จะเลือกคำตอบที่ดีที่สุดอย่างไร เมื่อมีข้อบังคับว่าคำตอบนั้นต้องทำอะไรได้บ้าง?

## เขียนโจทย์ให้ครบก่อนกด Solve โจทย์ optimization ทั่วไปเขียนได้ว่า $$ \begin{aligned} \min_{\mathbf x}\quad &f(\mathbf x)\\ \text{subject to}\quad &g_j(\mathbf x)\le b_j,\\ &h_k(\mathbf x)=c_k. \end{aligned} $$ องค์ประกอบมีสามส่วน - $f$ คือ [objective function](glossary.html#objective-function) ที่ต้องการให้ต่ำสุดหรือสูงสุด เช่น variance ของพอร์ต - $\mathbf x$ คือเวกเตอร์ [decision variables](glossary.html#decision-variable) เช่น น้ำหนักสินทรัพย์แต่ละตัว - $g_j(\mathbf x)$ และ $h_k(\mathbf x)$ คือ [constraints](glossary.html#optimization-constraint) เช่น น้ำหนักรวม 100%, ห้ามน้ำหนักติดลบ หรือ tracking error ไม่เกินเพดาน การเปลี่ยนโจทย์ $\max f(\mathbf x)$ เป็น $\min[-f(\mathbf x)]$ ไม่เปลี่ยนจุดที่เหมาะสม และการคูณ objective ด้วยค่าบวกพร้อมบวกค่าคงที่ก็ไม่เปลี่ยน $\mathbf x^*$ แต่ค่าของ objective หลังแปลงต้องแปลงกลับก่อนตีความ

![เปรียบเทียบ feasible set ของ unconstrained, equality และ inequality พร้อมการเขียนน้ำหนักเทียบ benchmark](assets/images/optimization-types.svg)

Objective เดิมไม่ได้รับประกันคำตอบเดิม เมื่อ feasible set เปลี่ยน จุดที่ดีที่สุดอาจย้ายจากก้นแอ่งไปอยู่บนเส้นหรือขอบเขตที่อนุญาต

ข้อจำกัดต้องใช้หน่วยเดียวกับข้อมูล ตัวอย่างเช่น $\mu$ ต่อปีต้องจับคู่กับ covariance ต่อปี และ target return 10% ต้องเขียนเป็น 0.10 หากสูตรใช้หน่วยทศนิยม การป้อน 10 ลงในสูตรเดียวกันจะเปลี่ยนโจทย์ไปหนึ่งร้อยเท่า

## เห็น minimum ผ่าน gradient และ Hessian เริ่มจากโจทย์ที่ยังไม่มี constraints ถ้า $f$ เรียบและจุดเหมาะสมอยู่ภายในโดเมน [gradient](glossary.html#gradient) ที่จุดนั้นต้องเป็นศูนย์ $$ \nabla f(\mathbf x^*)=\mathbf 0. $$ เงื่อนไขนี้คัดจุดที่เป็นไปได้ แต่ยังแยก minimum, maximum และ saddle point ไม่ได้ [Hessian](glossary.html#hessian) รวบรวมอนุพันธ์อันดับสองของ $f$ $$ H_f(\mathbf x)= \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} \right]_{i,j}. $$ ถ้า Hessian เป็น positive definite ที่ stationary point ฟังก์ชันโค้งขึ้นทุกทิศทางและจุดนั้นเป็น strict local minimum ถ้าเป็น negative definite จะได้ strict local maximum ส่วน Hessian ที่มีทั้งทิศบวกและลบชี้ไปที่ saddle point

![เส้นตัดของ f=x²+y² เทียบกับ f=x²−y² ทั้งคู่มี gradient เป็นศูนย์ที่จุดกำเนิด แต่ความโค้งตามแกนต่างกัน](assets/images/optimization-curvature.svg)

ทั้งสองกรณีมี gradient เป็นศูนย์ที่จุดกึ่งกลาง แต่เส้นตัดผ่านจุดนั้นแสดงว่าฝั่ง minimum โค้งขึ้นทั้งสองทิศทาง ส่วน saddle โค้งขึ้นทิศหนึ่งและโค้งลงอีกทิศหนึ่ง

### Mean–variance แบบไม่มี constraint บนน้ำหนักสินทรัพย์เสี่ยง ให้ $r$ เป็นผลตอบแทนสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง $\boldsymbol\mu$ เป็นเวกเตอร์ผลตอบแทนคาดหวังของสินทรัพย์เสี่ยง และ $\Sigma$ เป็น covariance matrix น้ำหนักที่ไม่ได้ลงในสินทรัพย์เสี่ยงจะอยู่ในสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง โจทย์จึงเขียนเป็น $$ \max_{\mathbf w} \left[ r+\mathbf w^\top(\boldsymbol\mu-r\mathbf 1) -\frac{\lambda}{2}\mathbf w^\top\Sigma\mathbf w \right], \qquad \lambda>0. $$ First-order condition ให้ $$ \boldsymbol\mu-r\mathbf 1-\lambda\Sigma\mathbf w^*=\mathbf 0. $$ เมื่อ $\Sigma$ กลับด้านได้ $$ \boxed{ \mathbf w^*=\frac{1}{\lambda} \Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r\mathbf 1). } $$ Hessian ของ objective คือ $-\lambda\Sigma$ ถ้า $\Sigma$ positive definite ฟังก์ชันจะ concave อย่างเคร่งครัดและคำตอบนี้เป็น global maximum เพียงจุดเดียว ค่า $\lambda$ เพิ่มสองเท่าจะลดน้ำหนักสินทรัพย์เสี่ยงทุกตัวลงครึ่งหนึ่งในโจทย์นี้ โดยน้ำหนักส่วนที่เหลือย้ายไปสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง สูตรนี้ยังไม่ได้บังคับ long-only เพดานน้ำหนัก เงินกู้ หลักประกัน หรือต้นทุนซื้อขาย หากผลลัพธ์มีน้ำหนักรวม 160% จะหมายถึงกู้ 60% ที่อัตรา $r$ ภายใต้สมมติฐานของแบบจำลอง

## Regression ก็เริ่มจาก objective การประมาณ beta หรือ factor exposure เป็นโจทย์ optimization อีกแบบ ให้ $Y$ เป็นผลตอบแทนสินทรัพย์ $X$ เป็นเมทริกซ์ปัจจัย และ $\boldsymbol\beta$ เป็นสัมประสิทธิ์ $$ Y=X\boldsymbol\beta+\boldsymbol\varepsilon. $$ [Ordinary Least Squares](glossary.html#ordinary-least-squares) เลือก $\boldsymbol\beta$ เพื่อลดผลรวม residual ยกกำลังสอง $$ \min_{\boldsymbol\beta} (Y-X\boldsymbol\beta)^\top(Y-X\boldsymbol\beta). $$ First-order condition ให้ normal equations $$ X^\top X\widehat{\boldsymbol\beta}=X^\top Y. $$ ถ้า $X$ มีคอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้นครบ $$ \widehat{\boldsymbol\beta}_{\mathrm{OLS}} =(X^\top X)^{-1}X^\top Y. $$

![จุดข้อมูลสมมติ เส้น OLS และระยะ residual แนวตั้งที่ถูกยกกำลังสองรวมกันใน objective](assets/images/optimization-ols.svg)

Residual บวกและลบหักล้างกันได้เมื่อรวมตรง ๆ OLS จึงรวมกำลังสองของระยะแต่ละจุด เส้นนี้เป็นตัวอย่างเชิงสอน ไม่ใช่ regression จากหลักทรัพย์จริง

Regression ที่ได้ beta จากข้อมูลย้อนหลังยังไม่พิสูจน์ CAPM ค่า beta และ alpha เปลี่ยนตามช่วงข้อมูล ความถี่ ตัวแทนตลาด และตัวแปรที่ใส่ใน $X$ ### GLS เมื่อ residual มี covariance ไม่เท่ากับ $s^2I$ ให้ $$ \mathbb E[\boldsymbol\varepsilon\mid X]=\mathbf 0, \qquad \operatorname{Var}(\boldsymbol\varepsilon\mid X)=\Omega, $$ โดย $\Omega$ positive definite [Generalized Least Squares](glossary.html#generalized-least-squares) ใช้ระยะ Mahalanobis $$ \min_{\boldsymbol\beta} (Y-X\boldsymbol\beta)^\top \Omega^{-1}(Y-X\boldsymbol\beta), $$ จึงได้ $$ \widehat{\boldsymbol\beta}_{\mathrm{GLS}} =(X^\top\Omega^{-1}X)^{-1}X^\top\Omega^{-1}Y. $$ ถ้า $\Omega=CC^\top$ จาก Cholesky decomposition ให้ $Y^*=C^{-1}Y$, $X^*=C^{-1}X$ และ $\boldsymbol\varepsilon^*=C^{-1}\boldsymbol\varepsilon$ จะได้ $$ \operatorname{Var}(\boldsymbol\varepsilon^*\mid X) =C^{-1}\Omega C^{-\top}=I. $$ จากนั้นใช้ OLS กับ $Y^*=X^*\boldsymbol\beta+\boldsymbol\varepsilon^*$ ได้คำตอบ GLS การแปลงนี้หมุนและปรับสเกล residual ให้ covariance เป็นเอกลักษณ์

![กลุ่ม residual รูปวงรีก่อน whitening กลายเป็นวงกลมหลังคูณด้วย inverse Cholesky](assets/images/optimization-gls.svg)

วงรีแสดง residual ที่มี scale และ correlation ต่างกัน หลัง whitening ระยะ Euclidean ในพิกัดใหม่เท่ากับ Mahalanobis distance ในพิกัดเดิม

ในงานจริง $\Omega$ มักต้องประมาณ จึงได้ Feasible GLS ความแม่นของผลลัพธ์ขึ้นกับแบบจำลอง covariance ที่เลือกด้วย

## Lagrange ใส่ equality constraints เข้าไปในสมการ

![ภาพเหมือน Joseph-Louis Lagrange](assets/images/lagrange-portrait.jpg)

Joseph-Louis Lagrange วิธีตัวคูณลากร็องจ์นำข้อจำกัดแบบเท่ากันมาเขียนร่วมกับ objective ทำให้เราหาคำตอบจากเงื่อนไขอนุพันธ์ได้ ภาพเส้นสัมผัสด้านล่างแสดงว่าทำไม gradient สองชุดจึงเกี่ยวข้องกัน ภาพสาธารณสมบัติ · Wikimedia Commons · ไม่ทราบผู้สร้างภาพ

สมมติโจทย์มีข้อจำกัด $g_j(\mathbf x)=b_j$ เราสร้าง [Lagrangian](glossary.html#lagrange-multiplier) $$ \mathcal L(\mathbf x,\boldsymbol\lambda) =f(\mathbf x) +\sum_{j=1}^{m}\lambda_j[g_j(\mathbf x)-b_j]. $$ แล้วแก้ระบบ $$ \nabla_{\mathbf x}\mathcal L=\mathbf 0, \qquad \frac{\partial\mathcal L}{\partial\lambda_j} =g_j(\mathbf x)-b_j=0. $$ ที่จุดสัมผัส gradient ของ objective ขนานกับ gradient ของ constraint ให้ $v^*(\mathbf b)$ เป็นค่า objective ที่เหมาะสม ภายใต้เงื่อนไข regularity และ Lagrangian แบบที่เขียนข้างบน เรามี $\partial v^*/\partial b_j=-\lambda_j$ เครื่องหมายจะเปลี่ยนหากตั้ง Lagrangian คนละแบบ

![เส้น equality constraint สัมผัส contour ต่ำสุดที่ทำได้ โดย gradient ของ objective และ constraint ขนานกัน](assets/images/optimization-lagrange.svg)

จุดที่ต่ำกว่านี้อยู่นอกเส้น constraint ส่วนจุดอื่นบนเส้นเดียวกันตัด contour ระดับสูงกว่า จุดสัมผัสจึงแก้ทั้ง stationarity และ constraint พร้อมกัน

## ลองเลื่อนเส้นข้อจำกัด ใช้ f(x,y) = (x − 1)² + 2(y − 1)² ซึ่งมีจุดต่ำสุดที่ (1,1) เลือกระหว่างไม่มีข้อจำกัด, x + y = c และ x + y ≤ c แล้วเลื่อนค่า c เพื่อดูว่าจุดต่ำสุดที่เลือกได้ย้ายไปอย่างไร เส้นวงรีแต่ละเส้นแสดงระดับของ objective เดียวกัน

ที่ c = 1 คำตอบบนขอบคือ (1/3, 2/3) ทั้งกรณี equality และ inequality แต่เมื่อ c = 3 ข้อจำกัด inequality เปิดทางให้เลือก (1,1) ได้แล้ว ส่วน equality ยังบังคับให้คำตอบอยู่บนเส้น x + y = 3 เราจะกลับมาอ่านเงื่อนไขนี้เป็น complementary slackness ในหัวข้อ KKT

## สร้าง covariance matrix จาก volatility และ correlation ตัวอย่างหลักใช้สินทรัพย์สมมติ $X_1,\ldots,X_4$ และผลตอบแทน simple return ระยะหนึ่งปี

| สินทรัพย์ | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ | $X_4$ | |---|---:|---:|---:|---:| | ผลตอบแทนคาดหวัง $\mu_i$ | 5% | 7% | 15% | 27% | | ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma_i$ | 7% | 12% | 30% | 60% |

Correlation matrix คือ $$ R= \begin{pmatrix} 1&0.8&0.5&0.4\\ 0.8&1&0.7&0.5\\ 0.5&0.7&1&0.8\\ 0.4&0.5&0.8&1 \end{pmatrix}. $$ สร้างเมทริกซ์แนวทแยง $S=\operatorname{diag}(0.07,0.12,0.30,0.60)$ แล้วคำนวณ $$ \boxed{\Sigma=SRS.} $$ เพราะ $S$ เป็นเมทริกซ์แนวทแยง เราจึงมี $S^\top=S$ ค่าแนวทแยงของ $\Sigma$ คือ variance และค่านอกแนวทแยงคือ covariance $$ \Sigma= \begin{pmatrix} 0.0049&0.00672&0.0105&0.0168\\ 0.00672&0.0144&0.0252&0.0360\\ 0.0105&0.0252&0.0900&0.1440\\ 0.0168&0.0360&0.1440&0.3600 \end{pmatrix}. $$

![Correlation matrix รวมกับ volatility ผ่านสูตร SRS แล้วได้ covariance matrix ของสินทรัพย์สมมติสี่ตัว](assets/images/optimization-covariance.svg)

สีเข้มช่วยเปรียบเทียบขนาดภายในแต่ละเมทริกซ์ ส่วนตัวเลขเป็นค่าที่ใช้คำนวณจริง Correlation ไม่มีหน่วย ขณะที่ covariance ใช้หน่วยผลตอบแทนยกกำลังสอง

Covariance matrix ต้องเป็น positive semidefinite เพราะ $\mathbf w^\top\Sigma\mathbf w$ คือ variance และห้ามติดลบ หากเมทริกซ์เกือบ singular การกลับเมทริกซ์โดยตรงจะขยายความคลาดเคลื่อน ควรแก้ระบบสมการและตรวจ condition number แทน

## ลด variance โดยกำหนดผลตอบแทนเป้าหมาย ให้ $m$ เป็นผลตอบแทนคาดหวังเป้าหมาย และอนุญาตให้ขายชอร์ตได้ โจทย์ risky-only คือ $$ \min_{\mathbf w}\frac12\mathbf w^\top\Sigma\mathbf w $$ subject to $$ \boldsymbol\mu^\top\mathbf w=m, \qquad \mathbf 1^\top\mathbf w=1. $$ ตั้ง $$ \mathcal L=\frac12\mathbf w^\top\Sigma\mathbf w -\lambda(\boldsymbol\mu^\top\mathbf w-m) -\gamma(\mathbf 1^\top\mathbf w-1). $$ First-order condition ให้ $$ \Sigma\mathbf w-\lambda\boldsymbol\mu-\gamma\mathbf 1=\mathbf 0, $$ ดังนั้น $$ \mathbf w^*=\Sigma^{-1} (\lambda\boldsymbol\mu+\gamma\mathbf 1). $$ กำหนดสเกลาร์ $$ A=\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1, \quad B=\boldsymbol\mu^\top\Sigma^{-1}\mathbf 1, \quad C=\boldsymbol\mu^\top\Sigma^{-1}\boldsymbol\mu. $$ เมื่อ $AC-B^2>0$ $$ \lambda=\frac{Am-B}{AC-B^2}, \qquad \gamma=\frac{C-Bm}{AC-B^2}. $$ ตัวอย่างสี่สินทรัพย์ให้ $$ A\approx239.3440, \quad B\approx9.61846, \quad C\approx0.550281. $$ เมื่อ $m=10\%$ จะได้ $\lambda\approx0.365279$, $\gamma\approx-0.0105013$ และ $$ \boxed{ \mathbf w^*\approx \begin{pmatrix} 0.528412\\ 0.172888\\ 0.159764\\ 0.138935 \end{pmatrix}.} $$ น้ำหนักรวม 100% ผลตอบแทนคาดหวัง 10% และ volatility ประมาณ 16.1328%

![น้ำหนักของสินทรัพย์ X1 ถึง X4 ที่ทำให้ variance ต่ำสุดภายใต้ target return 10% และ budget 100%](assets/images/optimization-target-allocation.svg)

คำตอบนี้เป็นบวกทุกตัวโดยบังเอิญ ขอบเขตของโจทย์ยังอนุญาตให้ short และคำตอบเปลี่ยนทันทีเมื่อ target หรือ inputs เปลี่ยน

ในโค้ดควรแก้ระบบสมการเชิงเส้นหรือ KKT system แทนการสร้าง $\Sigma^{-1}$ เต็มก้อน แล้วตรวจผลย้อนกลับว่า $\mathbf 1^\top\mathbf w=1$ และ $\boldsymbol\mu^\top\mathbf w=m$ ภายใน tolerance ที่กำหนด

## จาก target หนึ่งค่าไปสู่ทั้ง frontier เมื่อปล่อยให้ $m$ เปลี่ยนไป variance ต่ำสุดของแต่ละ target คือ $$ \boxed{ \sigma_P^2(m)= \frac{Am^2-2Bm+C}{AC-B^2}. } $$ Global minimum-variance portfolio อยู่ที่ $$ m_{\mathrm{GMV}}=\frac{B}{A}, \qquad \mathbf w_{\mathrm{GMV}} =\frac{\Sigma^{-1}\mathbf 1}{A}, \qquad \sigma_{\mathrm{GMV}}^2=\frac1A. $$ สำหรับตัวอย่างนี้ $$ \mathbf w_{\mathrm{GMV}}\approx \begin{pmatrix} 1.274887\\ -0.263113\\ 0.016339\\ -0.028113 \end{pmatrix}, $$ ผลตอบแทนคาดหวังประมาณ 4.0187% และ volatility 6.4638% น้ำหนัก $X_1$ 127.49% มาจากการ short $X_2$ และ $X_4$ โจทย์คณิตศาสตร์ยอมรับคำตอบนี้เพราะเรายังไม่ได้ห้าม short หรือกำหนด gross exposure

![Efficient frontier ของตัวอย่างสี่สินทรัพย์ แสดง GMV พอร์ตเป้าหมาย 10% จุด tangency และเส้นจากอัตราปลอดความเสี่ยง 2.5%](assets/images/optimization-frontier.svg)

ครึ่งบนเหนือ GMV เป็น efficient branch ภายใต้ชุดสินทรัพย์และการอนุญาต short นี้ จุด target 10% เป็นคำตอบของ equality-constrained problem หนึ่งค่า

![น้ำหนักของ X1 ถึง X4 บน minimum-variance frontier เมื่อเลื่อน target return โดยส่วนที่ต่ำกว่าศูนย์คือสถานะ short](assets/images/optimization-target-weights.svg)

เมื่อ Target สูงขึ้น Optimizer ปรับ long–short หลายขาเพื่อให้ budget และ target เท่ากันพร้อมลด variance จึงต้องอ่านการเปลี่ยนแปลงของน้ำหนักทุกขาร่วมกัน

### เพิ่มสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง เมื่อ $r=2.5\%$ และต้องการผลตอบแทน $m$ น้ำหนักสินทรัพย์เสี่ยงที่ลด variance คือ $$ \mathbf w^*(m)= \frac{(m-r)\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r\mathbf 1)} {(\boldsymbol\mu-r\mathbf 1)^\top \Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r\mathbf 1)}. $$ ที่ $m=10\%$ $$ \mathbf w^*\approx \begin{pmatrix} 0.887352\\ 0.081263\\ 0.154843\\ 0.121649 \end{pmatrix}. $$ น้ำหนักสินทรัพย์เสี่ยงรวม 124.5108% น้ำหนักสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยงจึงเป็น $1-1.245108=-24.5108\%$ ซึ่งแปลว่ากู้เงินภายใต้สมมติฐานที่กู้ได้ที่ 2.5% โดยไม่มีข้อจำกัด Tangency portfolio ของสินทรัพย์เสี่ยง normalize จากทิศทางเดียวกัน $$ \mathbf w_T= \frac{\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r\mathbf 1)} {\mathbf 1^\top\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu-r\mathbf 1)} \approx \begin{pmatrix} 0.712671\\ 0.065266\\ 0.124361\\ 0.097701 \end{pmatrix}. $$ พอร์ตนี้มีผลตอบแทนคาดหวังประมาณ 8.5236%, volatility 12.8731% และ Sharpe ratio ประมาณ 0.4679 ดูความหมายของ frontier, CAL และ tangency เพิ่มเติมได้ใน [บท Portfolio Theory](portfolio-theory.html#tangency)

## KKT บอกว่า constraint ใดกำลังบังคับคำตอบ ข้อจำกัด long-only เขียนเป็น $-w_i\le0$ เพดานน้ำหนักเขียนเป็น $w_i-u_i\le0$ และข้อจำกัด gross exposure มักต้องเพิ่มตัวแปรช่วยเพื่อจัดการค่าสัมบูรณ์ สำหรับโจทย์ $$ \min_{\mathbf x}f(\mathbf x) \quad\text{subject to}\quad g_j(\mathbf x)\le0, \quad h_k(\mathbf x)=0, $$ [Karush–Kuhn–Tucker conditions](glossary.html#kkt-conditions) ประกอบด้วย $$ \nabla f(\mathbf x^*) +\sum_j\nu_j\nabla g_j(\mathbf x^*) +\sum_k\lambda_k\nabla h_k(\mathbf x^*)=\mathbf0, $$ $$ g_j(\mathbf x^*)\le0, \qquad h_k(\mathbf x^*)=0, \qquad \nu_j\ge0, $$ $$ \boxed{\nu_jg_j(\mathbf x^*)=0.} $$ Complementary slackness บอกว่า constraint ที่ยังเหลือช่องว่างต้องมี multiplier เป็นศูนย์ ส่วน multiplier บวกเกิดได้เมื่อ constraint ชนขอบ ใน convex quadratic portfolio problem ที่ constraints เป็น affine และมีจุด feasible ตามเงื่อนไข regularity KKT ใช้ยืนยัน global optimum ได้

![Target return 20% ให้ unconstrained portfolio short X1 แต่ long-only optimum บังคับน้ำหนัก X1 เท่ากับศูนย์และย้ายคำตอบไปที่ขอบ feasible set](assets/images/optimization-kkt.svg)

ในตัวอย่าง target 20% คำตอบ unconstrained มี $w_1=-71.96\%$ ส่วน long-only ทำให้ constraint $w_1\ge0$ binding และเลือก $w_1=0$

พอร์ต long-only สำหรับ target 20% คือ $$ \mathbf w_{\mathrm{long\text{-}only}} \approx \begin{pmatrix} 0\\0.026316\\0.539474\\0.434211 \end{pmatrix}, $$ มี volatility ประมาณ 40.3829% สูงกว่าคำตอบที่อนุญาต short เล็กน้อย ข้อจำกัดทำให้พอร์ตลงทุนได้ตามกติกา แลกกับ objective ที่แย่ลงหรือเท่าเดิม ### 130–30 บอก net และ gross exposure พอร์ต 130–30 ถือสถานะ long รวม 130% และ short รวม 30% $$ \sum_i\max(w_i,0)=1.30, \qquad -\sum_i\min(w_i,0)=0.30. $$ Net exposure เท่ากับ 100% และ gross exposure เท่ากับ 160% ชื่อนี้ยังไม่กำหนดเองว่าควร long หรือ short ตัวใด ต้องมี objective, ข้อจำกัดรายสินทรัพย์ ต้นทุนยืม และกติกา rebalance เพิ่มเติม

## แยก benchmark ออกจาก active positions ให้ $\mathbf w_B$ เป็นน้ำหนัก benchmark และ $\mathbf w_P$ เป็นน้ำหนักพอร์ต กำหนด [active weights](glossary.html#active-weight) $$ \Delta\mathbf w=\mathbf w_P-\mathbf w_B. $$ ถ้าพอร์ตและ benchmark ลงทุนครบ 100% ทั้งคู่ $$ \boxed{\mathbf 1^\top\Delta\mathbf w=0.} $$ ผลตอบแทนพอร์ตแยกเป็น $$ R_P=\mathbf w_B^\top\mathbf R +\Delta\mathbf w^\top\mathbf R =R_B+R_A. $$ Tracking error ภายใต้ covariance $\Sigma$ คือ $$ \operatorname{TE} =\sqrt{\Delta\mathbf w^\top\Sigma\Delta\mathbf w}. $$ ตัวอย่าง active mean–variance problem ใช้ $$ \max_{\Delta\mathbf w} \left[ \Delta\mathbf w^\top\boldsymbol\alpha -\frac{\lambda_A}{2} \Delta\mathbf w^\top\Sigma\Delta\mathbf w \right] $$ subject to $\mathbf 1^\top\Delta\mathbf w=0$ และข้อจำกัดน้ำหนักหรือ tracking error ที่กองทุนใช้จริง

![พอร์ตสุดท้ายเกิดจาก benchmark บวก active overweight และ underweight ที่รวมเป็นศูนย์ พร้อมเปรียบเทียบ net และ gross exposure ของ 130–30](assets/images/optimization-active.svg)

Active weight บวกคือ overweight เทียบ benchmark และค่าลบคือ underweight ค่าลบจะเป็น short ก็ต่อเมื่อน้ำหนักพอร์ตสุดท้าย $w_{P,i}$ ต่ำกว่าศูนย์ ผลรวม active weights เป็นศูนย์เพราะ benchmark รับ budget 100% ไว้แล้ว

## Target เดียวกัน เมื่อห้ามขายชอร์ต ใช้ค่าเฉลี่ยและ covariance ของสินทรัพย์สี่ตัวข้างต้น เปรียบเทียบพอร์ต variance ต่ำสุดที่ target เดียวกัน แล้วสังเกตว่าสินทรัพย์ใดมีน้ำหนักลดลงถึงศูนย์

ค่าเฉลี่ยของสินทรัพย์อยู่ระหว่าง 5% กับ 27% พอร์ตที่น้ำหนักไม่ติดลบและรวมเป็นหนึ่งจึงให้ผลตอบแทนคาดหวังนอกช่วงนี้ไม่ได้ หากเปิดขายชอร์ต ข้อจำกัดนี้หายไป แต่ขนาดสถานะและความเสี่ยงอาจเพิ่มขึ้นมาก

## ตรวจ optimizer ก่อนเชื่อน้ำหนัก

| จุดที่ต้องตรวจ | วิธีตรวจ | |---|---| | หน่วยของ $\mu,\Sigma,r$ | ใช้ช่วงเวลาและรูปแบบทศนิยมเดียวกันทุกตัว | | Constraint residuals | คำนวณ $\mathbf1^\top\mathbf w-1$, $\boldsymbol\mu^\top\mathbf w-m$ และ inequality violations หลัง solve | | Covariance เกือบ singular | ตรวจ eigenvalues/condition number ใช้ linear solve, regularization หรือ factor model ที่มีเหตุผลรองรับ | | น้ำหนักไวต่อ expected returns | ขยับ $\mu$ และ $\Sigma$ ทีละน้อย แล้วเทียบ turnover, gross exposure และ objective | | Solver status | แยก optimal, infeasible, unbounded และ numerical failure ไม่ใช้คำตอบล่าสุดเงียบ ๆ | | In-sample fit | ทดสอบนอกช่วงที่ใช้ประมาณค่าและคิดต้นทุนซื้อขาย | | Benchmark | ตรวจว่า active weights รวมเป็นศูนย์และใช้ benchmark ตัวเดียวกับรายงานผล |

การตรวจ residual ยืนยันว่าโปรแกรมแก้โจทย์ตามที่ตั้งไว้ได้ ส่วนผลตอบแทนหลังลงทุนยังขึ้นกับความคลาดเคลื่อนของ $\mu$, $\Sigma$ และต้นทุนที่แบบจำลองอาจไม่ได้รวมไว้ จึงต้องทดสอบพอร์ตกับข้อมูลที่ไม่ได้ใช้ประมาณค่าและสถานการณ์ที่ต่างจากช่วงฝึกด้วย

## ลองคำนวณต่อ 1. ตรวจว่าน้ำหนัก target 10% รวมเป็นหนึ่ง และใช้ $\boldsymbol\mu^\top\mathbf w$ คำนวณผลตอบแทนกลับ 2. ใช้ $\gamma=-0.0105013$ ใน $\Sigma^{-1}(\lambda\boldsymbol\mu+\gamma\mathbf1)$ แล้วสังเกตว่าการเปลี่ยนเครื่องหมาย $\gamma$ ทำให้ constraints ผิดอย่างไร 3. น้ำหนักสินทรัพย์เสี่ยงสำหรับ target 10% เมื่อมี $r=2.5\%$ รวมเป็นเท่าไร และต้องถือสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยงเท่าไร 4. ที่ target 20% long-only solution มี constraint ใด binding และ complementary slackness บอกอะไรเกี่ยวกับ multiplier ของ constraint นั้น 5. ถ้า benchmark และพอร์ตลงทุนครบ 100% ทั้งคู่ จงพิสูจน์ว่า active weights รวมเป็นศูนย์

ดูแนวคำตอบ

1. น้ำหนักรวมประมาณ 1 และ expected return ประมาณ 0.10 ส่วน volatility ประมาณ 0.161328 2. เมื่อเปลี่ยนเป็น $\gamma=+0.0105013$ คำตอบจะไม่ใช่น้ำหนักชุดที่รายงานและไม่รักษา target/budget ตามระบบสมการเดิม 3. Risky weights รวมประมาณ 1.245108 จึงมี risk-free weight ประมาณ −0.245108 หรือกู้ 24.5108% 4. Constraint $w_1\ge0$ binding ที่ $w_1=0$ และ multiplier สามารถเป็นบวกได้ ส่วน constraint ที่ยัง slack ต้องมี multiplier ศูนย์ 5. $\mathbf1^\top\Delta\mathbf w=\mathbf1^\top\mathbf w_P-\mathbf1^\top\mathbf w_B=1-1=0$

## อ่านต่อ: Black–Litterman Portfolio เมื่อกำหนด objective และ constraints ได้แล้ว ขั้นต่อไปคือเลือก expected returns ที่จะส่งเข้า optimizer [บท Black–Litterman Portfolio](black-litterman.html#black-litterman) ใช้สินทรัพย์สมมติและ covariance ชุดเดียวกัน เพื่อหา prior จากพอร์ตตลาดและผสมมุมมองของผู้ลงทุนพร้อมความไม่แน่นอน

ลองปรับความไม่แน่นอนของ views และ risk aversion ได้ใน ห้องทดลอง Black–Litterman

Optimization Problem