---
title: Exotic Options
description: อ่านเงื่อนไข Exotic Options ผ่าน Asian, Barrier และ Lookback เชื่อม path dependence กับ state variables, Monte Carlo, PDE และกฎอัปเดตในวัน fixing
notebook: notebooks/exotic-options.ipynb
visual_route: no-image-generator
inline_math: true
---
Exotic Options
ถ้าราคาวันหมดอายุเท่ากัน ทำไม Option สองสัญญาจึงจ่ายเงินต่างกัน?
ในบท [Black–Scholes Model](black-scholes-model.html) เราคิดราคา European Call จาก payoff \((S_T-K)^+\) โดยใช้ \(x^+=\max(x,0)\) เมื่อรู้ราคาหุ้นวันหมดอายุและราคาใช้สิทธิ เราก็คำนวณเงินที่ผู้ถือได้รับได้ แต่ถ้าสัญญาจ่ายจาก **ราคาเฉลี่ย** หรือยกเลิกสิทธิเมื่อหุ้นเคย **แตะระดับหนึ่ง** ราคาวันสุดท้ายเพียงค่าเดียวจะไม่พออีกต่อไป
[Exotic options](glossary.html#exotic-option) คือกลุ่ม Option ที่เพิ่มหรือเปลี่ยนเงื่อนไขจาก vanilla เช่น วิธีวัดราคา เงื่อนไขเปิดหรือปิดสิทธิ วันใช้สิทธิ หรือสินทรัพย์อ้างอิงหลายตัว คำว่า exotic จึงยังไม่ใช่สูตร payoff เราต้องอ่านรายละเอียดสัญญาก่อนเลือกแบบจำลองและวิธีคำนวณ
บทนี้เรียบเรียงจากเอกสาร *Exotic Options* ที่ให้มา โดยใช้ [Itô’s lemma](applied-stochastic-calculus.html) และ risk-neutral valuation เป็นพื้นฐาน ตัวอย่าง กราฟ และห้องทดลองสร้างขึ้นใหม่ทั้งหมด ใช้หน่วยเงินสมมติ ไม่มีราคาตลาดจริง แบบจำลองหลักเป็นหุ้นไม่มีปันผล ภายใต้ GBM ที่มี r และ σ คงที่ และไม่มีต้นทุนซื้อขาย
## อ่านสัญญาก่อนเลือกสูตร
ลองแยกสัญญาออกเป็นห้าคำถามต่อไปนี้ แล้วตรวจเพิ่มว่าใครมีสิทธิตัดสินใจระหว่างทาง
| คำถาม | ตัวอย่างเงื่อนไข | สิ่งที่แบบจำลองต้องรองรับ |
|---|---|---|
| เงื่อนไขเปลี่ยนตามเวลาหรือไม่? | Barrier เลื่อนระดับทุกเดือน; ใช้สิทธิได้เฉพาะบางวัน | ปฏิทินเหตุการณ์และเงื่อนไขที่ขึ้นกับ t |
| มีเงินจ่ายเมื่อไร? | จ่ายที่ T, มี coupon, มี rebate หลัง knock-out | จำนวนเงิน ผู้รับ และเวลาคิดลด |
| ต้องรู้อดีตส่วนใด? | ราคาเฉลี่ย ราคาสูงสุด หรือเคยแตะ barrier | State ที่เก็บข้อมูลจำเป็นจากอดีต |
| ต้องใช้ตัวแปรกี่ตัว? | หุ้นหลายตัว หรือ volatility เป็นตัวสุ่ม | State dimensions และความสัมพันธ์ระหว่างแหล่งสุ่ม |
| Payoff อ้างอิงอะไร? | ราคาหุ้น หรือมูลค่าของ Option อีกสัญญา | First-order หรือ higher-order contract |
**Time dependence ในที่นี้หมายถึงเงื่อนไขสัญญาเปลี่ยนตามเวลา** ไม่ใช่เพียงราคาของ Option เปลี่ยนเมื่อเวลาผ่านไป สัญญาที่ใช้สิทธิได้เฉพาะวันที่กำหนดเรียก Bermudan ส่วน American ใช้สิทธิได้ตลอดช่วงที่อนุญาต สิทธิเลือกใช้หรือไม่ใช้ทำให้ต้องเปรียบเทียบ exercise value กับ continuation value
สัญญาหนึ่งอยู่ได้หลายกลุ่ม เช่น Asian บนตะกร้าหุ้นที่มี early exercise มีทั้ง path dependence หลายสินทรัพย์ และการตัดสินใจระหว่างทาง การติดป้ายชื่อเพียงคำเดียวจึงไม่เพียงพอต่อการคิดราคา
## ปลายทางเดียวกัน แต่เงินที่ได้รับต่างกัน
สมมติหุ้นเริ่มที่ 100 และมีวันสังเกตสี่วันหลังเริ่มสัญญา ราคาที่เห็นเป็นดังนี้
| เส้นทาง | เริ่มต้น | Fixing 1 | Fixing 2 | Fixing 3 | Fixing 4 / T |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| A | 100 | 110 | 120 | 110 | 110 |
| B | 100 | 140 | 90 | 100 | 110 |
ให้ K=100 และ upper barrier H=130 เปรียบเทียบสามสัญญาที่จ่ายครั้งเดียว ณ T
1. **Vanilla Call:** จ่าย \((S_T-K)^+\) ทั้งสองเส้นทางจึงจ่าย 10
2. **Fixed-strike arithmetic Asian Call:** จ่าย \((A_4-K)^+\) โดยเฉลี่ยเฉพาะ fixing ทั้งสี่ ไม่รวมราคาเริ่มต้น เส้น A เฉลี่ย 112.5 จึงจ่าย 12.5 ส่วน B เฉลี่ย 110 จึงจ่าย 10
3. **Up-and-out Call ไม่มี rebate:** ถ้าเคยแตะหรือเกิน 130 ในวันตรวจ สัญญาดับสิทธิ เส้น A จ่าย 10 ส่วน B จ่าย 0 แม้ราคาจะกลับลงมาแล้วก็ตาม
จุดราคาเป็นข้อมูลสมมติ เส้นเชื่อมช่วยให้อ่านลำดับได้ สัญญาในตัวอย่างตรวจ barrier ที่จุดเริ่มต้นและวัน fixing เท่านั้น ไม่มี rebate และไม่รวม S₀ ในค่าเฉลี่ย
ตัวเลขนี้คือ **payoff** ที่วันหมดอายุ ยังไม่ใช่ราคาวันนี้ และยังไม่ใช่กำไรของผู้ซื้อ การหามูลค่าวันนี้ต้องพิจารณาการแจกแจงของทุกเส้นทางที่แบบจำลองอนุญาตและคิดลด ส่วนกำไรต้องนำ premium และต้นทุนที่เกี่ยวข้องมารวมด้วย
## เงินจ่ายทำให้มูลค่าที่เหลืออยู่ลดลง
สมมติสัญญาจ่ายเงิน Cᵢ ให้ผู้ถือ ณ เวลา tᵢ แล้วคงสิทธิส่วนที่เหลือไว้ ให้ \(t_i^-\) หมายถึงก่อนจ่ายและ \(t_i^+\) หลังจ่ายทันที เมื่อราคาอ้างอิงไม่กระโดดในเหตุการณ์นี้ เงื่อนไขมูลค่าคือ
$$
V(S,t_i^-)=V(S,t_i^+)+C_i(S).
$$
เราใช้ C แทน cashflow เพื่อไม่ให้สับสนกับ q ที่ใช้แทน pricing probability ในบท Binomial ก่อนจ่าย 5 มูลค่าสัญญาอาจเป็น 105 หลังจ่ายเหลือ 100 แต่ผู้ถือมีเงินสดเพิ่ม 5 ความมั่งคั่งรวม ณ ขณะจ่ายจึงไม่หายไป 5
ตัวอย่างสัญญาเงินสดสมมติ สคริปต์คำนวณมูลค่าปัจจุบันของเงินจ่ายที่ยังเหลืออยู่ เส้นกระโดดแสดงการแยกเงินออกจากสัญญา ไม่ใช่ขาดทุนจากราคาตลาด
ถ้า Cᵢ ขึ้นกับ S ค่า Delta และ Gamma อาจเปลี่ยนตามอนุพันธ์ของ Cᵢ ด้วย แต่ cashflow คงที่ไม่ได้ทำให้ Greeks ทุกตัวต้องกระโดดเสมอ สำหรับอัตราจ่ายต่อเนื่อง \(c(S,t)\) หน่วยเงินต่อปี PDE จะมีเทอม \(+c(S,t)\) เพิ่มเข้ามา ต่างจากการใช้ jump condition ในวันจ่าย
หากทั้งราคาอ้างอิงและ state อื่นเปลี่ยนพร้อมจ่ายเงิน ต้องกำหนดการเปลี่ยน state ให้ครบก่อนเชื่อมมูลค่าก่อนและหลังเหตุการณ์
## จำอดีตเท่าที่จำเป็น
[State variable](glossary.html#path-state-variable) คือตัวแปรที่สรุปข้อมูลปัจจุบันและอดีตได้เพียงพอต่อการหาการแจกแจงอนาคตและ payoff ภายใต้แบบจำลองที่เลือก เราไม่จำเป็นต้องเก็บราคาทั้งเส้นเสมอไป
**Asian:** ถ้าต้องจ่ายจากค่าเฉลี่ย ให้เก็บผลรวมสะสม I หรือค่าเฉลี่ยสะสม A นอกจากราคาปัจจุบัน S ผู้ถือสองคนที่มี S เท่ากันแต่สะสมราคามาคนละชุดอาจมีมูลค่าสัญญาต่างกัน จึงเขียนเป็น \(V(S,I,t)\) เอกสารเรียกกรณีที่ต้องเพิ่มตัวแปรต่อเนื่องเช่นนี้ว่า **strong path dependence**
**Barrier:** ต้องรู้ว่าเคยแตะ barrier แล้วหรือยัง สำหรับ knock-out ที่ไม่มี rebate หากแตะแล้วมูลค่าเป็นศูนย์ หากยังไม่แตะจึงคำนวณ \(V_{\mathrm{alive}}(S,t)\) บนโดเมนที่ยังมีชีวิต เอกสารเรียกว่า **weak path dependence** เพราะไม่ต้องเพิ่มแกนต่อเนื่องสำหรับความทรงจำ แต่ยังต้องแยกสถานะ alive/knocked-out ไม่ใช่ว่าราคา S กับเวลา t บอกอดีตได้เอง
**Lookback:** หาก payoff ใช้ราคาสูงสุด ให้เก็บ \(M_t\) ที่เป็น running maximum; หากใช้ราคาต่ำสุดก็เก็บ running minimum ข้อมูลนั้นอาจเปลี่ยน payoff แม้ S เท่ากัน
| แบบจำลองและสัญญา | State ต่อเนื่องก่อนลดมิติ | ถ้านับเวลา t รวมด้วย |
|---|---|---:|
| Vanilla, GBM หนึ่งหุ้น | S | 2 |
| Up-and-out, เฉพาะสถานะยังไม่ knock-out | S พร้อมสถานะ discrete แยกต่างหาก | 2 |
| Arithmetic Asian, หนึ่งหุ้น | S, I | 3 |
| Option บนหุ้น 10 ตัว | S₁,…,S₁₀ | 11 |
| หุ้น 10 ตัวและ volatility state อีก 10 ตัว | S₁,…,S₁₀, v₁,…,v₁₀ | 21 |
จำนวน state ไม่จำเป็นต้องเท่ากับจำนวนแหล่งสุ่มอิสระ เช่น I เพิ่มมิติให้ Asian แต่ไม่ได้เพิ่ม Brownian motion อีกตัว ส่วนสินทรัพย์หลายตัวอาจมี shocks ที่สัมพันธ์กัน PDE จึงอาจมี cross-derivative terms จำนวนมิติจริงยังลดได้หากโครงสร้างสัญญาหรือแบบจำลองมีความสัมพันธ์พิเศษ
## คิดราคาโดยจำลองเส้นทางภายใต้ Q
ใน Black–Scholes world ที่ไม่มีปันผล การคิดราคาใช้ dynamics ภายใต้ pricing measure Q
$$
dS_t=rS_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t^Q,
\qquad
V_0=e^{-rT}\mathbb E^Q[\Phi(\text{path})].
$$
สูตรนี้ใช้กับ payoff ที่จ่ายครั้งเดียว ณ T โดยยังไม่มีการตัดสินใจ early exercise หากมีเงินจ่ายหลายวัน ต้องคิดลดแต่ละก้อนไปตามเวลาจ่ายแล้วหาค่าคาดหมายรวม การเอา drift ผลตอบแทนที่คาดจริง μ มาแทน r จะไม่ให้ราคา no-arbitrage จากสมมติฐานชุดนี้
ที่วัน fixing ห่างกัน \(\Delta t\) เราจำลอง GBM ได้ตรงตามการแจกแจงที่จุดเวลาเหล่านั้น
$$
S_{j+1}=S_j\exp\left[\left(r-\frac12\sigma^2\right)\Delta t
+\sigma\sqrt{\Delta t}\,Z_j\right],\qquad Z_j\overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0,1).
$$
แต่ละเส้นทางต้องอัปเดตผลรวมสำหรับ Asian และสถานะ barrier แล้วคำนวณ payoff ให้ตรงสัญญา ถ้า \(Y_n=e^{-rT}\Phi_n\) เป็น discounted payoff ของเส้นทางอิสระที่ n เราประมาณราคาและ standard error ด้วย
$$
\widehat V=\frac1N\sum_{n=1}^{N}Y_n,\qquad
s_Y^2=\frac1{N-1}\sum_{n=1}^{N}(Y_n-\widehat V)^2,\qquad
\operatorname{SE}(\widehat V)=\frac{s_Y}{\sqrt N}.
$$
ช่วงประมาณ 95% คือ \(\widehat V\pm1.96\operatorname{SE}\) ภายใต้การประมาณแบบ large sample ช่วงนี้วัดความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มของ estimator ไม่ใช่ช่วง payoff ของผู้ถือ 95% และไม่รวม model error ถ้าจ่ายเงินเฉพาะเหตุการณ์ที่พบยาก จำนวนเส้นทางอาจยังไม่พอให้การประมาณ Normal น่าเชื่อถือ แม้ sample SE จะดูเล็ก
ในตัวทดลอง Asian เฉลี่ยที่ \(t_j=jT/m\), j=1,…,m โดย **ไม่รวม S₀** ส่วน barrier แบบ discrete ตรวจ S₀ และทุกวันในชุดเดียวกันถึง T ใช้เส้นทางชุดเดียวกับ vanilla เพื่อให้เปรียบเทียบสัญญาได้สะดวก ค่า σ เป็นรายปี r เป็นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องต่อปี และ T มีหน่วยปี
ลองเพิ่ม N โดยคงสัญญาเดิม แล้วเปรียบเทียบ MC vanilla กับราคา Black–Scholes จากนั้นเปลี่ยน m: คราวนี้เรากำลังเปลี่ยนทั้งจำนวน fixing ของ Asian และวันตรวจของ discrete barrier จึงอาจเปลี่ยนราคาเป้าหมายด้วย ไม่ใช่เพียงลด sampling error
## ไม่เห็น barrier ที่ปลาย step ไม่ได้แปลว่าไม่เคยแตะ
สำหรับ up-and-out แบบ continuous สัญญาต้องอยู่ต่ำกว่า H ตลอดช่วง หากตรวจเพียง \(S_{t_j}\) อาจพลาดการขึ้นไปแตะแล้วกลับลงมาระหว่างสองวัน ผลคือเราปล่อยให้บางเส้นทางรอดทั้งที่ควรดับสิทธิ และประเมินราคา zero-rebate knock-out สูงเกินราคา continuous
ใช้เส้นทางสมมติเดียวกันกับชุดวันตรวจที่ซ้อนกัน การเพิ่มวันตรวจอาจพบการแตะที่ชุดเดิมพลาด ภาพนี้อธิบายการตรวจจุดราคา ไม่ใช่หลักฐานว่า grid ละเอียดเท่ากับการสังเกตต่อเนื่อง
สำหรับ GBM ที่ σ คงที่และ upper barrier คงที่ เราใช้ **Brownian bridge** หาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขว่าราคาแตะ H ภายใน step เมื่อรู้ปลายทั้งสองและทั้งคู่ต่ำกว่า H
$$
p_j^{\mathrm{hit}}=
\exp\left[-\frac{2\log(H/S_j)\log(H/S_{j+1})}
{\sigma^2\Delta t}\right].
$$
ถ้าปลายใดแตะหรือเกิน H ให้ survival probability ของช่วงนั้นเป็นศูนย์ ถ้าทุกปลายยังต่ำกว่า H น้ำหนักการรอดตลอดเส้นทางเมื่อกำหนดจุดราคาที่จำลองแล้วคือ
$$
w=\prod_{j=0}^{m-1}(1-p_j^{\mathrm{hit}}),\qquad
Y_{\mathrm{out,continuous}}=e^{-rT}(S_T-K)^+w.
$$
สูตรโอกาสแตะและการคูณ survival probabilities อธิบายเพิ่มเติมใน [Mike Giles, IMACS 2013, สไลด์ 10](https://people.maths.ox.ac.uk/gilesm/talks/IMACS_2013.pdf#page=10) เมื่อนำมาใช้กับ log S ของ constant-parameter GBM จะได้สูตรข้างต้น
ตัวทดลองใช้ conditional weighting นี้ จึงไม่ได้สุ่มสถานะ hit เพิ่มอีกครั้ง และ w ไม่ใช่จำนวนครั้งที่แตะ สำหรับ σ=0 ใช้เส้นทาง deterministic แทนสูตรที่หารด้วยศูนย์ วิธีนี้ให้ estimator สำหรับ continuous barrier ภายใต้สมมติฐานเฉพาะดังกล่าว การเปลี่ยนเป็น stochastic volatility, jumps หรือ moving barrier ต้องทบทวนวิธีคำนวณใหม่
สัญญา in และ out ที่ใช้ payoff, barrier, วันตรวจ, วันจ่ายเหมือนกัน และ **ไม่มี rebate** รวมกันได้ vanilla ทุกเส้นทาง
$$
\Phi_{\mathrm{in}}+\Phi_{\mathrm{out}}=(S_T-K)^+,
\qquad V_{\mathrm{in}}+V_{\mathrm{out}}=V_{\mathrm{vanilla}}.
$$
การใช้เส้นทางเดียวกันจึงตรวจ parity ของค่าเฉลี่ยได้ถึงความแม่นยำเชิงตัวเลข สำหรับ continuous weighting ใช้ 1−w ให้ knock-in ส่วน SE ของ in กับ out ไม่ได้บวกกันเป็น SE ของ vanilla เพราะ estimates เหล่านี้สัมพันธ์กัน
เมื่อชุดตรวจ discrete ซ้อนกัน การเพิ่มวันตรวจทำให้ payoff ของ zero-rebate out บนเส้นทางเดิมไม่เพิ่มขึ้น แต่ถ้าสุ่มเส้นทางชุดใหม่แล้วเทียบเพียงค่าเฉลี่ย ลำดับค่าที่เห็นอาจแกว่งจาก sampling error ได้
## Barrier เปลี่ยนเงื่อนไขขอบของ PDE
สำหรับ up-and-out Call แบบ continuous, K<H, ไม่มี rebate และหุ้นไม่มีปันผล ก่อนแตะ barrier มูลค่าบน \(0
## เพิ่มความทรงจำให้ Black–Scholes
สมมติข้อมูลจากอดีตที่จำเป็นเขียนได้เป็น
$$
I_t=\int_0^t f(S_u,u)\,du,\qquad dI_t=f(S_t,t)\,dt.
$$
I เป็นตัวแปรสุ่มเพราะขึ้นกับเส้นทาง S แต่เมื่อเปลี่ยนในเวลาสั้น ๆ มันเป็นกระบวนการ finite variation ไม่มีเทอม dW เพิ่มโดยตรง จึงมี quadratic variations \((dI)^2=0\) และ \(dS\,dI=0\) ใน Itô calculus
ให้ราคาเป็น \(V(S,I,t)\) และเริ่มจาก physical dynamics \(dS=\mu Sdt+\sigma SdW\) จะได้
$$
dV=\left(V_t+\mu SV_S+f(S,t)V_I+\frac12\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt
+\sigma SV_S\,dW.
$$
ใช้ self-financing hedge โดยถือ Option หนึ่งหน่วย ขายหุ้น \(\Delta=V_S\) หน่วย และมีบัญชีเงินสดรองรับการปรับ hedge ตลอดเวลา ส่วนความสุ่มจากหุ้นถูกหักล้าง No-arbitrage ทำให้ได้
$$
\boxed{V_t+\frac12\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S+f(S,t)V_I-rV=0.}
$$
พร้อม terminal condition \(V(S,I,T)=\Phi(S,I)\) และเงื่อนไขขอบที่เหมาะสมกับสัญญา เราไม่ใช้ \(d(V-\Delta S)=dV-\Delta dS\) โดยละเงินที่ใช้ปรับ Δ; สมการ hedge ต้องตีความผ่านกลยุทธ์ที่ self-financing
เทอมใหม่ \(fV_I\) เป็นการเคลื่อน state ตามทิศ I ไม่มี \(V_{II}\) หรือ \(V_{SI}\) ในกรณีนี้ แม้ปัญหาจะมี state เพิ่มขึ้นก็ไม่ได้หมายความว่าต้องเพิ่ม diffusion ทุกแกน สมการนี้ยังอาศัยการซื้อขายต่อเนื่อง การถือเศษหุ้น การ short/กู้ยืมได้ และสมมติฐานความสมบูรณ์ของ Black–Scholes market
## Arithmetic Asian: เก็บอินทิกรัลแทนทั้งเส้นทาง
สำหรับราคาเฉลี่ยต่อเนื่อง ใช้
$$
I_t=\int_0^t S_u\,du,\qquad A_T=\frac{I_T}{T}.
$$
I มีหน่วย **ราคา × ปี** ส่วน A มีหน่วยราคา ดังนั้น \(f(S,t)=S\) และ PDE คือ
$$
V_t+\frac12\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S+SV_I-rV=0.
$$
ตัว PDE เดียวกันใช้กับ fixed-strike และ floating-strike ได้ แต่เงื่อนไขที่ T ต่างกัน
$$
V_{\mathrm{fixed\ call}}(S,I,T)=\left(\frac IT-K\right)^+,
\qquad
V_{\mathrm{floating\ call}}(S,I,T)=\left(S-\frac IT\right)^+.
$$
ถ้าใช้ค่าเฉลี่ยถึงปัจจุบัน \(A_t=I_t/t\) แทน I จะมี \(dA_t=(S_t-A_t)dt/t\) สำหรับ t>0 จึงต้องระวังจุดเริ่ม t=0 การใช้ I ช่วยหลีกเลี่ยงตัวหาร t ใน state equation
Geometric average กับ arithmetic average เป็นคนละสัญญา สำหรับราคาเป็นบวกใน fixing ชุดเดียวกันและน้ำหนักเท่ากัน มี \(G\le A\) ทำให้ \((G-K)^+\le(A-K)^+\) ทุกเส้นทาง ดังนั้นราคา geometric fixed-strike Call ไม่เกิน arithmetic fixed-strike Call ภายใต้ measure และการคิดลดชุดเดียวกัน แต่ไม่ได้สรุปว่า Asian Call ทุกแบบต้องถูกกว่า vanilla Call บนทุกเส้นทาง ตัวอย่าง A ในต้นบทก็ให้ Asian payoff 12.5 มากกว่า vanilla 10
## ลดมิติเมื่อโครงสร้าง payoff เอื้อให้
สำหรับ **continuously sampled floating-strike arithmetic Asian Call** ถ้าคูณ S และ I ด้วยค่าบวกเดียวกัน payoff จะคูณตาม ให้ลองเขียน
$$
V(S,I,t)=I\,W(R,t),\qquad R=\frac SI,\qquad I>0.
$$
R มีหน่วย 1/ปี อนุพันธ์ที่ต้องแทนใน PDE ได้แก่
$$
V_t=IW_t,\qquad V_S=W_R,\qquad
V_{SS}=\frac1I W_{RR},\qquad V_I=W-RW_R.
$$
แทนค่าและหารด้วย I จะเหลือ
$$
W_t+\frac12\sigma^2R^2W_{RR}
+R(r-R)W_R-(r-R)W=0,
\qquad W(R,T)=\left(R-\frac1T\right)^+.
$$
จากแกน S,I,t เหลือ R,t การลดมิตินี้เป็นผลจาก payoff และสมมติฐานเฉพาะ ไม่ใช่กฎสำหรับ Asian ทุกแบบ Fixed strike K ที่คงเดิมไม่หายไปด้วยการแทนตัวแปรชุดนี้ และเมื่อเริ่มสัญญา \(I_0=0\) ค่า R ยังไม่มีนิยาม ต้องจัดการลิมิตหรือใช้ formulation ที่ไม่ singular ไม่ควรแทนศูนย์ลงสูตรโดยตรง
## วัน fixing ใช้กฎอัปเดตแทนอินทิกรัล
สำหรับ Asian ที่เฉลี่ย M วัน ให้ \(I_i=\sum_{k=1}^iS(t_k)\) เป็นผลรวมหลัง fixing ครั้งที่ i และ \(A_i=I_i/i\) จะได้
$$
I_i=I_{i-1}+S(t_i),\qquad
A_i=\frac{i-1}{i}A_{i-1}+\frac1iS(t_i).
$$
เริ่มที่ I₀=0 และ A₁=S(t₁) สำหรับ Lookback ที่เก็บ maximum หลัง fixing ใช้ \(M_i=\max(M_{i-1},S(t_i))\) โดยต้องตั้งค่าเริ่มให้ตรงว่ารวม S₀ หรือเริ่มสังเกตที่ t₁
เขียนรวมเป็นกฎ \(I_i=F(S,I_{i-1},i)\) ระหว่าง fixing I คงที่ PDE จึงไม่มีเทอม \(fV_I\) แบบ continuous sampling แต่เมื่อถอยเวลาผ่านวัน fixing ต้องจับคู่ state ก่อนกับหลังให้ถูก
$$
V(S,I,t_i^-)=V\bigl(S,F(S,I,i),t_i^+\bigr).
$$
ในสมการนี้ I ด้านซ้ายคือ **ค่าก่อนอัปเดต** ส่วนค่าที่ส่งเข้าด้านขวาคือ state ใหม่แล้ว ไม่ใช่การตั้ง \(V(S,I,t_i^-)=V(S,I,t_i^+)\) ด้วยเลข I เดิมทั้งสองด้าน ถ้ามีเงินจ่าย \(C_i(S,I)\) ในเหตุการณ์เดียวกันและกำหนด C จาก state ก่อนอัปเดต ให้บวก Cᵢ ทางขวา; ถ้ากติกาจ่ายใช้ state หลังอัปเดตต้องประเมิน C ที่ state นั้นแทน
ตัวอย่างก่อน fixing ครั้งที่ 3 มี I=220 และ S=120 หลัง fixing มี I=340 ถ้าเป็น fixing สุดท้ายของ fixed-strike Call ที่ K=100 payoff จะเป็น \((340/3-100)^+=13.3333\) มูลค่าก่อน fixing จึงต้องเชื่อมไปยัง payoff นี้ ไม่ใช่นำ I=220 ไปหารสามแล้วได้ศูนย์
**การอัปเดต state ไม่ใช่การจ่ายเงินสด** หากไม่มี cashflow และไม่มีข่าวกระโดดเข้ามา มูลค่าบน state ที่จับคู่กันไม่กระโดดเพียงเพราะเราเปลี่ยนวิธีบันทึกความทรงจำ กฎเชื่อมมูลค่านี้เป็นคำอธิบายที่ต่อยอดจาก updating rules ในต้นฉบับ
## เลือก Monte Carlo หรือ PDE จากโครงสร้างปัญหา
| ลักษณะปัญหา | แนวทางที่ควรพิจารณา | สิ่งที่ต้องตรวจ |
|---|---|---|
| State น้อย มี barrier/วันใช้สิทธิชัดเจน | PDE หรือ tree | Boundary, terminal payoff, grid และปฏิทินเหตุการณ์ |
| มีหลายสินทรัพย์หรือหลาย state | Monte Carlo | Joint dynamics, correlation, การเก็บ state และ SE |
| Continuous barrier | PDE หรือ MC พร้อมวิธีจัดการการแตะระหว่าง step | อย่าสับสนกับสัญญา discrete monitoring |
| Bermudan/American | Backward induction, PDE หรือ MC ที่ประมาณ continuation value | การตัดสินใจต้องใช้ข้อมูล ณ เวลานั้น ไม่รู้อนาคตล่วงหน้า |
| Compound option | ประเมิน Option ชั้นในให้สอดคล้องกับชั้นนอก | Model/calibration ที่ใช้และข้อกำหนดการส่งมอบ |
Finite differences แทนอนุพันธ์ด้วยค่าบน grid แล้วถอยเวลาจาก terminal condition ต้องตรวจเสถียรภาพและ convergence พร้อมจัดวัน fixing ให้ตรงกับ time grid ส่วน Monte Carlo ทั่วไปเฉลี่ย payoff ที่รู้จากเส้นทางได้สะดวก แต่การใช้ early exercise ต้องมีวิธีประเมิน continuation value เพิ่ม เช่น regression-based Monte Carlo การเลือกเวลาที่ให้ payoff สูงสุดหลังเห็นทั้งเส้นทางเป็นการใช้ข้อมูลอนาคต และจะทำให้ราคา exercise policy ผิดไป
ความคลาดเคลื่อนสามชนิดควรแยกกัน: **sampling error** จากจำนวนเส้นทางจำกัด; **numerical/monitoring error** จากการประมาณเวลา grid หรือการใช้วิธีที่ไม่ตรงกติกาสัญญา; และ **model error** จาก dynamics ที่ไม่ตรงตลาด เพิ่ม N ลดได้เฉพาะส่วนแรก การใช้ exact GBM ที่วัน fixing ก็ไม่ได้ทำให้ค่าเฉลี่ยแบบ continuous หรือ barrier ต่อเนื่องถูกต้องโดยอัตโนมัติ
จากบท [Empirical Stylized Facts](asset-returns-stylized-facts.html) เรารู้ว่า volatility คงที่เป็นสมมติฐานที่ต้องตรวจ การใส่ implied volatility ของ vanilla หนึ่งค่าลงในสูตร exotic ยังไม่รับรองว่าการแจกแจงของค่าเฉลี่ย maximum หรือโอกาสแตะ barrier จะสอดคล้องกับตลาด เพราะ payoff เหล่านี้พึ่งพา dynamics ระหว่างทางด้วย
## ลองอธิบายผลก่อนกดคำนวณ
1. ใช้เส้นทาง B และเพิ่ม H จาก 130 เป็น 145 โดยคง K=100 จะเกิดอะไรกับ vanilla, Asian และ up-and-out payoff?
2. ถ้า up-and-in กับ up-and-out ใช้วันตรวจคนละชุด ยังตรวจ in–out parity กับ vanilla ได้หรือไม่?
3. ถ้าเพิ่มจำนวนเส้นทางจาก 12,000 เป็น 48,000 ภายใต้เงื่อนไขเดิม SE ควรเปลี่ยนโดยประมาณเท่าไร?
4. ถ้า Asian ใช้ fixing 12 วันแทน 4 วัน การเปลี่ยนราคาทั้งหมดถือเป็น numerical error ได้หรือไม่?
5. ใน \(dI=Sdt\) เหตุใด I จึงยังสุ่มได้ทั้งที่ไม่มี dW ในสมการของ I?
แนวคำตอบ
1. Vanilla และ Asian ยังจ่าย 10 ส่วน up-and-out เปลี่ยนจาก 0 เป็น 10 เพราะ maximum ที่ตรวจของ B คือ 140 ซึ่งต่ำกว่า 145
2. ไม่รับรอง เพราะเหตุการณ์เปิดและดับสิทธิไม่จำเป็นต้องเป็นส่วนเติมเต็มกัน
3. เหลือประมาณครึ่งหนึ่งจากอัตรา \(1/\sqrt N\) เมื่อ variance ของ estimator คงเดิม ไม่ใช่ลดเหลือหนึ่งในสี่
4. ไม่ได้เสมอไป ถ้าสัญญานิยามค่าเฉลี่ยจากชุดวันนั้น เราเปลี่ยนตัวสัญญาแล้ว
5. I สะสมค่าของ S ที่สุ่มมาตลอดทาง การไม่มี dW เพิ่มตรง ๆ บอกคุณสมบัติ finite variation ไม่ได้บอกว่าค่า I ในอนาคตแน่นอน