--- title: Applied Stochastic Calculus description: จาก quadratic variation และ Itô’s lemma สู่ GBM, mean reversion, สมการ Kolmogorov และการจำลอง SDE ที่ใช้ช็อกสัมพันธ์กัน notebook: notebooks/applied-stochastic-calculus.ipynb visual_route: no-image-generator --- # Applied Stochastic Calculus

เมื่อสิ่งที่เราสนใจเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม เราจะหาการเปลี่ยนแปลงของมันอย่างไร

> “ตรรกะและสัญชาตญาณต่างมีบทบาทที่จำเป็น ทั้งสองสิ่งขาดไปไม่ได้” > > “Thus logic and intuition have each their necessary rôle. Each is indispensable.” > > — **Henri Poincaré** · [*The Value of Science, บท I §V*](https://www.gutenberg.org/cache/epub/39713/pg39713-images.html)
ในบทนี้เราจะเข้าใจ Stochastic Calculus อย่าพึงถอดใจเมื่อเจอสิ่งที่ยาก Stochastic แปลว่าสุ่ม Calculus คือการศึกษาการเปลี่ยนแปลง เรเพียงแต่จะศึกษาการเปลี่ยนแปลงของระบบที่สุ่ม บท [Transition Density Functions](transition-density-functions.html) ตอบว่า “จากจุดเริ่มต้นหนึ่ง อนาคตกระจายไปอย่างไร” แต่ในการเงิน เรามักไม่ได้สนใจตัวแปรนั้นเพียงตัวเดียว เราอาจสนใจ log ของราคา ราคายกกำลังสอง หรือมูลค่าสัญญาที่ขึ้นกับราคาและเวลา ถ้า S เปลี่ยนแบบสุ่ม แล้ว F(S,t) จะเปลี่ยนตามกฎใด? คำตอบคือ **[Itô’s lemma](glossary.html#itos-lemma)** ซึ่งเป็นกฎลูกโซ่สำหรับกระบวนการแบบ Itô และเป็นเครื่องมือหลักของบทนี้
## 1. time step ย่อครึ่งหนึ่ง แต่ขนาดช็อกไม่ได้ย่อครึ่งหนึ่ง เริ่มจากเหรียญยุติธรรมและผลการโยนที่เป็นอิสระ ให้ Rᵢ เป็น +1 หรือ −1 ด้วยโอกาสอย่างละ 1/2 และ Cₙ เป็นยอดสะสมหลัง n ครั้ง $$ C_n=\sum_{i=1}^{n}R_i,\qquad \mathbb E[R_i]=0,\qquad \mathbb E[R_i^2]=1,\qquad \mathbb E[R_iR_j]=0\quad(i\ne j). $$ ก่อนเริ่มทดลอง E[Cₙ] = 0 และ Var(Cₙ) = n แต่เมื่อรู้ยอดปัจจุบัน Cₘ แล้ว ค่าคาดหมายของยอดในอนาคตคือ **E[Cₙ | Cₘ] = Cₘ เมื่อ n ≥ m** ประวัติที่รู้เปลี่ยนคำตอบของยอดรวม แม้จะไม่เปลี่ยนโอกาสหัวหรือก้อยของครั้งถัดไป ถ้าบีบ n ครั้งให้อยู่ในเวลารวม T และลดขนาดแต่ละ step เป็น ±√(T/n) จะมี $$ \Delta t=\frac{T}{n},\qquad \Delta W=\pm\sqrt{\Delta t},\qquad \operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{n}\Delta W_i\right)=T. $$ การเลือก **ขนาด step ตาม √Δt** ทำให้ความสุ่มไม่หายไปเมื่อแบ่งเวลาละเอียดขึ้น ลิมิตของการเดินสุ่มที่ปรับสเกลเหมาะสมนี้ให้ Brownian motion ส่วนในแบบจำลอง Brownian โดยตรง step ในช่วงเวลาที่มีขนาดจำกัดมีการแจกแจง $$ \Delta W_i=W_{t_{i+1}}-W_{t_i} \sim\mathcal N(0,\Delta t), \qquad \Delta W_i=\sqrt{\Delta t}\,Z_i,\quad Z_i\overset{\text{iid}}{\sim}\mathcal N(0,1). $$ Brownian motion มีเส้นทางต่อเนื่อง step ในช่วงเวลาที่ไม่ทับกันเป็นอิสระ และ SD ของ step เท่ากับ √Δt สัญลักษณ์ **dW** ใช้ในสมการเชิงสุ่ม ไม่ใช่อนุพันธ์ธรรมดาที่เรานำไปหาร dt แล้วได้ความเร็วของเส้นทางที่เรียบ ถ้าเวลาเป็นปี W มีหน่วย √ปี จึงต้องดูหน่วยของสัมประสิทธิ์ที่คูณ dW ด้วยเสมอ
## 2. step เล็กลง แต่ผลรวมกำลังสองยังเหลืออยู่ ให้แบ่งช่วง [0,T] เป็น n ช่วงเท่ากัน แล้ววัด **[quadratic variation](glossary.html#quadratic-variation)** บนตารางนี้ด้วย $$ Q_n=\sum_{i=0}^{n-1}(\Delta W_i)^2. $$ ต้องแยกสองกรณีที่ดูคล้ายกันออกจากกัน | step ที่ใช้ | กำลังสองของ step เดียว | ผลรวม Qₙ | |---|---|---| | เหรียญ ±√Δt | เท่ากับ Δt ทุกครั้ง | เท่ากับ T พอดี แม้ n ยังจำกัด | | step Gaussian ของ Brownian | Δt Zᵢ² ยังเป็นตัวแปรสุ่ม | ยังสุ่มที่ n จำกัด แต่เข้าใกล้ T ในลิมิต | สำหรับ Gaussian increments อิสระ เราใช้ E[Z²] = 1 และ E[Z⁴] = 3 จึงได้ $$ \mathbb E[Q_n]=T,\qquad \mathbb E[(Q_n-T)^2] =\operatorname{Var}(Q_n) =\frac{2T^2}{n}\longrightarrow0. $$ นี่คือการลู่เข้าแบบ **[mean square](glossary.html#mean-square-convergence)**: ค่าเฉลี่ยของความคลาดเคลื่อนยกกำลังสองลดสู่ศูนย์ ไม่ได้หมายความว่าทุกเส้นทางต้องเข้าใกล้ T มากขึ้นในทุกครั้งที่เพิ่ม n ผลนี้ย่อเป็นกฎจำของ stochastic calculus ว่า $$ (dW)^2=dt,\qquad dt\,dW=0,\qquad (dt)^2=0. $$ **กฎนี้เป็นสัญลักษณ์ของการคำนวณในลิมิต ไม่ใช่สมการของ step Gaussian แต่ละ step** ที่ Δt ยังไม่เป็นศูนย์ เราต้องใช้ (ΔW)² = Δt Z² ซึ่งไม่เท่ากับ Δt เสมอ เทียบกับเส้นทางเรียบ เช่น x(t) = t จะได้ผลรวมกำลังสอง n(T/n)² = T²/n → 0 ความแตกต่างตรงนี้ทำให้แคลคูลัสของ Brownian ต้องเก็บพจน์อันดับสองไว้
## 3. ลองยกกำลังสอง แล้วดูสิ่งที่กฎลูกโซ่ธรรมดาทำหาย เริ่มด้วยเอกลักษณ์พีชคณิตที่ถูกต้องสำหรับทุก step $$ W_{t_{i+1}}^2-W_{t_i}^2 =2W_{t_i}\Delta W_i+(\Delta W_i)^2. $$ รวมทุก step และใช้ W₀ = 0 จะได้ $$ W_T^2=2\sum_{i=0}^{n-1}W_{t_i}\Delta W_i+Q_n. $$ ผลรวมตรงกลางใช้ค่า W **ก่อน** รับช็อกของช่วงถัดไป นี่เป็นจุดเริ่มต้นของ **[Itô integral](glossary.html#ito-integral)** ซึ่งใช้ข้อมูลที่มีอยู่แล้ว ไม่เอาค่าในอนาคตมาย้อนกำหนดน้ำหนักของ step ปัจจุบัน เมื่อแบ่งเวลาละเอียดขึ้น ผลรวมฝั่งซ้ายของแต่ละช่วงให้ $$ \int_0^T W_t\,dW_t=\frac{W_T^2-T}{2}. $$ จึงได้กฎการเปลี่ยนแปลง $$ \boxed{d(W_t^2)=2W_t\,dW_t+dt.} $$ ถ้าใช้กฎลูกโซ่ธรรมดาแล้วเขียนแค่ 2W dW เราจะทำ **dt** หายไป แต่ E[W_T²] = T จึงเห็นได้ว่าพจน์ที่หายมีความหมายจริง สำหรับ integrand ที่ไม่มองอนาคตและมี E[∫₀ᵀ Hₜ² dt] < ∞ จะมี E[∫₀ᵀ Hₜ dWₜ] = 0 ไม่ควรสรุปว่าปริพันธ์เชิงสุ่มทุกแบบมีค่าคาดหมายศูนย์โดยไม่ดู integrand อ่านนิยามเพิ่มเติมใน [Miranda Holmes-Cerfon, Lecture 7: Stochastic Integration](https://personal.math.ubc.ca/~holmescerfon/teaching/asa22/handout-Lecture7_2022.pdf) ### ทดลอง: ดูพจน์ที่สะสมจากกำลังสองของ step ห้องทดลองใช้ Gaussian increments ของ Brownian path เดียวกันบนตารางละเอียด แล้วรวม step ติดกันเมื่อเลือก n ที่เล็กลง จึงเปรียบเทียบความละเอียดโดยไม่เปลี่ยนเส้นทางสุ่มพื้นฐาน
ลองเพิ่ม n แล้วเปลี่ยน seed ผลต่างของ Qₙ กับ T อาจขึ้นหรือลงในเส้นทางใดเส้นทางหนึ่ง แต่ค่าคลาดเคลื่อนแบบ RMS ตามทฤษฎีคือ T√(2/n) และผลรวมแบบ Itô บนตารางต้องตรงกับ **(W_T² − Qₙ)/2** ก่อนพิจารณาลิมิต
## 4. Itô’s lemma: อ่าน drift และช็อกของฟังก์ชันใหม่ ให้ตัวแปร Y ตาม [stochastic differential equation](glossary.html#stochastic-differential-equation) $$ dY_t=a(Y_t,t)\,dt+b(Y_t,t)\,dW_t. $$ a เป็น drift ในหน่วย Y ต่อเวลา ส่วน b เป็นขนาดช็อกในหน่วย Y ต่อ √เวลา ค่า a(Yₜ,t) อาจสุ่มเพราะขึ้นกับสถานะ Yₜ คำว่า “ส่วนที่คาดการณ์ได้” จึงหมายถึงรู้สัมประสิทธิ์เมื่อกำหนดสถานะปัจจุบันแล้ว ไม่ได้หมายความว่าเส้นทางของ drift ทั้งหมดไม่สุ่ม สำหรับฟังก์ชัน F(y,t) ที่หาอนุพันธ์ตามเวลาได้หนึ่งครั้งและตาม y ได้สองครั้ง โดยอนุพันธ์เหล่านี้ต่อเนื่อง หรือเรียกว่า **C¹,²** กฎ Itô ให้ $$ \boxed{ dF(Y_t,t)= \left(F_t+aF_y+\frac12 b^2F_{yy}\right)dt +bF_y\,dW_t. } $$ อนุพันธ์และสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสูตรประเมินที่ (Yₜ,t) สำหรับกระบวนการที่มีเงื่อนไขความเรียบและการมีอยู่ของคำตอบเหมาะสม | พจน์ | สิ่งที่ทำให้ F เปลี่ยน | |---|---| | Fₜ dt | เวลาเดินไป แม้ตรึงค่า Y | | aFᵧ dt | drift ของ Y ผ่านความชันของ F | | ½b²Fᵧᵧ dt | ความผันผวนผ่านความโค้งของ F หรือ Itô correction | | bFᵧ dW | ช็อกที่เหลืออยู่ใน F | ที่มาของพจน์ใหม่คือการขยาย Taylor: เมื่อ dY มีขนาดช็อกตาม √dt พจน์ (dY)² จึงมีส่วน b²dt ที่ยังต้องเก็บไว้ หาก F เป็นเส้นตรงจะไม่มี Fᵧᵧ แต่เมื่อ F โค้ง พจน์แก้ไขนี้มักไม่เป็นศูนย์ ### เชื่อมกลับไปยังสมการการแพร่ ในบทก่อน dY = √2 c dW จึงมี a = 0 และ b = √2 c เมื่อเลือก F(Y) = Y² จะได้ $$ d(Y^2)=2\sqrt2\,cY\,dW+2c^2dt, \qquad \mathbb E[Y_T^2\mid Y_t=y]=y^2+2c^2(T-t). $$ เทอม **c²Fᵧᵧ** จึงเป็นตัวเดียวกับสัมประสิทธิ์ในสมการ Backward ของบทก่อน ส่วน 2c²(T−t) ตรงกับความแปรปรวนที่เราได้จาก Gaussian ถ้า F เป็นมูลค่าสัญญา V(S,t) สูตรนี้ช่วยหาการเปลี่ยนแปลงของ V โดยใช้ความชันและความโค้ง แต่ **Itô’s lemma เพียงอย่างเดียวยังไม่กำหนดราคา Option** ต้องมีเงื่อนไข payoff, no arbitrage และแบบจำลองการคิดราคาที่สอดคล้องกันด้วย
## 5. ใช้กับ GBM: ทำไม log ของราคาจึงมี −½σ² สมมติราคาตาม [Geometric Brownian Motion](glossary.html#geometric-brownian-motion) ที่มี μ,σ คงที่ และ S₀ > 0 $$ dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t. $$ เมื่อเวลาเป็นปี μ มีหน่วยต่อปี และ σ มีหน่วยต่อ √ปี ในตัวอย่างจะใช้ μ = 0.10 และ σ = 0.20 ค่า μ เป็น drift ของผลตอบแทนแบบสัดส่วนในโมเดล ไม่ใช่ผลตอบแทนที่เส้นทางจริงต้องได้ เลือก F(S) = log S จะมี F_S = 1/S และ F_SS = −1/S² จึงได้ $$ d\log S_t =\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)dt+\sigma\,dW_t. $$ log เป็นฟังก์ชันเว้า อนุพันธ์อันดับสองจึงติดลบและทำให้ drift ของ log ต่ำกว่า μ เมื่อ σ ไม่เป็นศูนย์ นี่คือผลของ Itô correction ไม่ใช่ค่าธรรมเนียมหรือการหักผลตอบแทนตามใจ อินทิเกรตจาก 0 ถึง t โดยใช้ W₀ = 0: $$ \log\frac{S_t}{S_0} =\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)t+\sigma W_t, \qquad \boxed{S_t=S_0\exp\!\left[\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)t+\sigma W_t\right].} $$ คำตอบนี้เป็นบวกทุกเวลาจำกัดเมื่อ S₀ > 0 และทำให้ **log return เป็น Normal ส่วนราคาเป็น Lognormal** ไม่ใช่เพราะ simple return ถูกสมมติให้เป็น Normal แล้วราคาจะเป็น Lognormal โดยทันที สำหรับ σ > 0 และ t > 0: $$ \log\frac{S_t}{S_0} \sim\mathcal N\!\left(\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)t,\sigma^2t\right). $$ เมื่อ S₀ = 100, μ = 0.10, σ = 0.20 และ t = 1 ปี จะมี | สิ่งที่วัด | สูตร | ค่า | |---|---|---:| | ค่าคาดหมายของราคา | S₀e^(μt) | 110.5171 | | มัธยฐานของราคา | S₀e^((μ−σ²/2)t) | 108.3287 | | ค่าคาดหมายของ log return | (μ−σ²/2)t | 0.08 | | SD ของ log return | σ√t | 0.20 | ค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานต่างกันเพราะการแจกแจงราคาเบ้ ค่า 108.3287 จึงไม่ใช่ E[S₁] และไม่มีค่าใดเป็นการทำนายราคาจริง ณ สิ้นปี
อีกตัวอย่าง: ราคายกกำลังสอง เลือก F(S) = S² มี F_S = 2S และ F_SS = 2 ดังนั้น $$ d(S_t^2)=(2\mu+\sigma^2)S_t^2\,dt+2\sigma S_t^2\,dW_t. $$ คราวนี้ฟังก์ชันนูนทำให้ Itô correction เป็นบวก สังเกตเครื่องหมายเทียบกับกรณี log S แล้วจะเห็นบทบาทของความโค้งโดยไม่ต้องท่องสูตรแยกกัน
## 6. ใช้กับ mean reversion: กลับเข้าหาค่าเฉลี่ยได้โดยยังมีช็อก GBM ให้ขนาดช็อกโตตามราคา แต่อีกกลุ่มหนึ่งของแบบจำลองมีแรงดึงกลับเข้าหาค่ากลางหรือ [mean reversion](glossary.html#mean-reversion) ตัวอย่างคือ **[Ornstein–Uhlenbeck process](glossary.html#ornstein-uhlenbeck)** หรือ **Vasicek model** เมื่อใช้กับอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น $$ dr_t=\kappa(\theta-r_t)\,dt+\sigma_r\,dW_t, \qquad \kappa>0. $$ θ เป็นระดับระยะยาว κ เป็นความเร็วในการกลับเข้าหา θ และ σᵣ เป็นขนาดช็อกของระดับ r สมมติทั้งสามเป็นค่าคงที่สำหรับคำตอบในหัวข้อนี้ ในบทนี้เปลี่ยน γ และ r̄ ของต้นฉบับเป็น κ และ θ เพื่อให้อ่านง่าย เมื่อ r ต่ำกว่า θ พจน์ drift เป็นบวก เมื่อ r สูงกว่า θ drift เป็นลบ แต่ช็อกยังอาจผลักให้เดินออกห่างได้ **mean reversion เป็นแรงดึงใน drift ไม่ใช่คำสัญญาว่าทุก step ต้องเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย** ตั้ง uₜ = rₜ − θ จะได้ du = −κu dt + σᵣ dW แล้วใช้ integrating factor e^(κt): $$ d(e^{\kappa t}u_t)=\sigma_r e^{\kappa t}\,dW_t. $$ จึงได้คำตอบ $$ r_t=\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa t} +\sigma_r\int_0^t e^{-\kappa(t-s)}\,dW_s. $$ สำหรับ r₀ ที่กำหนดแน่นอนและ σᵣ > 0 คำตอบมีการแจกแจง Normal โดย $$ \begin{aligned} \mathbb E[r_t\mid r_0]&=\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa t},\\ \operatorname{Var}(r_t\mid r_0)&=\frac{\sigma_r^2}{2\kappa}\left(1-e^{-2\kappa t}\right). \end{aligned} $$ เมื่อเวลายาวขึ้น อิทธิพลของ r₀ ลดลงและการแจกแจงเข้าใกล้ **[stationary distribution](glossary.html#stationary-distribution)** $$ r_\infty\sim\mathcal N\!\left(\theta,\frac{\sigma_r^2}{2\kappa}\right). $$ นี่หมายถึงการแจกแจงระยะยาวคงรูป ไม่ได้หมายความว่าเส้นทางแต่ละเส้นหยุดสุ่ม หากเริ่มจาก r₀ คงที่ กระบวนการยังไม่อยู่ใน stationary distribution ตั้งแต่เวลา 0 ตัวอย่างสมมติให้ r₀ = 5%, θ = 3%, κ = 1.5 ต่อปี และ σᵣ = 0.01 ต่อ √ปี หรือ 1 จุดเปอร์เซ็นต์ต่อ √ปี หลังหนึ่งปี ค่าคาดหมายประมาณ **3.4463%** และ SD ประมาณ **0.5628 จุดเปอร์เซ็นต์** ส่วน SD ระยะยาวประมาณ **0.5774 จุดเปอร์เซ็นต์** OU/Vasicek มีหาง Gaussian บนเส้นจำนวนจริง จึงยอมให้อัตราดอกเบี้ยติดลบได้ การเลือกใช้ต้องพิจารณาว่าสมบัตินี้เหมาะกับสิ่งที่กำลังจำลองหรือไม่
## 7. SDE หนึ่งสมการ เชื่อมกับความหนาแน่นสองมุมมอง กลับไปที่ตัวแปรทั่วไป dY = a(Y,t)dt + b(Y,t)dW และใช้สัญลักษณ์เดิมจากบทก่อน **k(y,t;z,T)** เมื่อมี transition density และความเรียบเพียงพอ สมการ Forward คือ $$ \boxed{ \frac{\partial k}{\partial T} =-\frac{\partial}{\partial z}\big[a(z,T)k\big] +\frac12\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big[b(z,T)^2k\big]. } $$ Forward ตรึงจุดเริ่มต้น y,t แล้วติดตามการแจกแจงปลายทาง **สัมประสิทธิ์อยู่ภายในอนุพันธ์** เพราะอาจเปลี่ยนตามตำแหน่ง z ส่วน Backward ตรึงปลายทาง z,T และทำงานกับจุดเริ่มต้น: $$ \boxed{ \frac{\partial k}{\partial t} +a(y,t)\frac{\partial k}{\partial y} +\frac12b(y,t)^2\frac{\partial^2k}{\partial y^2}=0. } $$ ถ้า a = 0 และ b = √2 c คงที่ ทั้งคู่จะกลับเป็นสมการในบท Transition Density ทันที แต่เมื่อสัมประสิทธิ์ขึ้นกับสถานะ จะสลับตัวแปรและเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างเดียวไม่ได้ ### จาก log ของ GBM กลับเป็นความหนาแน่นของราคา เพราะ log return เป็น Normal เราจึงแปลงกลับเป็นความหนาแน่นของราคาปลายทาง z > 0 ได้ สำหรับ τ = T − t > 0, ราคาเริ่มต้น s > 0 และ σ > 0: $$ k(s,t;z,T) =\frac{1}{z\sigma\sqrt{2\pi\tau}} \exp\!\left[ -\frac{\left(\log(z/s)-(\mu-\sigma^2/2)\tau\right)^2}{2\sigma^2\tau} \right]. $$ ตัวคูณ **1/z** มาจากการเปลี่ยนตัวแปร log z กลับเป็น z จะลืมพจน์นี้ไม่ได้ เพราะพื้นที่ใต้ความหนาแน่นราคาต้องยังเป็น 1 สำหรับ OU, drift ดึงมวลกลับเข้าหา θ ขณะที่ diffusion กระจายมวลออก จึงมีการแจกแจงระยะยาวที่สมดุลกันได้ การมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาเพียงอย่างเดียวไม่ได้รับประกันว่าจะมี stationary distribution สำหรับทุกแบบจำลอง สมการเหล่านี้ต้องใช้ร่วมกับเงื่อนไขเริ่มต้น ขอบเขต และกฎความน่าจะเป็นที่เลือก การหาความหนาแน่นภายใต้แบบจำลองยังไม่เท่ากับการกำหนดราคาสัญญาภายใต้ risk-neutral measure อ่านเรื่องตัวดำเนินการและเงื่อนไขต่อได้ใน [Lecture 10: Forward and Backward Equations for SDEs](https://personal.math.ubc.ca/~holmescerfon/teaching/asa22/handout-Lecture10_2022.pdf)
## 8. จากสมการต่อเนื่อง สู่ขั้นตอนที่คอมพิวเตอร์คำนวณได้ วิธี **[Euler–Maruyama](glossary.html#euler-maruyama)** ประมาณการเปลี่ยนแปลงโดยประเมินสัมประสิทธิ์ที่ต้นช่วง แล้วใช้ช็อกใหม่ในแต่ละ step: $$ Y_{i+1}=Y_i+a(Y_i,t_i)\Delta t +b(Y_i,t_i)\sqrt{\Delta t}\,Z_i, \qquad Z_i\overset{\text{iid}}{\sim}\mathcal N(0,1). $$ ช็อกในสูตรนี้คูณด้วย √Δt หากใช้ Δt แทน ความแปรปรวนรวมจะยุบลงเมื่อแบ่งเวลาละเอียดขึ้นและได้คนละแบบจำลอง สำหรับ GBM สูตร Euler เป็น $$ S_{i+1}^{\mathrm{Euler}} =S_i^{\mathrm{Euler}}\left(1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_i\right). $$ ใช้ค่าจากตัวอย่างในเอกสาร: S₀ = 100, μ = 0.1, σ = 0.2, Δt = 0.01 ปี และช็อกสองค่า 0.12, −0.25 จะได้ | step | การคำนวณ | ราคาหลังจบ step | |---|---|---:| | 1 | 100 × (1 + 0.1×0.01 + 0.2×0.1×0.12) | 100.34 | | 2 | 100.34 × (1 + 0.1×0.01 + 0.2×0.1×(−0.25)) | 99.93864 | ต้นฉบับปัดค่าที่สองเป็น 99.94 สำหรับการแสดงผล แต่การคำนวณต่อควรเก็บความละเอียดไว้ ### เมื่อมีคำตอบ exact ให้ใช้เป็นตัวเทียบ GBM ที่ μ,σ คงที่มีสูตรเปลี่ยนสถานะที่แน่นอนบนจุดเวลาที่เลือก: $$ S_{i+1}^{\mathrm{exact}} =S_i^{\mathrm{exact}} \exp\!\left[\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)\Delta t +\sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_i\right]. $$ Euler กับ exact ควรใช้ **ช็อกเดียวกัน** เพื่อดูความคลาดเคลื่อนจากวิธีคำนวณ หากสุ่มคนละเส้นทาง ผลต่างจะปนทั้งความสุ่มและความคลาดเคลื่อนของวิธี
คำว่า exact ในที่นี้หมายถึงคำตอบของ **GBM ที่สมมติไว้ ณ จุดเวลาที่คำนวณ** เส้นเชื่อมจุดบนกราฟเป็นภาพช่วยอ่าน ไม่ใช่การแสดงรายละเอียดทุก step ของเส้นทางต่อเนื่อง และคำตอบ exact ของแบบจำลองไม่ได้รับประกันความถูกต้องของแบบจำลองต่อโลกจริง Euler อาจให้ราคาศูนย์หรือติดลบถ้าตัวคูณ 1 + μΔt + σ√Δt Z ไม่เป็นบวก แม้คำตอบ GBM จริงจะเป็นบวก ตัวอย่างสมมติ μ = 0.1, σ = 1, Δt = 1 และ Z = −2 ให้ตัวคูณ Euler = −0.9 แต่ตัวคูณ exact = e^(−2.4) > 0 การตัดค่าติดลบให้เป็นศูนย์จะเปลี่ยนวิธีและการแจกแจง จึงไม่ควรทำโดยไม่อธิบาย เมื่อย่อ Δt ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม Euler–Maruyama ลู่เข้าในความหมายทางความน่าจะเป็นที่กำหนด แต่ **error ของเส้นทางเดียวไม่จำเป็นต้องลดทุกครั้ง** การตรวจความแม่นควรใช้หลายเส้นทางร่วมกับช็อกที่จับคู่กัน | แหล่งความคลาดเคลื่อน | เกิดจากอะไร | สิ่งที่ช่วยลด | |---|---|---| | [การแบ่งเวลา](glossary.html#discretization-error) | แทน SDE ด้วย step ที่ยังมีขนาดจำกัด | ย่อ Δt หรือเลือกวิธีเหมาะสม | | Monte Carlo sampling error | ประมาณค่าคาดหมายด้วยเส้นทางจำนวนจำกัด | เพิ่มจำนวนเส้นทางและวัด standard error | | Model error | สมมติฐานไม่ตรงกับสิ่งที่ต้องการอธิบาย | ตรวจแบบจำลองกับข้อมูลและโจทย์จริง |
## 9. ตัวสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและ SD ถูก ยังอาจมีหางผิด สองเอกสารพูดถึงการสร้างตัวสุ่ม Normal สำหรับจำลอง SDE แนวคิด inverse transform คือ ถ้า U กระจายสม่ำเสมอบน (0,1) แล้ว **Z = Φ⁻¹(U)** จะมีการแจกแจง Standard Normal โดย Φ เป็น CDF ของ Normal อีกวิธีในเอกสารคือผลรวม uniform 12 ตัวลบ 6 ซึ่งมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 จริง แต่มีค่าจำกัดอยู่ในช่วง [−6,6] จึงเป็นเพียง **Normal approximation** และไม่สามารถแทนหาง Normal ได้ทุกระดับ ห้องทดลองในบทใช้ตัวสร้างเลขสุ่มที่ระบุ seed และแปลงเป็น Normal เพื่อให้ทดลองซ้ำได้ ส่วน Notebook ระบุวิธีและ seed ของตนเอง การใช้ seed เดียวกันต่างภาษาไม่ได้รับประกันว่าจะได้เลขชุดเดียวกัน ถ้าอัลกอริทึมสุ่มต่างกัน การตรวจตัวสุ่มต้องดูทั้งชนิดการแจกแจงและหาง ควบคู่กับค่าเฉลี่ยและ SD
## 10. จากช็อกเดียว สู่ช็อกสองตัวที่สัมพันธ์กัน ถ้าจำลองสองสินทรัพย์โดยให้ช็อกเป็นอิสระเสมอ เรากำลังกำหนดโครงสร้างความเสี่ยงบางอย่างไว้แล้ว การสร้าง [correlated increments](glossary.html#correlated-increments) เริ่มจากช็อก Standard Normal ที่มี correlation ρ โดยใช้ Z₁,Z₂ ซึ่งเป็น **อิสระต่อกัน** และต่างก็เป็น Standard Normal: $$ \phi_1=Z_1,\qquad \phi_2=\rho Z_1+\sqrt{1-\rho^2}\,Z_2, \qquad -1\le\rho\le1. $$ จะได้ E[φ₁] = E[φ₂] = 0, Var(φ₁) = Var(φ₂) = 1 และ $$ \operatorname{Cov}(\phi_1,\phi_2) =\mathbb E[\phi_1\phi_2]=\rho. $$ ตัวอย่าง ρ = −0.6, Z₁ = 1, Z₂ = −0.5 ให้ φ₁ = 1 และ φ₂ = −0.6×1 + 0.8×(−0.5) = **−1** นี่เป็นเพียงช็อกหนึ่งคู่ ค่า correlation เป็นคุณสมบัติของการแจกแจงร่วม ต้องดูหลายคู่จึงประมาณจากตัวอย่างได้
เมื่อ ρ = 1 จะมี φ₂ = φ₁ และเมื่อ ρ = −1 จะมี φ₂ = −φ₁ ทุกคู่ ส่วน ρ = 0 ให้ช็อกสองตัวอิสระในโครงสร้าง Gaussian นี้ การเลื่อน ρ ใช้ Z₁,Z₂ ชุดเดิมเพื่อให้เห็นผลของพารามิเตอร์ ในการจำลองตามเวลา ให้สุ่มคู่ Z₁,Z₂ ใหม่อย่างอิสระจากคู่ในช่วงก่อนหน้า เมื่อแปลงเป็น step Brownian ด้วย ΔW₁ = √Δt φ₁ และ ΔW₂ = √Δt φ₂ จะมี Cov(ΔW₁,ΔW₂) = ρΔt หรือเขียนย่อว่า $$ dW_1\,dW_2=\rho\,dt. $$ ρ นี้เป็น correlation ของ **ช็อกในช่วงเวลาเดียวกัน** ไม่ใช่ correlation ของระดับราคาที่วัดตามเวลาบนเส้นทางหนึ่งโดยอัตโนมัติ และ sample correlation จากจำนวนคู่จำกัดไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าเป้าหมายพอดี
เมื่อบวกตัวแปร Normal ต้องดู covariance ด้วย ผลรวมเชิงเส้นของตัวแปรที่เป็น jointly Gaussian ยังเป็น Normal หากตัวแปรอิสระและแต่ละตัวเป็น Normal จะเข้าเงื่อนไขนี้ ส่วนการรู้ว่าแต่ละตัวมี marginal Normal อย่างเดียวไม่พอ $$ \operatorname{Var}\!\left(\sum_i w_iX_i\right) =\sum_i w_i^2\operatorname{Var}(X_i) +2\sum_{i
## ลองเชื่อมเครื่องมือเข้าด้วยกัน 1. ถ้า Δt = 0.01 และ Z = 2 step ΔW และกำลังสองของ step เป็นเท่าไร กฎ (dW)² = dt บอกว่าค่านี้ต้องเท่ากับ 0.01 หรือไม่ 2. ถ้า dY = 0.3dt + 0.4dW และ F(Y) = Y² จงหา dF 3. GBM มี μ = 0.10 และ σ = 0.20 drift ของ log S เป็นเท่าไร และเท่ากับ drift ของผลตอบแทน dS/S หรือไม่ 4. ใน OU ถ้า r สูงกว่า θ จะสรุปได้หรือไม่ว่า step ถัดไป r ต้องลด 5. ถ้าจะเปรียบเทียบ Euler กับ exact ควรใช้ช็อกชุดเดียวกันหรือคนละชุด และเพราะเหตุใด 6. ถ้าเพิ่มจำนวนเส้นทาง Monte Carlo อย่างเดียว ความผิดพลาดจาก Δt ที่หยาบและสมมติฐานโมเดลจะหายหรือไม่
เปิดเฉลยพร้อมเหตุผล 1. ΔW = √0.01 × 2 = **0.2** และ (ΔW)² = **0.04** กฎเชิง differential ไม่ใช่การบังคับให้กำลังสองของ step ที่มีขนาดจำกัดเท่ากับ Δt 2. F_Y = 2Y, F_YY = 2 จึงได้ **dF = (0.6Y + 0.16)dt + 0.8Y dW** พจน์ 0.16 มาจาก Itô correction 3. **0.08 ต่อปี** เทียบกับ drift 0.10 ต่อปีของผลตอบแทนเชิง differential dS/S จึงไม่เท่ากัน 4. **สรุปไม่ได้** drift เป็นลบ แต่ช็อกอาจเป็นบวกและมีขนาดใหญ่กว่าแรงดึงกลับ 5. **ชุดเดียวกัน** เพื่อแยกความต่างของวิธีคำนวณออกจากความต่างของเส้นทางสุ่ม 6. **ไม่หาย** การเพิ่มเส้นทางลด sampling error แต่ยังต้องตรวจ discretization error และ model error แยกกัน
ดาวน์โหลด [Notebook ของบท Applied Stochastic Calculus](notebooks/applied-stochastic-calculus.ipynb) เพื่อรันเอกลักษณ์ Itô ตรวจ moments ของ GBM/OU และทดลองการแบ่งเวลากับช็อกที่สัมพันธ์กัน เครื่องมือแต่ละชิ้นมีหน้าที่ต่อกัน: quadratic variation อธิบายพจน์ที่กฎธรรมดาทิ้งไม่ได้, Itô’s lemma แปลงฟังก์ชันของกระบวนการ, Kolmogorov อธิบายการแจกแจง และการจำลองช่วยคำนวณเมื่อไม่สะดวกใช้คำตอบวิเคราะห์
## อ้างอิงและขอบเขตการเรียบเรียง - เนื้อหาเรียบเรียงภาษาไทยใหม่จากสองไฟล์ เปลี่ยน X ของ Brownian เป็น W และเปลี่ยน γ,r̄ ของ Vasicek เป็น κ,θ เพื่อรักษาความต่อเนื่องกับบทก่อน ไม่เผยแพร่ PDF หรือภาพสไลด์ต้นฉบับ - ส่วนที่ขยายให้ชัด ได้แก่ การแยก coin increments จาก Gaussian increments, ความหมายของ (dW)² = dt, เงื่อนไข Itô integral และความเรียบของ F, ค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานของ GBM, moments ระหว่างทางของ OU, ความคลาดเคลื่อนสามประเภท และข้อสมมติ jointly Gaussian / covariance ตัวอย่างและห้องทดลองคำนวณขึ้นใหม่ ยกเว้นตัวอย่าง Euler สอง step ที่ระบุว่ามาจากเอกสาร - Miranda Holmes-Cerfon, Applied Stochastic Analysis (Spring 2022): [Lecture 7 — Stochastic Integration](https://personal.math.ubc.ca/~holmescerfon/teaching/asa22/handout-Lecture7_2022.pdf), [Lecture 8 — Stochastic Differential Equations](https://personal.math.ubc.ca/~holmescerfon/teaching/asa22/handout-Lecture8_2022.pdf), [Lecture 10 — Forward and Backward Equations](https://personal.math.ubc.ca/~holmescerfon/teaching/asa22/handout-Lecture10_2022.pdf) ใช้ตรวจนิยาม เงื่อนไข และการเชื่อม SDE กับสมการความหนาแน่น