เข้าใจหลักคิดของ Quant ผ่านแบบจำลอง Binomial Model

## 4. q ไม่ใช่คำทำนายว่าหุ้นจะขึ้น แทน Δ และ B กลับเข้าไปในราคา แล้วจัดรูป จะได้สูตรอีกแบบหนึ่ง $$ q=\frac{R-d}{u-d},\qquad V=\frac{qV_u+(1-q)V_d}{R}. $$ หน้าตาเหมือน **เฉลี่ยมูลค่า step ถัดไป แล้วคิดลดกลับหนึ่ง step** แต่ q ในสูตรนี้เป็น [risk-neutral probability](glossary.html#risk-neutral-probability) ที่คำนวณจากราคาหุ้นสองกิ่งและอัตราดอกเบี้ย ไม่ใช่ [physical probability p](glossary.html#physical-probability) ที่เราประเมินว่าหุ้นจะขึ้นจริงเท่าไร เรามองที่มาของ q ผ่านหุ้นเองได้ด้วย: มันเป็นน้ำหนักที่ทำให้ราคาเฉลี่ยของหุ้นใน step ถัดไปเท่ากับราคาวันนี้ที่เติบโตด้วย R $$ quS+(1-q)dS=RS. $$ กรณี 100 → 101/99 และ r = 0 จึงได้ q = 0.5 แม้จะเชื่อว่า p = 0.6 ก็ตาม แต่กรณี 100 → 103/98 จะได้ q = (1 − 0.98)/(1.03 − 0.98) = **0.4** ราคา Call จึงเป็น 0.4 × 3 = **1.2** ตรงกับวิธีพอร์ตเลียนแบบ ### ต้องตรวจ d < R < u ก่อนใช้สูตร เมื่อสองกิ่งมีโอกาสเกิดจริง เงื่อนไข [no arbitrage](glossary.html#no-arbitrage) ของตลาดหุ้นกับบัญชีเงินสดคือ $$ d

## 5. ดอกเบี้ยเข้ามาสองตำแหน่ง กลับไปที่ตัวอย่างหนึ่งวัน 100 → 101/99, K = 100 แต่ให้ r = **10% ต่อปี** และ Δt = **1/252 ปี** โดยนิยามให้หนึ่งปีมี 252 วันซื้อขายเพื่อการคำนวณนี้ $$ R=1+\frac{0.10}{252}=1.000396825\ldots, \qquad q=\frac{R-0.99}{1.01-0.99}=0.519841270\ldots $$ $$ C_0=\frac{q(1)+(1-q)(0)}{R}=0.519635065\ldots $$ Delta ยังคงเป็น 0.5 เพราะส่วนต่าง payoff และส่วนต่างราคาหุ้นเท่าเดิม แต่หนี้ที่ต้องจ่ายพรุ่งนี้ 49.5 มีมูลค่าวันนี้เป็น 49.5/R จึงได้ราคาอีกทางว่า **50 − 49.5/R = 0.519635065…** ดอกเบี้ยจึงทำงานทั้งใน **น้ำหนัก q** และใน **การคิดลด 1/R** เราไม่สามารถเปลี่ยนเฉพาะตัวคิดลดแล้วคง q = 0.5 ไว้ได้ ปัดเศษเมื่อได้คำตอบสุดท้าย เพื่อไม่ให้ความคลาดเคลื่อนสะสมไปตามต้นไม้

## 6. ต่อหนึ่ง step ให้เป็นต้นไม้สองช่วงเวลา เพื่อให้เห็นตัวเลขชัดขึ้น ลองใช้ **ตัวอย่างใหม่**: S₀ = 100, K = 100, อายุ T = 1 ปี แบ่งเป็นสอง step โดยแต่ละ step ยาว 0.5 ปี กำหนด u = 1.1, d = 0.9 ทุก step และ r = 0 ดังนั้น R = 1 และ q = 0.5 ราคาหุ้นไปข้างหน้าด้วยการคูณ 1.1 หรือ 0.9 ซ้ำ ๆ หลังสอง step จะเหลือสามราคา | เส้นทาง | ราคาหุ้นปลายปี | Call payoff ที่ K = 100 | |---|---:|---:| | ขึ้น แล้วขึ้น (UU) | 100 × 1.1² = 121 | 21 | | ขึ้น แล้วลง (UD) หรือ ลง แล้วขึ้น (DU) | 100 × 1.1 × 0.9 = 99 | 0 | | ลง แล้วลง (DD) | 100 × 0.9² = 81 | 0 | UD กับ DU จบที่ราคาเดียวกัน จึงรวมเป็นจุดเดียวได้ เรียกว่า [recombining tree](glossary.html#recombining-tree) หรือต้นไม้ที่กิ่งกลับมารวมกัน การรวมกิ่งเกิดจากการใช้ตัวคูณคงที่ที่คูณสลับลำดับได้ **ไม่จำเป็นต้องมี ud = 1** ในตัวอย่างนี้ ud = 0.99 จึงกลับมาที่ 99 ไม่ใช่ 100

![ต้นไม้สองช่วงเวลา: หุ้นเริ่ม 100 ไป 110 หรือ 90 แล้วจบ 121, 99 หรือ 81; Call payoff คือ 21, 0, 0 คิดย้อนกลับได้มูลค่า 10.5 หรือ 0 ที่ครึ่งปี และราคา 5.25 วันนี้](assets/diagrams/binomial-two-step.svg)

ตัวอย่างสมมติ หน่วยดอลลาร์ · S คือราคาหุ้น V คือมูลค่า Call · ระยะห่างแนวตั้งจัดเพื่อให้อ่านกิ่งชัด ไม่ใช่สเกลราคา · เปิดภาพขนาดเต็ม · ดาวน์โหลดภาพที่แก้ไขได้

### เรารู้ปลายทางก่อน จึงค่อยคิดย้อนกลับ ที่วันหมดอายุ เรารู้ payoff แน่นอนสำหรับหุ้นแต่ละราคา จึงใช้สูตรเดิมหามูลค่า Call ณ ครึ่งปีได้ $$ V_u=0.5(21)+0.5(0)=10.5,\qquad V_d=0.5(0)+0.5(0)=0. $$ จากนั้นใช้สองค่านี้คิดย้อนมาอีก step $$ V_0=0.5(10.5)+0.5(0)=\boxed{5.25}. $$ วิธีนี้เรียกว่า [backward induction](glossary.html#backward-induction) เราสร้างราคาหุ้นไปข้างหน้า แต่หามูลค่า Option ย้อนจากวันหมดอายุ ทุกครั้งต้องใช้ **มูลค่าใน step ถัดไป** และคิดลดหนึ่ง step หาก r ไม่เป็นศูนย์ ตรวจอีกทางได้: ภายใต้ q โอกาสขึ้นสองครั้งคือ 0.5² = 0.25 จึงมี payoff เฉลี่ย 0.25 × 21 = **5.25** แต่ถ้าใช้ p = 0.6 คงที่ทุก step และการขึ้นลงเป็นอิสระ ค่าเฉลี่ย payoff ในโลกจริงจะเป็น 0.6² × 21 = **7.56** จำนวนนี้ไม่ใช่ราคา Call วันนี้

## 7. หลาย step หมายถึงต้องปรับ Delta ในต้นไม้สอง step จำนวนหุ้นที่ใช้เลียนแบบ ณ วันนี้คือ $$ \Delta_0=\frac{10.5-0}{110-90}=0.525,\qquad B_0=5.25-0.525(100)=-47.25. $$ ถ้าครึ่งปีผ่านไปแล้วหุ้นขึ้นเป็น 110 พอร์ตเดิมมีค่า 0.525 × 110 − 47.25 = **10.5** ตรงกับมูลค่า Call ณ จุดนั้น แต่ Delta สำหรับ step ที่เหลือเปลี่ยนเป็น $$ \Delta_u=\frac{21-0}{121-99}=\frac{21}{22}\approx0.954545, \qquad B_u=-94.5. $$ ต้องซื้อหุ้นเพิ่ม โดยกู้เพิ่ม 47.25 มาใช้พอดี หากหุ้นลงเป็น 90 พอร์ตเดิมมีค่า 0 จึงขายหุ้นทั้งหมดได้ 47.25 และคืนหนี้ครบ จากนั้นไม่ต้องถือหุ้นหรือเงินสดอีก เพราะ Call จ่ายศูนย์ทั้งสองกิ่งที่เหลือ การเปลี่ยนสถานะตามจุดที่เดินมาถึงเรียกว่า [dynamic hedging](glossary.html#dynamic-hedging) และการจัดพอร์ตใหม่ด้วยเงินภายในพอร์ต โดยไม่เติมหรือถอนเงินจากภายนอกหลังตั้งพอร์ต เรียกว่า [self-financing strategy](glossary.html#self-financing) Delta = 0.525 จึงเลียนแบบได้ถึง step ถัดไป แต่การถือสัดส่วนเดิมค้างไว้จนหมดอายุจะไม่เลียนแบบ Call ได้ครบทุกเส้นทาง ความสามารถในการปรับพอร์ตเป็นส่วนหนึ่งของเหตุผลเรื่องราคา

## 8. ลองเปลี่ยนสมมติฐานด้วยตัวเอง การทดลองนี้ใช้ต้นไม้สอง step แบบเดียวกับตัวอย่าง ลองเปลี่ยน **p อย่างเดียว** ก่อน แล้วสังเกตว่าค่าเฉลี่ย payoff ในโลกจริงเปลี่ยน แต่ราคา Option และ q คงเดิม จากนั้นเปลี่ยนขนาดขาขึ้น ขาลง หรือดอกเบี้ย เพื่อดูว่าราคาและพอร์ตเลียนแบบเปลี่ยนอย่างไร

เปิด JavaScript เพื่อปรับค่าการทดลอง ตัวอย่างและสมการฉบับคงที่ในหัวข้อก่อนหน้ายังอ่านและคำนวณตามได้ครบ

ตัวคูณในห้องทดลองเป็นสมมติฐานต่อ step ครึ่งปี ไม่ได้ประมาณจากข้อมูลตลาด และไม่ได้ปรับให้ตรงกับ volatility ใดโดยอัตโนมัติ Put ในการทดลองใช้ payoff max(K − S, 0) และเป็น European เช่นเดียวกัน จึงไม่มีการใช้สิทธิก่อนหมดอายุ

## 9. จากสอง step สู่อัลกอริทึมทั่วไป แบ่งอายุ T เป็น N step เท่ากัน โดย Δt = T/N และให้ j เป็นจำนวนครั้งที่ขึ้นใน n step แรก ราคาหุ้นที่จุดนั้นคือ $$ S_{n,j}=S_0u^jd^{n-j},\qquad j=0,1,\ldots,n. $$ สำหรับ European Call เริ่มจากปลายต้นไม้ แล้วถอยทีละชั้น $$ V_{N,j}=\max(S_{N,j}-K,0), \qquad V_{n,j}=\frac{qV_{n+1,j+1}+(1-q)V_{n+1,j}}{R}. $$ สังเกตตำแหน่งดัชนี: ขาขึ้นเพิ่ม j เป็น j + 1 ส่วนขาลงคง j เดิม ถ้าใช้ Put ให้เปลี่ยนเฉพาะ payoff ปลายทาง ส่วนสูตรคิดย้อนกลับยังเหมือนเดิม เมื่อ u, d และ q คงที่ สามารถตรวจราคาด้วยสูตรรวมทุกปลายทางได้อีกทาง $$ V_0=R^{-N}\sum_{j=0}^{N}\binom Nj q^j(1-q)^{N-j} \max(S_0u^jd^{N-j}-K,0). $$ จำนวนเส้นทางทั้งหมดคือ 2ᴺ แต่มีราคาปลายทางเพียง N + 1 จุดสำหรับต้นไม้ที่รวมกิ่งได้ จึงไม่จำเป็นต้องไล่ทุกเส้นทาง วิธีคิดย้อนกลับใช้การคำนวณ O(N²) และเก็บเฉพาะชั้นที่กำลังคำนวณได้ด้วยหน่วยความจำ O(N) สำหรับสัญญาที่ขึ้นกับราคาปลายทางเท่านั้น หาก payoff ขึ้นกับประวัติเส้นทาง อาจต้องเก็บสถานะเพิ่มเติม ดาวน์โหลด [Notebook ของบทนี้](notebooks/binomial-model.ipynb) เพื่อดูโค้ด Python ที่สร้างต้นไม้ ตรวจพอร์ตเลียนแบบ และเทียบการคิดย้อนกลับกับผลรวมปลายทาง โดยไม่ต้องใช้ข้อมูลหรือบริการภายนอก

## 10. ขนาด step เกี่ยวอะไรกับความผันผวน ใน[บทก่อน](random-assets.html#scaling) ส่วนค่าเฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงโตตาม Δt แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโตตาม √Δt ถ้าจะให้ Binomial Model เข้าใกล้แบบจำลองเวลาต่อเนื่อง เราจึงต้องปรับขนาด step ของราคาตามความยาว time step เอกสารต้นทางเลือกสูตรอย่างง่ายต่อไปนี้เพื่ออธิบาย เมื่อ σ > 0 $$ u=1+\sigma\sqrt{\Delta t},\qquad d=1-\sigma\sqrt{\Delta t},\qquad p=\frac12+\frac{\mu\sqrt{\Delta t}}{2\sigma}. $$ μ คือ drift ต่อปี และ σ คือ volatility ต่อรากปี ต้องตรวจ d > 0 และ 0 < p < 1 ด้วย สูตรนี้ให้ค่าเฉลี่ยของการเปลี่ยนราคาเท่ากับ μSΔt และให้ความแปรปรวนเป็น $$ \operatorname{Var}(\Delta S)=\sigma^2S^2\Delta t-\mu^2S^2(\Delta t)^2. $$ จึงตรงกับความแปรปรวน σ²S²Δt **เพียงอันดับนำเมื่อ Δt เล็ก** ไม่ใช่การจับคู่การแจกแจงของ GBM แบบ exact สำหรับ time step ขนาดใดก็ได้ แม้ค่าเฉลี่ย μSΔt ก็เป็นรูปประมาณระยะสั้นของ GBM ซึ่งมีค่าเฉลี่ยการเปลี่ยนราคาที่แน่นอนเป็น $$ \mathbb E[S_{t+\Delta t}-S_t\mid S_t=S]=S(e^{\mu\Delta t}-1). $$ เมื่อใช้ดอกเบี้ยแบบเดิม q จะได้จากการแทน u และ d ลงในสูตรกำหนดราคา $$ q=\frac12+\frac{r\sqrt{\Delta t}}{2\sigma}. $$ เราเห็น μ ใน p แต่เห็น r ใน q ดอกเบี้ยจึงรับบทเป็น drift ภายใต้น้ำหนักกำหนดราคา ขณะที่ μ ยังเกี่ยวข้องกับการกระจายผลลัพธ์ในโลกจริง มีวิธีเลือก u และ d ได้หลายแบบ สูตรประมาณชุดนี้ไม่ได้บังคับ ud = 1 และไม่ใช่ต้นไม้ชุดเดียวกับตัวอย่างช่วงท้ายของเอกสารที่เลือก ud = 1 การเพิ่มจำนวน step โดยคง u และ d เดิมไว้เฉย ๆ จะเปลี่ยนขนาดความผันผวนรวม จึงไม่ใช่การทดสอบการลู่เข้าที่เทียบสมมติฐานเดียวกัน

มองต่ออีกนิด: ทางไปสู่ Black–Scholes

เมื่อเลือกขนาด step ให้สอดคล้องกับ GBM และให้ Δt เล็กลง ภายใต้เงื่อนไขความเรียบของมูลค่า Option สัดส่วนผลต่างที่เรียกว่า Delta จะเข้าใกล้อนุพันธ์ ∂V/∂S หลัก hedging และ no arbitrage นำไปสู่สมการ Black–Scholes สำหรับหุ้นที่ไม่มีเงินปันผล $$ \frac{\partial V}{\partial t} +\frac12\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2} +rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0. $$ ยังต้องกำหนดเงื่อนไขปลายทาง เช่น V(S,T) = max(S − K, 0) สำหรับ European Call สมการนี้เป็นสะพานไปสู่บทถัดไป ไม่จำเป็นต้องใช้แคลคูลัสเพื่อคำนวณตัวอย่างต้นไม้ในบทนี้

## ลองทำก่อนเปิดเฉลย 1. ในตัวอย่าง 100 → 103/98, K = 100 และ r = 0 ถ้าเปลี่ยน p จาก 0.6 เป็น 0.8 ราคา Call เปลี่ยนหรือไม่ 2. ในต้นไม้สอง step S₀ = K = 100, u = 1.1, d = 0.9 และ r = 0 ราคา European Put เท่าไร 3. ถ้า u = 1.05, d = 0.95 แต่เงินสดโตด้วย R = 1.06 ต่อ step ทำไมสูตรกำหนดราคาจึงใช้ตามปกติไม่ได้

เปิดเฉลยพร้อมเหตุผล

1. **ยังเป็น 1.2** เพราะต้นไม้และดอกเบี้ยคงเดิม จึงมี q = 0.4 เท่าเดิม แต่ค่าคาดหมาย payoff ภายใต้ p เปลี่ยนจาก 1.8 เป็น 2.4 2. Put มี payoff **0, 1, 19** ที่หุ้น 121, 99, 81 ตามลำดับ ราคาเป็น 0.25 × 0 + 0.5 × 1 + 0.25 × 19 = **5.25** ค่าตรงกับ Call ในตัวอย่างนี้ ตรวจด้วยความสัมพันธ์ European put-call parity: C₀ − P₀ = S₀ − K/R² = 0 เมื่อไม่มีเงินปันผล 3. ได้ **q = 1.1** เพราะ R สูงกว่า u ชอร์ตหุ้น 100 แล้วฝากเงินจะมี 106 ใน step ถัดไป ซื้อหุ้นคืนได้ที่ 105 หรือ 95 และเหลือ 1 หรือ 11 นี่คือ arbitrage ของตลาดที่สมมติขึ้น จึงต้องแก้พารามิเตอร์ก่อนกำหนดราคา Option

สิ่งที่ควรเก็บกลับไปคือ วิธีคิดราคาเริ่มจาก **เลียนแบบกระแสเงินสดให้ครบ แล้วใช้ no arbitrage** ส่วน risk-neutral expectation เป็นการเขียนเหตุผลเดียวกันให้อยู่ในรูปคำนวณที่สะดวก เมื่อมีหลาย step เราทำเหตุผลนี้ซ้ำทุกจุดพร้อมปรับพอร์ตตามทางที่เกิดขึ้น

## อ้างอิงง - Clare Wallace, Durham University, [*The one-period binomial model*](https://maths.dur.ac.uk/users/clare.wallace/MF/Chapter2.html), §2.2–2.3: ใช้ตรวจเงื่อนไข d < R < u และพอร์ตหุ้นร่วมกับบัญชีเงินสด - MIT OpenCourseWare, [*15.401 Recitation 5: Options*](https://ocw.mit.edu/courses/15-401-finance-theory-i-fall-2008/d0734e7fec7b333f1255a6dc3dff389c_MIT15_401F08_rec05.pdf): อ่านเพิ่มเติมเรื่อง binomial tree, payoff replication และ q