หากตลาดปกติให้ผลตอบแทนเฉลี่ยบวก แต่ตลาดตึงเครียดให้ผลตอบแทนเฉลี่ยลบ การเฉลี่ย covariance สองชุดยังนับความเสี่ยงไม่ครบ เราต้องรวมความต่างของค่าเฉลี่ยทั้งสองภาวะด้วย
บท [Market Regimes](market-regimes.html) อธิบายโอกาสของแต่ละสถานะและเวลาที่รู้ข้อมูล บทนี้จะรับความน่าจะเป็นนั้นมาเป็นสมมติฐาน แล้วคำนวณผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตในหนึ่งปีข้างหน้า เริ่มด้วย mean และ covariance ตามสถานะ ต่อด้วยรายการสถานการณ์แบบมีผลตอบแทนแน่นอนในแต่ละแถว และจบด้วยการสุ่ม Monte Carlo ตัวอย่างทั้งสามส่วนเป็นข้อมูลสมมติ ส่วนรายการหกสถานการณ์เป็นชุดใหม่ที่มี moments ของตนเอง ไม่ใช่การ discretize ชุด Normal ให้ได้ moments เดิมโดยอัตโนมัติ โค้ดใช้ NumPy กับ pandas เท่านั้น ทุกผลตอบแทนเก็บเป็นทศนิยมต่อปี และทุกพอร์ตในตัวอย่างไม่มี leverage ไม่มีค่าซื้อขาย และถือน้ำหนักต้นงวดตามที่ระบุตลอดช่วงหนึ่งปีโดยไม่ปรับระหว่างปี ```python import numpy as np import pandas as pd np.set_printoptions(precision=6, suppress=True) ``` ## เริ่มจากสิ่งที่รู้ภายใต้แต่ละภาวะ มีสินทรัพย์สมมติ A และ B เรากำหนดความน่าจะเป็นปีหน้า Calm 70% และ Stress 30% พร้อมค่าเฉลี่ยและ covariance แบบมีเงื่อนไขดังนี้ | สมมติฐานรายปี | Calm | Stress | |---|---:|---:| | ความน่าจะเป็น | 0.70 | 0.30 | | ค่าเฉลี่ย A | 8% | −12% | | ค่าเฉลี่ย B | 3% | 2% | | SD ของ A | 10% | 20% | | SD ของ B | 5% | 8% | | Correlation A/B | 0.20 | −0.125 | Covariance คู่ A/B ใน Calm จึงเท่ากับ $0.20(0.10)(0.05)=0.001$ ส่วนใน Stress เท่ากับ $-0.125(0.20)(0.08)=-0.002$ ค่าแนวทแยงคือ SD ยกกำลังสอง ตัวเลข correlation ของตัวอย่างนี้กำหนดเพื่อให้คำนวณตามได้ ไม่ใช่ข้ออ้างว่าพันธบัตรหรือสินทรัพย์ใดต้อง hedge หุ้นได้ในวิกฤต ```python scenario_p = np.array([0.70, 0.30]) scenario_means = np.array([[0.08, 0.03], [-0.12, 0.02]]) scenario_covs = np.array([[[0.0100, 0.0010], [0.0010, 0.0025]], [[0.0400, -0.0020], [-0.0020, 0.0064]]]) scenario_w = np.array([0.60, 0.40]) print("Conditional portfolio means:", scenario_means @ scenario_w) print("State probabilities:", scenario_p) ``` `scenario_means` มี shape `(2, 2)` คือสองสถานะ สองสินทรัพย์ ส่วน `scenario_covs` มี shape `(2, 2, 2)` คือ covariance หนึ่งเมทริกซ์ต่อสถานะ น้ำหนัก `[0.60, 0.40]` รวมเป็นหนึ่ง ค่าเฉลี่ยพอร์ตเมื่อ Calm คือ $0.6(0.08)+0.4(0.03)=0.06$ หรือ 6% เมื่อ Stress คือ $0.6(-0.12)+0.4(0.02)=-0.064$ หรือ −6.4% ในขั้นนี้เราไม่ได้บอกว่าทุกปีในสถานะเดียวกันให้ผลตอบแทนเท่ากัน ยังมีการกระจายรอบค่าเฉลี่ยตาม covariance ของสถานะนั้น ความน่าจะเป็น 70/30 เป็น input สำหรับปีที่จะลงทุน หากเริ่มจาก filtered probabilities ของปีปัจจุบัน ต้องคูณ transition matrix เพื่อได้ predicted probabilities ของปีถัดไปก่อน ตามสูตร $p_{t+1\mid t}=p_{t\mid t}P$ ในบทก่อน ทั้ง probability และพารามิเตอร์ต้องใช้เฉพาะข้อมูลที่รู้ก่อนช่วงลงทุนเริ่ม สำหรับ 70/30 ที่เป็น stationary distribution ของตัวอย่าง การคูณ P ให้ค่าเดิม แต่กรณีทั่วไปอาจเปลี่ยน ต้องประเมินความคลาดเคลื่อนของค่าประมาณเหล่านี้ด้วย ## ความเสี่ยงรวมมีส่วนภายในและระหว่างภาวะ ให้ $p_s$ เป็นโอกาสของสถานะ $s$, $\mu_s$ เป็นเวกเตอร์ค่าเฉลี่ย และ $\Sigma_s$ เป็น covariance ภายในสถานะ ค่าเฉลี่ยรวมได้จากการถ่วง probability: $$\bar\mu=\sum_s p_s\mu_s.$$ แต่ covariance รวมต้องมีสองพจน์: $$ \Sigma_{\rm mix} =\underbrace{\sum_s p_s\Sigma_s}_{\text{within-state}} +\underbrace{\sum_s p_s(\mu_s-\bar\mu)(\mu_s-\bar\mu)^\top}_{\text{between-state}}. $$ พจน์แรกวัดความแกว่งที่ยังเหลือเมื่อรู้สถานะแล้ว พจน์ที่สองวัดความต่างของจุดศูนย์กลางแต่ละสถานะ ก่อนรู้ว่าสถานะใดจะเกิด เรายังไม่รู้ว่าผลตอบแทนจะกระจายรอบจุดศูนย์กลางใดด้วย สูตรนี้มาจาก law of total covariance และใช้ได้เมื่อมี second moments จำกัด ไม่ต้องสมมติ Normal เพื่อให้สูตรเป็นจริง คำนวณ A ด้วยมือ: ค่าเฉลี่ยรวม $0.7(0.08)+0.3(-0.12)=0.02$ ส่วน within variance คือ $0.7(0.01)+0.3(0.04)=0.019$ และ between variance คือ $$0.7(0.08-0.02)^2+0.3(-0.12-0.02)^2=0.0084.$$ ดังนั้น variance รวมของ A เท่ากับ $0.0274$ ไม่ใช่ $0.019$ ```python def mixture_moments(probabilities, means, covariances): p, mu, cov = (np.asarray(a, dtype=float) for a in [probabilities, means, covariances]) if (p.ndim != 1 or mu.ndim != 2 or mu.shape[0] != len(p) or cov.shape != (len(p), mu.shape[1], mu.shape[1]) or not all(np.isfinite(a).all() for a in [p, mu, cov]) or np.any(p < 0) or not np.isclose(p.sum(), 1)): raise ValueError("Check probabilities, shapes and finite values") if not np.allclose(cov, cov.transpose(0, 2, 1)) or np.linalg.eigvalsh(cov).min() < -1e-12: raise ValueError("Each covariance must be symmetric positive semidefinite") mean = p @ mu centered = mu - mean within = np.einsum("k,kij->ij", p, cov) between = (centered * p[:, None]).T @ centered return mean, within + between, within, between scenario_mean, scenario_cov, scenario_within, scenario_between = mixture_moments( scenario_p, scenario_means, scenario_covs) print("Mixture mean:", scenario_mean) print("Within-state covariance:\n", scenario_within) print("Between-state covariance:\n", scenario_between) print("Total covariance:\n", scenario_cov) ``` ฟังก์ชันตรวจว่า probabilities ไม่ติดลบ รวมเป็นหนึ่ง และ covariance แต่ละชุดสมมาตร positive semidefinite เมทริกซ์ชนิดนี้ให้ variance ที่ไม่ติดลบเมื่อคำนวณกับทุกเวกเตอร์น้ำหนัก ดู [นิยาม positive semidefinite](glossary.html#positive-semidefinite) `centered = mu - mean` คือส่วนต่างของ mean แต่ละสถานะจาก mean รวม `p[:, None]` เปลี่ยน probability จากแถวเป็นคอลัมน์เพื่อคูณทุกสินทรัพย์ในสถานะเดียวกัน ส่วน `einsum("k,kij->ij", p, cov)` บอก NumPy ให้ถ่วงเมทริกซ์แต่ละสถานะด้วย probability แล้วรวมดัชนีสถานะ `k` ผลที่ได้คือ $$ \bar\mu=(0.020,0.027)^\top,\qquad \Sigma_{\rm mix}=\begin{pmatrix}0.0274&0.00052\\0.00052&0.003691\end{pmatrix}. $$ Covariance คู่ A/B มี within $0.0001$ และ between $0.00042$ รวม $0.00052$ แม้ภายใน Stress จะมี covariance ติดลบ แต่เมื่อเปลี่ยนจาก Calm ไป Stress ค่าเฉลี่ยของทั้ง A และ B ลดลงพร้อมกัน จึงเพิ่มพจน์ between ที่เป็นบวก ## คูณน้ำหนักแล้วอ่านหน่วยให้ตรง เมื่อใช้พอร์ต $w=(0.6,0.4)^\top$: $$E[R_p]=w^\top\bar\mu,\qquad \operatorname{Var}(R_p)=w^\top\Sigma_{\rm mix}w, \qquad \operatorname{SD}(R_p)=\sqrt{w^\top\Sigma_{\rm mix}w}.$$ ```python scenario_portfolio_mean = scenario_w @ scenario_mean scenario_portfolio_variance = scenario_w @ scenario_cov @ scenario_w scenario_portfolio_sd = np.sqrt(scenario_portfolio_variance) scenario_sd_without_between = np.sqrt(scenario_w @ scenario_within @ scenario_w) print(f"Annual expected return: {100 * scenario_portfolio_mean:.4f}%") print(f"Annual variance: {scenario_portfolio_variance:.8f}") print(f"Annual SD: {100 * scenario_portfolio_sd:.4f}%") print(f"SD omitting between-state variation: {100 * scenario_sd_without_between:.4f}%") ``` ค่าเฉลี่ยพอร์ตคือ 2.28% ต่อปี variance เท่ากับ 0.01070416 ในหน่วยผลตอบแทนทศนิยมยกกำลังสอง และ SD ประมาณ 10.3461% ต่อปี ถ้าใช้เพียง covariance เฉลี่ยภายในสถานะ SD จะเหลือประมาณ 8.6459% ซึ่งขาดส่วนที่มาจากความต่างของค่าเฉลี่ยสถานะ การคูณ variance ด้วย 100 ไม่ทำให้เป็น SD หน่วยเปอร์เซ็นต์ ต้องถอดรากก่อนแล้วค่อยคูณ 100 ขณะเดียวกัน ค่าเฉลี่ย 2.28% เป็น arithmetic expectation ของหนึ่งปี ไม่ใช่ CAGR ของพอร์ตที่ถือหลายปีภายใต้การสลับสถานะ ถ้า mean ทุกสถานะเท่ากัน พจน์ between จะเป็นศูนย์ แต่ SD หรือ correlation ภายในแต่ละสถานะยังต่างกันได้ และการแจกแจงรวมอาจมีหางต่างจาก Normal ชุดเดียว การเก็บไว้เพียง mean/covariance จึงไม่เก็บรูปร่างการแจกแจงทั้งหมด ## สร้างรายการสถานการณ์ที่คำนวณตรงได้ อีกวิธีหนึ่งเขียนผลตอบแทนในอนาคตที่เป็นไปได้เป็นแถว แล้วกำหนด probability ของแต่ละแถว เช่น ปีที่ A ได้ −35% และ B ได้ −4% มีโอกาส 12% ภายใต้ชุดสมมติใหม่ต่อไปนี้ แต่ละแถวเป็นทางเลือกของปีเดียวกัน ไม่ใช่ปีที่ต้องเกิดเรียงต่อกัน สามแถวแรกมี probability รวม 70% และสามแถวท้ายรวม 30% เพื่อแสดงการแตกสถานะใหญ่เป็นเหตุการณ์ย่อย หากเริ่มจากความน่าจะเป็นภายใน Calm `[0.5,0.3,0.2]` แล้วคูณ 0.7 จะได้ `[0.35,0.21,0.14]` ต้องถ่วงแบบเดียวกันให้ทุกสถานะก่อนรวมรายการ ```python finite_returns = np.array([[0.15, 0.05], [0.07, 0.02], [-0.05, 0.03], [-0.35, -0.04], [-0.15, 0.04], [0.08, 0.09]]) finite_p = np.array([0.35, 0.21, 0.14, 0.12, 0.105, 0.075]) finite_mean = finite_p @ finite_returns finite_centered = finite_returns - finite_mean finite_cov = (finite_centered * finite_p[:, None]).T @ finite_centered print(pd.DataFrame({"Probability": finite_p, "Asset A (%)": 100 * finite_returns[:, 0], "Asset B (%)": 100 * finite_returns[:, 1]})) print("Finite-scenario mean:", finite_mean) print("Finite-scenario covariance:\n", finite_cov) ``` `finite_p @ finite_returns` ถ่วงผลตอบแทนแต่ละแถวด้วย probability ได้ mean ของ A 0.845% และ B 3.205% ต่อปี จากนั้นหัก mean และคำนวณ weighted covariance สูตรเดียวกับค่าคาดหมายของการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง $$\mu_F=\sum_j p_jR_j,\qquad \Sigma_F=\sum_jp_j(R_j-\mu_F)(R_j-\mu_F)^\top.$$ เราใช้ probabilities ที่นิยามการแจกแจงครบแล้ว ไม่ใช่การประมาณ sample covariance แบบตัวหาร $n-1$ จึงไม่มีการแก้ `ddof` เพิ่ม หากแถวเป็นตัวอย่างสุ่มจากประชากรเพื่อประมาณ covariance จะเป็นโจทย์อีกแบบหนึ่ง ค่าเฉลี่ยและ covariance ของหกแถวนี้ไม่เท่ากับชุดก่อนหน้า การจับคู่ให้ moments ตรงต้องเป็นขั้นตอนออกแบบสถานการณ์เพิ่มเติม ไม่เกิดขึ้นเพียงเพราะจำนวนแถวมากหรือแบ่ง probability เป็น 70/30 เหมือนกัน ## ความแปรปรวนจากแถวตรงกับสูตรเมทริกซ์ ผลตอบแทนพอร์ตในแถว $j$ คือ $R_{p,j}=R_j^\top w$ คำนวณ mean และ variance โดยตรงจากหกแถวได้ แล้วเปรียบเทียบกับ $w^\top\Sigma_Fw$ ```python finite_portfolio = finite_returns @ scenario_w finite_portfolio_mean = finite_p @ finite_portfolio finite_direct_variance = finite_p @ (finite_portfolio - finite_portfolio_mean) ** 2 finite_matrix_variance = scenario_w @ finite_cov @ scenario_w print(f"Direct expected return: {100 * finite_portfolio_mean:.4f}%") print(f"Direct variance: {finite_direct_variance:.8f}") print(f"Matrix variance: {finite_matrix_variance:.8f}") print("Same quantity:", np.isclose(finite_direct_variance, finite_matrix_variance)) ``` พอร์ต 60/40 ได้ mean 1.7890% และ variance 0.01171861 ทั้งสองวิธีตรงกัน เพราะใช้แถวและ probabilities ชุดเดียวกัน ความเท่ากันนี้เป็นเอกลักษณ์ทางพีชคณิต ไม่ต้องใช้ Normal และไม่ต้องรอให้จำนวนสถานการณ์มากจนเข้าใกล้อนันต์ หาก mean/covariance มาจากค่าที่ตั้งไว้ภายนอก แต่เราสุ่มข้อมูลจำนวนจำกัดมาคำนวณ sample moments ตัวเลขย่อมคลาดกันได้ สิ่งที่ตรงกันแน่นอนคือ variance โดยตรงกับ variance ผ่าน covariance ที่คำนวณจากสถานการณ์สุ่มชุดเดียวกันและ normalization เดียวกัน ## อ่านหางขาดทุนเมื่อแต่ละสถานการณ์มีน้ำหนักต่างกัน ให้ loss $L_j=-R_{p,j}$: ผลตอบแทน −22.6% คือ loss +22.6% ส่วนกำไรมี loss ติดลบ [Expected shortfall](extreme-risk.html) ที่ระดับ confidence 95% เฉลี่ย loss ของ probability mass 5% ที่แย่ที่สุด โดยต้องใช้เพียงบางส่วนของ probability แถวขอบเขตได้ ผลตอบแทนพอร์ต 60/40 ในหกแถวเรียงตามลำดับเดิมคือ 11%, 5%, −1.8%, −22.6%, −7.4% และ 8.4% เหตุการณ์ที่แย่ที่สุดมี loss 22.6% และ probability 12% ซึ่งมากกว่าหาง 5% อยู่แล้ว ดังนั้น ES95 เท่ากับ 22.6% โดยใช้เพียง 5% จาก 12% ของแถวนั้น ถ้า confidence เป็น 80% หางต้องมี probability 20% ใช้แถว loss 22.6% ครบ 12% และใช้ 8% จากแถว loss 7.4% ที่มีทั้งหมด 10.5% จะได้ $$\operatorname{ES}_{80\%}= \frac{0.12(0.226)+0.08(0.074)}{0.20}=0.1652.$$ ```python def scenario_es(losses, probabilities, confidence=0.95): losses, p = np.asarray(losses, float), np.asarray(probabilities, float) if (losses.ndim != 1 or len(losses) == 0 or p.shape != losses.shape or not np.isfinite(losses).all() or not np.isfinite(p).all() or np.any(p < 0) or not np.isclose(p.sum(), 1) or not np.isfinite(confidence) or not 0 < confidence < 1): raise ValueError("Need finite losses, probabilities summing to one, and 0 < confidence < 1") order = np.argsort(-losses, kind="stable") ordered_loss, ordered_p = losses[order], p[order] tail_mass = 1 - confidence mass_before = np.r_[0.0, np.cumsum(ordered_p[:-1])] used = np.minimum(ordered_p, np.maximum(tail_mass - mass_before, 0)) return used @ ordered_loss / tail_mass finite_es95 = scenario_es(-finite_portfolio, finite_p, 0.95) finite_es80 = scenario_es(-finite_portfolio, finite_p, 0.80) print(f"95% expected shortfall: {100 * finite_es95:.4f}%") print(f"80% expected shortfall: {100 * finite_es80:.4f}%") ``` ฟังก์ชันเรียง loss จากมากไปน้อย `mass_before` เก็บ probability สะสมก่อนแต่ละแถว `maximum` ตรวจว่ายังขาดหางอีกเท่าไร และ `minimum` จำกัดไม่ให้ใช้เกิน probability ของแถวนั้น เมื่อนำ loss คูณ probability ที่ใช้แล้วหารขนาดหาง จะได้ ES95 22.6000% และ ES80 16.5200% หากหลายแถวมี loss เท่ากัน การแบ่ง probability หางระหว่างแถวเหล่านั้นไม่เปลี่ยนค่า ES เพราะ loss ต่อหน่วยเท่ากัน วิธีเลือกทุกแถวที่ loss เกินหรือเท่ากับ VaR แล้วเฉลี่ยใหม่ทั้งแถวอาจใช้ probability มากเกินหางที่ต้องการ จึงไม่เท่ากับนิยามนี้เมื่อมีมวล probability ที่ขอบเขต ES เป็นค่าเฉลี่ยภายในหาง ไม่ใช่ขาดทุนสูงสุด และ confidence 95% ไม่ได้หมายความว่าการขาดทุนจะไม่เกิน ES ด้วย probability 95% ดูความต่างของ VaR กับ ES ใน [บทความเสี่ยงหาง](extreme-risk.html) ## เปรียบเทียบพอร์ตด้วยสถานการณ์ชุดเดียวกัน ลองเพิ่มน้ำหนัก A จาก 0% เป็น 100% ทีละ 25 จุดเปอร์เซ็นต์ และใส่ส่วนที่เหลือใน B ทุกพอร์ตใช้ probabilities และผลตอบแทนหกแถวเดิม เปลี่ยนเพียงน้ำหนัก ```python finite_comparison = [] for equity_weight in [0, 0.25, 0.50, 0.75, 1]: w = np.array([equity_weight, 1 - equity_weight]) portfolio = finite_returns @ w finite_comparison.append({"A weight": equity_weight, "Mean (%)": 100 * (finite_p @ portfolio), "SD (%)": 100 * np.sqrt(w @ finite_cov @ w), "ES 95% (%)": 100 * scenario_es(-portfolio, finite_p)}) finite_comparison = pd.DataFrame(finite_comparison) print(finite_comparison.round(4)) ``` ในชุดสมมตินี้ การเพิ่ม A ทำให้ mean ลดลง ขณะที่ SD และ ES95 สูงขึ้น ตัวอย่างพอร์ต A 25% ได้ mean 2.615%, SD 6.1299% และ ES95 11.75% ส่วนพอร์ต A 75% ได้ mean 1.435%, SD 12.8870% และ ES95 27.25% ผลเช่นนี้มาจากสถานการณ์ที่เรากำหนด ไม่ใช่กฎว่า A ซึ่งมีความเสี่ยงสูงต้องให้ expected return ต่ำกว่า B เสมอ การประเมินพอร์ตจากแบบจำลองจึงต้องแสดง input ให้ผู้อ่านตรวจได้ รวมทั้งตรวจความไวต่อ probability และผลตอบแทนของแถวที่มีอิทธิพลสูง ตารางนี้สำรวจห้าน้ำหนักที่กำหนด ไม่ใช่การแก้ optimization ต่อเนื่อง หากจะหาน้ำหนักจริงต้องกำหนด objective, ข้อจำกัดน้ำหนัก, ผลตอบแทนขั้นต่ำหรือ liability รวมถึงต้นทุน แล้วทดสอบด้วยข้อมูลที่ไม่ได้ใช้ตั้งโจทย์ พอร์ตที่ให้ objective ดีที่สุดภายในสถานการณ์ชุดหนึ่งยังขึ้นกับความถูกต้องของชุดนั้น ## สุ่มจาก mixture แล้วเทียบกับ moments ที่ตั้งไว้ กลับไปยังพารามิเตอร์ Calm/Stress ในส่วนแรก คราวนี้สมมติผลตอบแทนร่วมของ A/B เป็น multivariate Normal ภายในแต่ละสถานะ ขั้นสุ่มหนึ่งปีคือเลือกสถานะตาม 70/30 ก่อน แล้วสุ่มผลตอบแทนตาม mean และ covariance ของสถานะที่เลือก จึงเป็น mixture ของสอง Normal ไม่ใช่ Normal ชุดเดียวที่ใช้ค่าเฉลี่ยพารามิเตอร์ ```python scenario_rng = np.random.default_rng(401) scenario_count = 100000 scenario_states = (scenario_rng.random(scenario_count) >= scenario_p[0]).astype(int) scenario_draws = np.empty((scenario_count, 2)) for state in [0, 1]: selected = scenario_states == state shock = scenario_rng.standard_normal((selected.sum(), 2)) L = np.linalg.cholesky(scenario_covs[state]) scenario_draws[selected] = scenario_means[state] + shock @ L.T scenario_mc_mean = scenario_draws.mean(axis=0) scenario_mc_cov = np.cov(scenario_draws, rowvar=False, ddof=0) print("Monte Carlo mean:", scenario_mc_mean) print("Theoretical mean:", scenario_mean) print("Largest covariance error:", round(np.abs(scenario_mc_cov - scenario_cov).max(), 8)) ``` `default_rng(401)` ตั้งตัวสร้างเลขสุ่มให้ทำซ้ำได้ `random` สร้างเลขในช่วง 0 ถึง 1 ค่าตั้งแต่ 0.70 ขึ้นไปถูกกำหนดเป็น Stress ส่วน mask `selected` เลือกแถวของสถานะนั้นมาสร้างผลตอบแทน `cholesky` ให้เมทริกซ์ $L$ ที่ $LL^\top=\Sigma_s$ เมื่อ `shock` มีสมาชิก Normal อิสระ mean 0 และ variance 1 การคูณแถว `shock @ L.T` ทำให้ covariance ตรงกับสถานะตามแบบจำลอง จากนั้นบวก mean ของสถานะ วิธีนี้เทียบเท่าการสร้าง multivariate Normal ตาม mean/covariance ที่กำหนด ดูเงื่อนไขเมทริกซ์ใน [NumPy multivariate_normal](https://numpy.org/doc/stable/reference/random/generated/numpy.random.Generator.multivariate_normal.html) 100,000 ตัวอย่างให้ mean โดยประมาณ `[0.018898, 0.026982]` ต่างจาก `[0.02, 0.027]` และ covariance คลาดมากที่สุดประมาณ 0.00008945 แม้สร้างข้อมูลจากแบบจำลองที่รู้จริง sample moments ก็ไม่จำเป็นต้องตรงค่าประชากรพอดี นี่เป็นการสุ่มปีข้างหน้าอย่างอิสระหลายครั้ง ไม่ใช่ 100,000 ปีที่เดินต่อกันด้วย Markov transition และ Normal ของ simple return ยังมีหางต่ำกว่า −100% ทางทฤษฎี การนำไปจำลองความมั่งคั่งหลายปีต้องเลือกแบบจำลองราคาหรือผลตอบแทนให้เหมาะกับการคำนวณนั้น ## จำนวนตัวอย่างลด sampling error ไม่ได้ซ่อมสมมติฐาน สำหรับค่าเฉลี่ยพอร์ตจากตัวอย่างที่สุ่มเป็นอิสระกัน MC standard error ประมาณได้ด้วย $$\operatorname{SE}(\widehat\mu_p)=s_p/\sqrt N.$$ $s_p$ คือ sample SD ของผลตอบแทนพอร์ต และ $N$ คือจำนวนสถานการณ์สุ่ม จำนวน observations ที่มากขึ้นลดความแกว่งของค่าเฉลี่ยจำลองรอบค่าเฉลี่ยของโมเดล แต่ไม่ทำให้ probability 70/30 หรือ conditional means ใกล้ตลาดจริงขึ้นเอง ```python scenario_mc_portfolio = scenario_draws @ scenario_w scenario_mc_se = scenario_mc_portfolio.std(ddof=1) / np.sqrt(scenario_count) scenario_mc_mean_error = scenario_mc_portfolio.mean() - scenario_portfolio_mean print(f"Sample mean: {100 * scenario_mc_portfolio.mean():.4f}%") print(f"Mean standard error: {100 * scenario_mc_se:.4f} percentage points") print(f"Sample-minus-theory mean: {100 * scenario_mc_mean_error:.4f} percentage points") ``` Mean พอร์ตจำลองได้ประมาณ 2.2132% เทียบค่าทฤษฎี 2.28% ส่วน SE ประมาณ 0.0328 จุดเปอร์เซ็นต์ ความต่างครั้งนี้ −0.0668 จุดเปอร์เซ็นต์ หรือประมาณสอง SE เป็นความเป็นไปได้จากการสุ่ม ไม่ควรเลือก seed ใหม่เพียงเพื่อให้ตัวเลขดูใกล้ทฤษฎีขึ้น SE นี้เป็นของ mean ไม่ใช่ของ variance, ES หรือความน่าจะเป็นหาง ซึ่งต้องใช้ตัวประมาณความคลาดเคลื่อนที่เหมาะกับแต่ละสถิติ และสูตร $1/\sqrt N$ ใช้กับสถานการณ์อิสระตามที่สร้าง ไม่ใช่จำนวนปีที่มี serial dependence แล้วนับทุกปีเป็นอิสระ ## เปลี่ยนความน่าจะเป็นแล้วคำนวณใหม่ทั้งสอง moments หากโอกาส Stress เปลี่ยน ค่าเฉลี่ยรวมเปลี่ยน และพจน์ between-state ก็เปลี่ยนตาม เราจะคง conditional means/covariances และน้ำหนักพอร์ตไว้ แล้วทดลอง Stress 10%, 30% และ 50% ```python scenario_sensitivity = [] for stress_probability in [0.10, 0.30, 0.50]: p = np.array([1 - stress_probability, stress_probability]) mean, cov, _, _ = mixture_moments(p, scenario_means, scenario_covs) scenario_sensitivity.append({"Stress probability": stress_probability, "Mean (%)": 100 * (scenario_w @ mean), "SD (%)": 100 * np.sqrt(scenario_w @ cov @ scenario_w)}) scenario_sensitivity = pd.DataFrame(scenario_sensitivity) print(scenario_sensitivity.round(4)) ``` Mean พอร์ตเปลี่ยนจาก 4.76% เป็น 2.28% และ −0.20% ส่วน SD เปลี่ยนจากประมาณ 8.2839% เป็น 10.3461% และ 11.5395% การเปลี่ยน probability จึงไม่ได้แค่เลื่อนค่าเฉลี่ยของการแจกแจงโดยรักษาความเสี่ยงเดิม หากลงทุนหลายปี เราต้องกำหนดด้วยว่าสถานะของปีต่อไปสัมพันธ์กับปีนี้อย่างไร สองแบบจำลองอาจมี probability และ moments ของปีเดียวกันเท่ากัน แต่ให้ลำดับเหตุการณ์ต่างกัน เมื่อมีการถอนเงิน ลำดับเหล่านั้นส่งผลต่อจำนวนเงินที่เหลือ บท [Endowment Simulation](endowment-simulation.html) จะคำนวณประเด็นนี้ด้วยบัญชีเงินรายปี ## แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย 1. ถ้า probability ของ Calm/Stress เปลี่ยนเป็น 50/50 ค่าเฉลี่ย A เป็นเท่าไร