนี้มาจาก PC1 ทั้งหมด แม้ PC1 จะอธิบายความแปรปรวนของข้อมูลเพียง 90% ## สร้างข้อมูลที่ตรวจที่มาได้ ต่อไปใช้ A–F จำนวน 260 สัปดาห์ แบ่ง 208 สัปดาห์แรกไว้เรียนรู้โครงสร้าง และเก็บ 52 สัปดาห์ท้ายไว้ตรวจภายหลัง สินทรัพย์แต่ละตัวมีค่าเฉลี่ยตามแบบจำลอง 0.1% ต่อสัปดาห์ และ SD ที่กำหนดต่างกัน การสุ่มหนึ่งชุดย่อมมีค่าเฉลี่ยกับ covariance ของตัวอย่างคลาดจากค่าที่กำหนด โค้ดตั้งต้นด้วยเมทริกซ์ `true_precision` แล้วกลับเมทริกซ์เพื่อสร้าง covariance พื้นฐาน วิธีสร้างนี้ทำให้รู้ความสัมพันธ์ที่แท้จริงของแบบจำลองไว้ตรวจใน [บทเครือข่ายสินทรัพย์](asset-networks.html) ตอนนี้ใช้เพียงผลลัพธ์ `true_cov` ซึ่งเป็น covariance รายสัปดาห์ ทุกสัปดาห์สุ่มอย่างเป็นอิสระจากการแจกแจงร่วม Normal ที่มีพารามิเตอร์คงที่ จึงยังไม่มี volatility clustering หรือการเปลี่ยน regime ```python assets = np.array(list('ABCDEF')) true_precision = np.eye(6) for i, j, value in [(0, 1, -.55), (1, 2, -.20), (2, 3, -.45), (3, 4, -.15), (4, 5, -.50)]: true_precision[i, j] = true_precision[j, i] = value base_cov = np.linalg.inv(true_precision) true_corr = base_cov / np.sqrt(np.outer(np.diag(base_cov), np.diag(base_cov))) weekly_sd = np.array([.025, .030, .020, .022, .035, .028]) true_cov = true_corr * np.outer(weekly_sd, weekly_sd) rng = np.random.default_rng(317) returns = pd.DataFrame( .001 + rng.standard_normal((260, 6)) @ np.linalg.cholesky(true_cov).T, index=pd.RangeIndex(1, 261, name='Week'), columns=assets ) train = returns.iloc[:208].copy() test = returns.iloc[208:].copy() print('Train/Test:', train.shape, test.shape) print(train.head(3).round(4)) ``` `np.eye(6)` สร้างเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $6\times6$ `np.outer` คูณ SD ทุกคู่ และ `np.linalg.cholesky(true_cov)` ให้เมทริกซ์ $L$ ที่ $LL^\top=\Sigma$ ถ้าแถวสุ่ม $u$ มี covariance เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แถว `u @ L.T` จะมี covariance ตามที่ต้องการ เครื่องหมาย `.T` สลับแถวกับคอลัมน์ `iloc[:208]` เลือกตำแหน่งแถว 0 ถึง 207 ซึ่งติดป้ายสัปดาห์ 1 ถึง 208 ส่วน `iloc[208:]` เริ่มที่สัปดาห์ 209 การพิมพ์ shape ได้ `(208, 6)` กับ `(52, 6)` จึงตรวจได้ว่าแถวคือเวลา คอลัมน์คือสินทรัพย์ ตัวอย่าง Normal ของ simple returns มีโอกาสเชิงทฤษฎีที่จะต่ำกว่า −100%; ข้อมูลที่สุ่มได้ครั้งนี้ไม่มีค่าดังกล่าว แบบจำลองนี้ใช้สอน covariance และไม่ได้เป็นแบบจำลองราคาหุ้นที่รับรองราคาบวกทุกเส้นทาง ## หักค่าเฉลี่ยก่อนหาทิศทาง ให้ $R$ เป็นตารางผลตอบแทน 208 แถว 6 คอลัมน์ หักค่าเฉลี่ยของแต่ละคอลัมน์ออกจะได้ $X$ แล้วคำนวณ sample covariance $$S=\frac{X^\top X}{T-1},\qquad T=208.$$ PCA บน covariance แก้สมการ $Sv_k=\lambda_kv_k$ สำหรับทุกทิศทาง เมื่อเรียง eigenvalues จากมากไปน้อยและรวม eigenvectors เป็นคอลัมน์ของ $V$ จะเขียนได้ว่า $$S=V\Lambda V^\top,\qquad V^\top V=I.$$ $\Lambda$ เป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่เก็บ $\lambda_1,\ldots,\lambda_6$ ส่วน $I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เงื่อนไข $V^\top V=I$ บอกว่าทุกเวกเตอร์ยาวหนึ่งและตั้งฉากกัน เวกเตอร์เหล่านี้เป็นสัมประสิทธิ์สำหรับผสมผลตอบแทนของ A–F ไม่ใช่ชื่อหุ้นที่ PCA เลือกให้ซื้อ ```python train_mean = train.mean().to_numpy() centered = train.to_numpy() - train_mean sample_cov = centered.T @ centered / (len(train) - 1) eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(sample_cov) order = np.argsort(eigenvalues)[::-1] eigenvalues = eigenvalues[order] eigenvectors = eigenvectors[:, order] # Choose a consistent sign for display; the direction is unchanged. for k in range(len(assets)): pivot = np.argmax(np.abs(eigenvectors[:, k])) if eigenvectors[pivot, k] < 0: eigenvectors[:, k] *= -1 print('Eigenvalues:', np.round(eigenvalues, 8)) print('Orthonormal:', np.allclose(eigenvectors.T @ eigenvectors, np.eye(6))) ``` `np.linalg.eigh` ใช้กับเมทริกซ์สมมาตรและคืนค่าจากน้อยไปมาก เราจึงเรียงใหม่ด้วย `argsort(...)[::-1]` ค่า eigenvalues ที่ได้ประมาณ 0.00157115, 0.00105106, 0.00067960, 0.00049221, 0.00027268 และ 0.00019914 หน่วยคือผลตอบแทนทศนิยมยกกำลังสองต่อสัปดาห์ ผลตรวจ `Orthonormal` ต้องเป็น `True` เครื่องหมายของ eigenvector กลับด้านได้ เช่น $(1,1)/\sqrt2$ กับ $(-1,-1)/\sqrt2$ บรรยายเส้นเดียวกัน โค้ดเลือกให้สัมประสิทธิ์ที่มีขนาดสัมบูรณ์มากที่สุดเป็นบวกเพื่อให้อ่านตารางซ้ำได้ การกลับเครื่องหมายนี้ไม่เปลี่ยน eigenvalue หรือความเสี่ยงที่คำนวณจากทิศทางนั้น ## Scores คือผลตอบแทนในพิกัดใหม่ สัมประสิทธิ์ $v_k$ เป็นกฎสำหรับผสมสินทรัพย์ ส่วน score คือค่าที่ได้ในแต่ละสัปดาห์ $$F=XV,\qquad F_{tk}=\sum_iX_{ti}v_{ik}.$$ ตาราง $F$ ยังมี 208 แถว แต่คอลัมน์เปลี่ยนจาก A–F เป็น PC1–PC6 เช่น score ของ PC1 ในสัปดาห์แรกได้จากผลรวมของผลตอบแทนที่หักค่าเฉลี่ยแล้วทั้งหกตัว คูณสัมประสิทธิ์ PC1 ของแต่ละตัว เมื่อใช้ครบทุกองค์ประกอบ เรากลับไปหาข้อมูลเดิมได้ด้วย $X=FV^\top$ เพราะการหมุนแกนยังไม่ได้ทิ้งข้อมูล การลดมิติจะเกิดขึ้นเมื่อเก็บไว้เพียงบางคอลัมน์ของ $F$ ```python scores = centered @ eigenvectors score_cov = np.cov(scores, rowvar=False, ddof=1) reconstruction = scores @ eigenvectors.T + train_mean print('Score covariance diagonal:', np.round(np.diag(score_cov), 8)) print('Largest reconstruction error:', np.max(np.abs(reconstruction - train))) assert np.allclose(score_cov, np.diag(eigenvalues), atol=1e-12) assert np.allclose(reconstruction, train) ``` `np.cov(..., rowvar=False)` กำหนดว่าตัวแปรอยู่ตามคอลัมน์ ค่าแนวทแยงของ covariance ของ scores ตรงกับ eigenvalues ส่วนค่าข้ามคอลัมน์ใกล้ศูนย์ ความคลาดเคลื่อนจากการสร้างข้อมูลกลับประมาณ $7.6\times10^{-17}$ เป็นระดับความละเอียดของเลขทศนิยมในเครื่อง Scores จึงไม่สัมพันธ์เชิงเส้นกันในข้อมูลฝึก ภายใต้แบบจำลองร่วม Gaussian ที่กำหนดไว้ เราตีความองค์ประกอบประชากรที่ไม่สัมพันธ์กันว่าเป็นอิสระกันได้ แต่ข้อมูลตลาดทั่วไปอาจสัมพันธ์กันในรูปอื่นที่ covariance มองไม่เห็น และ scores ในข้อมูลอนาคตไม่จำเป็นต้องมี sample covariance เป็นแนวทแยง ## Explained variance วัดสิ่งที่เหลือหลังลดมิติ สัดส่วนความแปรปรวนของข้อมูลที่ PC ตัวที่ $k$ อธิบายได้คือ $$e_k=\frac{\lambda_k}{\sum_j\lambda_j}.$$ ตัวหารคือผลรวม variance ของคอลัมน์เดิม ไม่ใช่ variance ของพอร์ตใดพอร์ตหนึ่ง ถ้าตั้งเกณฑ์ว่าจะเก็บอย่างน้อย 80% ให้บวก $e_k$ จาก PC1 ลงมา จนผลรวมถึงเกณฑ์ แล้วเก็บทิศทางเหล่านั้น ```python explained_ratio = eigenvalues / eigenvalues.sum() cumulative_ratio = np.cumsum(explained_ratio) n_components_80 = int(np.searchsorted(cumulative_ratio, .80) + 1) retained = eigenvectors[:, :n_components_80] rank_reconstruction = centered @ retained @ retained.T squared_error = np.sum((centered - rank_reconstruction) ** 2) expected_error = (len(train) - 1) * eigenvalues[n_components_80:].sum() print(pd.DataFrame({'PC': np.arange(1, 7), 'Data variance %': explained_ratio * 100, 'Cumulative %': cumulative_ratio * 100}).round(3)) print('Components reaching 80%:', n_components_80) print('Reconstruction SSE:', squared_error) assert np.isclose(squared_error, expected_error) ``` PC1 อธิบายได้ประมาณ 36.831% สองตัวแรกรวม 61.470% และสามตัวแรกรวม 77.401% จึงต้องเก็บสี่ตัวจึงถึงเกณฑ์ 80% โดยได้จริงประมาณ 88.940% ค่า 80% เป็นเกณฑ์ที่เลือกเพื่อทดลอง ไม่ใช่กฎว่าพอร์ตควรมีสี่สินทรัพย์ การสร้างกลับด้วยสี่แกนทำให้ผลรวม squared reconstruction errors ประมาณ 0.09766655 ค่านี้เท่ากับ $(T-1)$ คูณผลรวม eigenvalues ที่ทิ้งไป โค้ดตรวจความเท่ากันด้วย `np.isclose` ถ้าใช้ครบหกแกน error จะใกล้ศูนย์ แต่ไม่ได้แปลว่าโมเดลทำนายอนาคตได้ดีขึ้น เพราะการสร้างข้อมูลฝึกกลับกับการคาดการณ์เป็นคนละงาน ## ความเสี่ยงของพอร์ตขึ้นกับน้ำหนักด้วย พอร์ตมีน้ำหนัก $w$ จึงมี variance $w^\top Sw$ แทน $S=V\Lambda V^\top$ ลงไปจะได้ $$ \sigma_p^2=\sum_k\lambda_k(v_k^\top w)^2. $$ ตัวเลข $b_k=v_k^\top w$ คือ exposure ของพอร์ตต่อแกนที่ $k$ ส่วน $c_k=\lambda_kb_k^2$ คือส่วนของ variance จากแกนนั้น ทุก $c_k$ ไม่ติดลบและรวมเป็น variance ของพอร์ต เมื่อ variance รวมเป็นบวก จึงนิยามส่วนแบ่ง $p_k=c_k/\sigma_p^2$ ได้ ในตัวอย่างสองหุ้นตอนต้น $b_1=1/\sqrt2$ และ $b_2=0$ ทำให้ $c_1=0.072/2=0.036$ และ $c_2=0$ คราวนี้คำนวณพอร์ต equal-weight (EW) ที่ลงเงินในหกสินทรัพย์ตัวละ $1/6$ ```python weights = np.full(6, 1 / 6) exposures = eigenvectors.T @ weights pc_variance = eigenvalues * exposures ** 2 portfolio_variance = weights @ sample_cov @ weights risk_shares = pc_variance / portfolio_variance inverse_hhi_bets = 1 / np.sum(risk_shares ** 2) positive_shares = risk_shares[risk_shares > 0] entropy_bets = np.exp(-np.sum(positive_shares * np.log(positive_shares))) print(pd.DataFrame({'PC': np.arange(1, 7), 'Data variance %': explained_ratio * 100, 'Portfolio variance %': risk_shares * 100}).round(3)) print('ENC / inverse HHI / entropy:', 1 / np.sum(weights ** 2), inverse_hhi_bets, entropy_bets) assert np.isclose(pc_variance.sum(), portfolio_variance) ``` แม้ PC1 อธิบายข้อมูลมากที่สุด แต่พอร์ตนี้มีส่วนแบ่งความเสี่ยงจาก PC2 มากกว่า: PC1 ประมาณ 40.440% และ PC2 ประมาณ 51.600% รวมสองแกนเป็นประมาณ 92.04% ของ variance พอร์ต ตัวเลขนี้ต่างจาก 61.470% ซึ่งเป็นสัดส่วนความแปรปรวนของข้อมูลที่สองแกนแรกอธิบายได้