Black–Litterman Portfolio

ก่อนเริ่ม: Bayes อัปเดตความเชื่ออย่างไร

ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่สนใจ และ I เป็นข้อมูลที่เพิ่งได้รับ กฎการคูณความน่าจะเป็นให้

Prior คือ $\Pr(E)$ ความเชื่อก่อนรับข้อมูล I ส่วน likelihood คือ $\Pr(I\mid E)$ ซึ่งถามว่าถ้า E เกิดขึ้น ข้อมูลแบบที่เห็นมีโอกาสเกิดเพียงใด เมื่อรวมสองส่วนนี้และหารด้วย $\Pr(I)$ จะได้ posterior $\Pr(E\mid I)$ ตัวหารทำหน้าที่ให้ความน่าจะเป็นรวมเป็นหนึ่ง

ตัวอย่างสมมติ ให้ E หมายถึง “X3 จะชนะ X1” และ I หมายถึงนักวิเคราะห์ให้สัญญาณบวก กำหนด prior 50%, โอกาสเห็นสัญญาณบวกเมื่อ E เกิด 70% และโอกาสเห็นสัญญาณบวกเมื่อ E ไม่เกิด 30% จะได้

ตัวเลขเหล่านี้ใช้สาธิต Bayes เท่านั้น ใน Black–Litterman เราไม่ได้อัปเดตเหตุการณ์ชนะหรือแพ้โดยตรง แต่กำลังอัปเดตเวกเตอร์ค่าเฉลี่ยผลตอบแทนส่วนเกินที่ยังไม่ทราบค่า $\widetilde{\boldsymbol\mu}$ เมื่อได้รับ views Q

Prior ของแบบจำลองมีข้อมูลดุลยภาพตลาดอยู่แล้ว จึงไม่ใช่ “ไม่รู้อะไรเลย” ส่วน likelihood อธิบายความคลาดเคลื่อนของ views ภายใต้ค่าเฉลี่ยแต่ละชุด ผลคูณทางขวามือคือ posterior ที่ยังไม่ได้หารด้วยค่าปรับให้ความหนาแน่นรวมเป็นหนึ่ง

ข้อมูลที่ใช้ร่วมกับบทก่อน

ใช้ volatility ของ X1–X4 เท่ากับ 7%, 12%, 30%, 60% ตามลำดับ และ covariance ต่อปี

อัตราปลอดความเสี่ยง $r=2.5\%$ ต่อปี ดู การสร้าง covariance จาก volatility และ correlation หากต้องการทบทวนที่มา เราจะหา expected excess returns จากน้ำหนักตลาด จึงไม่ใช้เวกเตอร์ expected returns 5%, 7%, 15%, 27% ของบทก่อนเป็น prior โดยตรง

Black–Litterman ตั้งต้นจากพอร์ตตลาด

น้ำหนัก mean–variance ไวต่อ $\boldsymbol\mu$ มาก ผลตอบแทนคาดหวังที่ต่างกันไม่กี่จุดอาจเปลี่ยน long–short positions ขนาดใหญ่ Black–Litterman เริ่มจากน้ำหนักตลาดที่สังเกตได้ แล้วใช้ reverse optimization หา expected excess returns ที่สอดคล้องกับน้ำหนักนั้น ก่อนผสม views ที่ระบุพร้อมความไม่แน่นอน

Roadmap แยกข้อมูลตลาด ความเห็น และการจัดสรรออกจากกัน จึงย้อนตรวจได้ว่าการเปลี่ยนน้ำหนักมาจาก input ส่วนใด ดาวน์โหลดไฟล์ Excalidraw ที่แก้ไขต่อได้

ทำไมเริ่มจากพอร์ตตลาด

การเริ่มด้วยน้ำหนักเท่ากัน 1/N หรือ GMV ก็เป็นทางเลือกของผู้สร้างแบบจำลอง แต่ยังต้องเลือกว่าจะให้ผลตอบแทนคาดหมายตั้งต้นเท่าไร GMV หาได้จาก covariance โดยไม่ต้องใช้ค่าเฉลี่ย ทว่าการบอกผลตอบแทนคาดหวังของ GMV ยังต้องมีค่าเฉลี่ยประกอบ

Black–Litterman ใช้น้ำหนักตลาดร่วมกับสมมติฐานดุลยภาพแบบ CAPM เพื่อหา expected excess returns ที่ทำให้ optimizer เลือกน้ำหนักนั้นกลับมา ดัชนีที่ถ่วงด้วยมูลค่าตลาดอาจใช้เป็นตัวแทนของสินทรัพย์ใน universe ที่ศึกษาได้ แต่ไม่ได้เป็นตัวแทนพอร์ตตลาดทั้งหมดอย่างสมบูรณ์ การเลือก benchmark จึงเป็นส่วนหนึ่งของสมมติฐาน และพอร์ตตลาดเองก็อาจกระจุกตัวได้

ถ้าน้ำหนักตลาดมี N ตัวและรวมเป็นหนึ่ง แล้วกำหนด prior $\Pi=\lambda_{\mathrm{mkt}}\Sigma w_{\mathrm{mkt}}$ การใช้ prior นี้กับ optimizer ที่ $\lambda=\lambda_{\mathrm{mkt}}$ จะได้น้ำหนักตลาดเดิมพอดี เมื่อเรายังไม่มี view ส่วนตัว จึงมีจุดตั้งต้นที่ตรวจย้อนกลับได้

1. Reverse optimization หา prior

สมมติพอร์ตตลาดมีน้ำหนัก

จากคำตอบ mean–variance $\mathbf w^*=\lambda^{-1}\Sigma^{-1}\widetilde{\boldsymbol\mu}$ เราแก้ย้อนกลับเพื่อหา implied equilibrium excess returns

ตัวอย่างกำหนด market Sharpe ratio เท่ากับ 0.5 พอร์ตตลาดมี volatility ประมาณ 22.3523% จึงใช้

ผลที่คำนวณด้วย $\lambda_{\mathrm{mkt}}=2.24$ คือ

เราเขียน prior ของ excess returns เป็น

ตัวอย่างกำหนด $\tau=1/120$ เพื่อประกอบตัวอย่าง เลข 120 เทียบกับจำนวนเดือนในสิบปี แต่ Σ ชุดนี้เป็นข้อมูลสมมติสำหรับบทเรียน ไม่ได้ประมาณจากอนุกรมผลตอบแทนจริง วิธีตั้ง $\tau$ ไม่มีคำตอบเดียวและต้องสอดคล้องกับนิยามของ $\Omega$ ที่ใช้กับ views

เหตุผลของแนวคิด $\tau\approx1/T$ มาจาก covariance ของ sample mean ซึ่งเท่ากับ $\Sigma/T$ เมื่อมี T observations อิสระที่มี covariance เดียวกันและใช้หน่วยเวลาเดียวกัน การนำผลตอบแทนรายเดือนมารวมเป็นค่าเฉลี่ยรายปีต้องแปลงหน่วยความไม่แน่นอนด้วย จึงไม่ควรใช้จำนวนเดือน 120 หาร covariance รายปีแล้วถือว่าเป็นค่าประมาณเชิงสถิติที่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ ที่นี่ใช้ $\tau=1/120$ เป็นสมมติฐานเพื่อคงตัวอย่างการคำนวณไว้

2. เขียน views เป็น $P,Q,\Omega$

กำหนดสอง views

1. $X_3$ จะให้ excess return สูงกว่า $X_1$ อยู่ 10 จุดเปอร์เซ็นต์
2. $X_2$ จะให้ excess return 3%

จึงได้

แถวแรกของ $P$ รวมเป็นศูนย์เพราะเป็น relative view ส่วนแถวที่สองเลือก $X_2$ ตัวเดียวและเป็น absolute view เขียนแบบจำลองของ views เป็น

ดังนั้น likelihood สำหรับ views เขียนเป็น $Q\mid\widetilde{\boldsymbol\mu}\sim N(P\widetilde{\boldsymbol\mu},\Omega)$ ส่วน Q ที่เราป้อนคือค่าที่สังเกตหรือระบุไว้แล้ว

ตัวอย่างใช้

ค่าแนวทแยงเล็กลงทำให้ view มีน้ำหนักมากขึ้น ค่าใหญ่ขึ้นทำให้ posterior อยู่ใกล้ prior มากขึ้น การเรียกค่าหนึ่งว่า “มั่นใจ 80%” ต้องมี mapping เพิ่มเติม เช่นวิธีของ Idzorek จึงไม่ควรติดป้ายเปอร์เซ็นต์ให้ $\Omega$ โดยตรง

ขนาดของ P, Q และ Ω ต้องตรงกัน

สำหรับ N สินทรัพย์และ K views, P มีขนาด K × N, Q มีขนาด K × 1 และ Ω มีขนาด K × K แถวของ P เป็นพอร์ตที่ใช้แสดงความเห็น เช่น (−1, 0, 1, 0) เลือกผลต่าง X3 − X1 ส่วน (0, 1, 0, 0) เลือก X2

แถวของ relative view แบบเปรียบเทียบผลตอบแทนสองพอร์ตที่ลงทุนเต็มจำนวนจะรวมเป็นศูนย์ จึงหักอัตราปลอดความเสี่ยงออกจากสองขาได้พอดี สำหรับ absolute view ของพอร์ตที่น้ำหนักรวมหนึ่ง ต้องระบุให้ชัดว่า Q เป็น total หรือ excess return; ในบทนี้ใช้ excess return ทั้งหมด

การตั้ง Ω เป็นแนวทแยงหมายถึงสมมติให้ความคลาดเคลื่อนของ views ไม่สัมพันธ์กัน หากนักวิเคราะห์หลายคนใช้ข้อมูลเดียวกัน ความผิดพลาดอาจสัมพันธ์กัน การใส่ view ซ้ำแล้วนับเป็นข้อมูลอิสระอาจทำให้แบบจำลองเชื่อข้อมูลชุดนั้นมากเกินไป

ตั้งความไม่แน่นอนของ views ได้อย่างไร

Part III รวบรวมวิธีตั้ง Ω ไว้สี่แนวทาง

1. อิง prior: ใช้ $\Omega=\operatorname{diag}(P\tau\Sigma P^\top)$ ตามตัวอย่างนี้ ความไม่แน่นอนของแต่ละ view จึงผูกกับ variance ของพอร์ตที่แถวนั้นแทน
2. อิงช่วงความไม่แน่นอน: ถ้ากำหนดช่วง Gaussian 95% ของความคลาดเคลื่อน view เป็น ±a จะได้ standard deviation โดยประมาณ a/1.96 และ variance $\Omega_{ii}=(a/1.96)^2$ ต้องกำหนดช่วงของค่าประมาณ view ไม่ใช่หยิบช่วงการแกว่งของผลตอบแทนมาแทนทันที
3. อิง residual ของแบบจำลอง: ใช้ความแปรปรวนของข้อผิดพลาดจาก factor หรือ forecasting model โดยตรวจว่าเป็นข้อผิดพลาดของค่าเฉลี่ยที่พยากรณ์หรือของผลตอบแทน และแปลงให้ตรงกับระยะเวลาของ view
4. Idzorek’s method: แปลงระดับความมั่นใจที่ผู้ลงทุนระบุไปเป็นความแรงของการปรับพอร์ตและค่า Ω ที่สอดคล้องกัน จึงมีขั้นตอน calibration เพิ่มจากการใส่เปอร์เซ็นต์ในตาราง

สำหรับ P และ Σ ในบทนี้

พจน์ 0.000154 ในเมทริกซ์แรกมาจาก covariance ของพอร์ตที่ใช้แทน views ส่วนการตั้งพจน์นอกแนวทแยงของ Ω เป็นศูนย์คือสมมติฐานเกี่ยวกับความคลาดเคลื่อนของ views ทั้งสองอย่างมีความหมายต่างกัน

3. ผสมเป็น posterior

Posterior mean เขียนในรูปที่คำนวณได้เสถียรว่า

สูตรนี้เทียบเท่ากับ precision form

อ่านสูตรในรูป update ได้เป็น prior บวกค่าปรับ โดย $Q-P\Pi$ คือความต่างระหว่าง view กับสิ่งที่ prior บอก สำหรับข้อมูลชุดนี้ prior คาดว่า X3 − X1 เท่ากับ 12.5814 จุดเปอร์เซ็นต์ และ X2 ให้ excess return 4.7121% แต่ views กำหนดไว้ที่ 10 จุดเปอร์เซ็นต์และ 3% ตามลำดับ จึงเป็นการปรับมุมมองลงทั้งสองข้อ แม้ Q ทั้งคู่จะเป็นบวกก็ตาม

เมทริกซ์ $\tau\Sigma P^\top(P\tau\Sigma P^\top+\Omega)^{-1}$ กำหนดว่าความต่างนั้นจะส่งต่อไปยังสินทรัพย์แต่ละตัวเท่าไร ในการเขียนโปรแกรมควรแก้ระบบสมการเชิงเส้น แทนการคำนวณ inverse เต็มเมทริกซ์

สำหรับตัวอย่าง

Posterior ขยับทั้งสี่สินทรัพย์เพราะ covariance เชื่อม views เข้ากับสินทรัพย์อื่น เส้นทางการขยับจึงไม่ได้จำกัดอยู่ที่ช่องของ $P$ เท่านั้น

4. แปลง posterior เป็นน้ำหนัก

เมื่อใช้ risk aversion $\lambda$

ที่ $\lambda=2.24$ น้ำหนักสินทรัพย์เสี่ยงและสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยงเป็น

Risk aversion เปลี่ยนขนาดรวมของ risky allocation ส่วน $P,Q,\Omega$ และ covariance เปลี่ยนทิศทางสัมพัทธ์ของน้ำหนัก เมื่อกำหนดแบบนี้ $\Omega$ เปลี่ยนตาม $\tau$ ทำให้ $\tau$ หักล้างจาก posterior mean; ถ้ากำหนด $\Omega$ แยกต่างหาก $\tau$ จะมีผล

Posterior covariance ของค่าเฉลี่ยและ covariance ของผลตอบแทนเป็นคนละวัตถุ สูตรจัดพอร์ตข้างบนใช้ $\Sigma$ เป็น covariance ของผลตอบแทน การนำ posterior uncertainty ไปบวกหรือใช้แทน $\Sigma$ เป็นการเลือกแบบจำลองอีกแบบหนึ่ง ซึ่งจะให้โจทย์จัดพอร์ตต่างออกไป

ได้ทั้งค่าเฉลี่ยใหม่และความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ย

ภายใต้ prior และความคลาดเคลื่อนของ views แบบ Gaussian ที่เป็นอิสระกัน posterior เป็น

เขียนอีกรูปหนึ่งได้ว่า

พจน์ที่ลบออกเป็น positive semidefinite จึงแปลว่าข้อมูลจาก views ลดความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยในทิศทางที่ข้อมูลนั้นช่วยบอกได้ ภายใต้สมมติฐานของแบบจำลองนี้ สำหรับตัวอย่างสี่สินทรัพย์ คำนวณใหม่ได้

แยก covariance ทั้งสามตัวนี้ให้ชัด: $\Sigma$ วัดการกระจายของผลตอบแทน, $\tau\Sigma$ วัดความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยก่อนรับ views และ M วัดความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยหลังรับ views ตัวอย่างการจัดพอร์ตในบทและห้องทดลองยังใช้ $\Sigma$ เดิมเป็น risk input

ถ้าตั้งแบบจำลองเพิ่มว่า $R^e\mid\widetilde{\boldsymbol\mu}\sim N(\widetilde{\boldsymbol\mu},\Sigma)$ และความผันผวนของผลตอบแทนเป็นอิสระจากความคลาดเคลื่อนของ views เมื่อกำหนดค่าเฉลี่ยแล้ว predictive covariance ของผลตอบแทนจะเป็น $\Sigma+M$ การใช้ค่านี้ใน optimizer เป็นอีกทางเลือกหนึ่ง และจะให้น้ำหนักต่างจากตัวอย่างที่ใช้ $\Sigma$

อีกเส้นทางหนึ่ง: Theil’s mixed estimation และ GLS

Part III แสดงว่าเราหาสูตรเดียวกันได้ผ่าน Bayes หรือ mixed estimation ของ Theil ซึ่งเชื่อมกับ GLS ในบท Optimization Problem ลองนำ prior และ views มาเรียงเป็นระบบเดียว โดยให้ I_N เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด N

ระบบที่ได้คือ $y=A\widetilde{\boldsymbol\mu}+e$ โดย $\operatorname{Cov}(e)=V$ เราหาค่าเฉลี่ยที่ทำให้ความคลาดเคลื่อนสองส่วนรวมกันต่ำที่สุด โดยถ่วงแต่ละส่วนด้วย inverse covariance

ตั้ง gradient เท่ากับศูนย์จะได้

นี่คือ precision form ที่ใช้ไปแล้ว การตีความแบบ GLS ช่วยให้เห็นว่าค่าประมาณถูกดึงเข้าหาทั้ง prior และ views โดยส่วนที่มีความไม่แน่นอนน้อยได้รับน้ำหนักมากกว่า ภายใต้ Gaussian assumptions ค่าเฉลี่ย posterior และจุดสูงสุดของ posterior ตรงกัน

Posterior เดียวกัน แต่รับความเสี่ยงต่างกัน

เมื่อได้ posterior แล้ว โจทย์จัดพอร์ตใน Part III คือ

น้ำหนัก w วัดเทียบกับเงินทุนรวม ส่วนที่เหลือ $w_f=1-\mathbf1^\top\mathbf w$ อยู่ในสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง สูตรนี้อนุญาต short และกู้ได้โดยไม่มีเพดานที่อัตรา r เดียวกัน ผลคำนวณด้วย posterior ชุดเดิมเป็นดังนี้

ที่ λ = 0.1 เงินทุน 100 บาทรองรับสถานะเสี่ยงรวมประมาณ 1,715.53 บาท โดยกู้ประมาณ 1,615.53 บาท ตัวเลขนี้แสดงผลของการไม่มีข้อจำกัด leverage ในสูตร ส่วน λ = 6 ลดขนาดการลงทุนเสี่ยงลงและเหลือเงินประมาณ 71.41% ในสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง λ ตลาดยังคงเป็น 2.24 ตลอดตารางเพื่อรักษา prior เดิม

ในต้นฉบับ λ = 1 ถูกเรียกว่า Kelly portfolio การเชื่อมนี้ใช้ได้ในกรอบที่ expected log growth เขียนหรือประมาณได้เป็น $r+\mathbf w^\top\boldsymbol\mu-\tfrac12\mathbf w^\top\Sigma\mathbf w$ เช่นแบบจำลอง diffusion ที่มีพารามิเตอร์คงที่ แต่สำหรับ simple return หนึ่งปีทั่วไป การตั้ง λ = 1 ใน mean–variance objective ไม่ได้รับประกันว่าจะได้ exact Kelly และไม่ได้กำหนดระดับความเสี่ยงที่เหมาะกับผู้ลงทุนทุกคน

ห้องทดลองด้านล่างให้ปรับ λ ตั้งแต่ 0.5 ถึง 6 เพื่อดูผลการย่อหรือขยายสถานะ ส่วนกรณี 0.1 ในตารางคงไว้เพื่อแสดงขนาดเงินกู้ที่สูตรสามารถสร้างได้ เมื่อใช้งานจริงต้องนำข้อจำกัด leverage, short และต้นทุนเข้าโจทย์ด้วย

ทดลองผสม views กับพอร์ตตลาด

ห้องทดลองใช้ $\Sigma$, market weights, $\tau=1/120$, $P$ และ $Q$ ชุดเดียวกับตัวอย่าง เปิดหรือปิดแต่ละ view เปลี่ยนค่า Q และความไม่แน่นอนแยกกัน แล้วเปรียบเทียบผลตอบแทนส่วนเกินกับน้ำหนักพอร์ต ปุ่มปิด views ทั้งหมดใช้ตรวจจุดตั้งต้น ก่อนลองปรับ risk aversion ของผู้ลงทุน

ตัวคูณ $\Omega$ ต่ำทำให้ views มีน้ำหนักมากขึ้น ตัวคูณสูงดึง posterior กลับเข้าหา market-implied prior ส่วน $\lambda$ เปลี่ยนขนาด risky allocation หลังคำนวณ posterior แล้ว ห้องทดลองไม่ใช้ข้อมูลตลาด ไม่รวมค่าธรรมเนียม ภาษี turnover หรือข้อจำกัด long-only

สิ่งที่ต้องตรวจเมื่อใช้ posterior

• ใช้หน่วยเวลาเดียวกันใน $\Sigma,\Pi,Q$ และแยก excess return ออกจาก total return
• ตรวจว่า $P$ แทน view ที่ตั้งใจ และ $\Omega$ อธิบายความไม่แน่นอนของ view ไม่ใช่ covariance ของผลตอบแทน
• ทดลองขยับ views และความไม่แน่นอนเล็กน้อย แล้วดูทั้งน้ำหนัก เงินกู้ และ gross exposure
• สูตร allocation นี้อนุญาต short และ borrowing หากต้องการ long-only หรือเพดานน้ำหนัก ต้องแก้ โจทย์ที่มี constraints เพิ่ม
• แยก posterior uncertainty ของค่าเฉลี่ยจาก return covariance; บทนี้ใช้ $\Sigma$ เดิมสำหรับ allocation

ลองคำนวณต่อ

1. ทำไมแถว relative view ของ $P$ จึงรวมเป็นศูนย์ ส่วน absolute view ของสินทรัพย์หนึ่งตัวรวมเป็นหนึ่ง?
2. เมื่อใช้ prior $\Pi=2.24\Sigma w_{mkt}$ ใน optimizer ที่ $\lambda=2.24$ และยังไม่ใส่ views จะได้น้ำหนักใด?
3. จาก posterior risky weights 9.8696%, 16.5860%, 40.1304%, 10% จงหาน้ำหนักสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง
4. Q ข้อแรกเป็นบวก 10 จุดเปอร์เซ็นต์ ทำไมจึงปรับผลต่าง X3 − X1 ลงจาก prior?
5. หากเพิ่ม λ ผู้ลงทุนจาก 2.24 เป็น 4.48 โดยคง prior และ views เดิม น้ำหนักเสี่ยงและ risk-free จะเปลี่ยนอย่างไร?
6. M กับ Σ ต่างกันอย่างไร และแบบจำลองใดทำให้ predictive covariance เท่ากับ Σ + M?

ทำต่อใน Python

ดาวน์โหลด Notebook ของบท Black–Litterman Portfolio เพื่อทดลอง Bayes, คำนวณ prior และ views, ตรวจ posterior covariance, เทียบคำตอบกับ GLS และคำนวณ allocation ที่ λ หลายระดับ ทุกเซลล์ใช้ Python standard library และมีภาพฝังอยู่ในไฟล์