Quantitative Finance Notes
Quantitative Finance Notes

Black-Scholes Model

สมการมูลค่าแสนล้านนน ดอลล่า

“มัน (Black-Scholes Model) เหมือนมีปืนกล สู้กับธนูและลูกศร”

“It (Black-Scholes Model) was like having machine guns against bows and arrows.”

— Edward O. Thorp · The Tim Ferriss Show #596 (2022)

ในบทนี้เราจะมารู้จักสมการที่ว่ากันว่าเปลี่ยนโลก Quant Finance ไปเลย ใน Binomial Model เราหาจำนวนหุ้นและเงินสดที่ให้ผลลัพธ์เท่ากับ Option ได้ทุกแขนง เมื่อพอร์ตสองชุดให้สิ่งเดียวกันในอนาคต หลัก no-arbitrage ก็บังคับให้ต้นทุนวันนี้เท่ากัน

เมื่อย่อ time step จนเข้าสู่เวลาต่อเนื่อง หุ้นไม่ได้มีเพียงสองราคาปลายทาง แต่แนวคิด เลียนแบบ payoff ด้วยหุ้นและเงินสด ยังอยู่ บท Applied Stochastic Calculus เตรียม Itô’s lemma ไว้แล้ว บทนี้จะใช้มันเปลี่ยนแนวคิดเรื่อง hedge ให้กลายเป็นสมการราคา

เส้นเรื่อง คำถามที่ต้องตอบ
Delta → พอร์ตเลียนแบบ ต้องถือหุ้นเท่าไรจึงรับช็อกเท่ากับ Option
Itô → สมการ Black–Scholes เมื่อช็อกหักล้างกัน ผลตอบแทนที่เหลือต้องเป็นอะไร
ความหนาแน่น → สูตรราคา แปลงสมการเป็นค่าเฉลี่ย payoff แล้ว discount ได้อย่างไร
Greeks → การปรับ hedge เมื่อราคา เวลา และพารามิเตอร์เปลี่ยน ความเสี่ยงเปลี่ยนตามอย่างไร
American → ขอบเขตของสูตร ถ้าเลือกใช้สิทธิก่อนหมดอายุได้ โจทย์เพิ่มอะไรขึ้นมา

1. ทบทวน Delta

ในต้นไม้หนึ่ง step เราใช้ Delta เป็นอัตราส่วน

Δ=Vu−VdSu−Sd.\Delta=\frac{V_u-V_d}{S_u-S_d}.

เมื่อราคาสองแขนงเข้าใกล้กัน อัตราส่วนนี้นำไปสู่ความชันของราคา Option ต่อราคาหุ้น ณ เวลาเดียวกัน

Δ=∂V∂S=VS.\Delta=\frac{\partial V}{\partial S}=V_S.

ถ้า Delta ของ Call เท่ากับ 0.64 หุ้นขยับขึ้นเล็กน้อย 1 หน่วยเงิน ราคาของ Call จะเพิ่มประมาณ 0.64 หน่วยเงิน โดยตรึงเวลาและพารามิเตอร์อื่นไว้ นี่เป็นการประมาณเฉพาะบริเวณใกล้จุดปัจจุบัน ความชันเองก็เปลี่ยนได้

การถือ Call หนึ่งหน่วยแล้ว short หุ้น Δ หน่วย จึงหักล้างความไวต่อการขยับเล็ก ๆ ของหุ้นได้ แต่เรายังต้องอธิบาย ความโค้ง เวลา และต้นทุนการปรับจำนวนหุ้น ก่อนสรุปว่าพอร์ตนี้ทำงานอย่างไร

2. ตั้งโลกของแบบจำลองให้ชัด

เริ่มจากหุ้นที่ไม่มีเงินปันผล และราคาเป็น Geometric Brownian Motion ภายใต้ความน่าจะเป็นที่ใช้อธิบายโลกจริง ซึ่งจะเขียนเป็น ℙ

dSt=μSt dt+σSt dWtP.dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t^{\mathbb P}.
สัญลักษณ์ ความหมายและหน่วย
S ราคาหุ้นปัจจุบัน หน่วยเงินต่อหุ้น
K ราคาใช้สิทธิ หน่วยเงินต่อหุ้น
t, T และ τ = T − t เวลาปัจจุบัน วันหมดอายุ และเวลาคงเหลือ วัดเป็นปี
V(S,t), C, P มูลค่า Option, Call และ Put ต่อหุ้นอ้างอิงหนึ่งหน่วย
μ drift ของผลตอบแทน dS/S ภายใต้ ℙ หน่วยต่อปี
σ volatility ของ dS/S หน่วยต่อ √ปี เช่น 20% ต่อปีใช้ 0.20 เมื่อเวลาเป็นปี
r อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง หน่วยต่อปี เช่น 5% ใช้ 0.05
W standard Brownian motion มี increment แปรปรวนเท่ากับช่วงเวลา

คำว่า “ต่อปี” ของ volatility เป็นภาษาที่ใช้รายงานค่า annualized; ในสมการ σ คูณกับ dW ซึ่งมีหน่วย √ปี จึงต้องใช้หน่วยเวลาให้ตรงกัน ราคาทั้งบทเป็น ต่อหนึ่งหน่วยอ้างอิง ถ้าสัญญาหนึ่งมีตัวคูณ ต้องคูณราคาและจำนวนหุ้น hedge ด้วยตัวคูณนั้น

สมมติให้ r และ σ เป็นค่าคงที่ที่ทราบ โดย σ > 0 สูตรหลักใช้กับ European option ซึ่งใช้สิทธิได้ ณ T เท่านั้น นอกจากนี้ ตลาดในแบบจำลองเปิดให้ซื้อขายต่อเนื่อง ถือหุ้นเป็นเศษส่วน short หุ้น กู้และให้กู้ที่ r เดียวกัน ไม่มีภาษี ต้นทุนธุรกรรม หรือข้อจำกัดสภาพคล่อง และไม่มี arbitrage

บัญชีเงินสดจึงโตด้วยตัวคูณ eʳᵈᵗ ในช่วง dt ส่วนเงินปลายทาง discount ด้วย e⁻ʳτ ถ้ากลับไปใช้ต้นไม้ที่เขียนผลตอบแทนหนึ่ง step เป็น R ต้องเลือก R = eʳΔᵗ เพื่อให้ดอกเบี้ยตรงกับบทนี้

3. ใช้ Itô แล้วเลือกหุ้นให้รับช็อกเดียวกัน

สมมติ V เรียบพอเมื่อ t < T ใช้ Itô’s lemma ได้

dV=(Vt+μSVS+12σ2S2VSS)dt+σSVS dWP.dV=\left(V_t+\mu S V_S+\frac12\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt +\sigma S V_S\,dW^{\mathbb P}.

พจน์สุดท้ายบอกว่า Option และหุ้นรับ Brownian shock ตัวเดียวกัน แต่มีขนาดต่างกัน จึงเลือกจำนวนหุ้นให้รับช็อกเท่ากับ Option ได้

สร้าง พอร์ตเลียนแบบ มูลค่า X โดยถือหุ้น Δ หน่วยและมี ยอดเงินสด M

X=ΔS+M.X=\Delta S+M.

ถ้าพอร์ตเป็น self-financing การซื้อหุ้นเพิ่มใช้เงินจากบัญชีเดิม และการขายหุ้นนำเงินกลับเข้าบัญชี ไม่เติมเงินจากภายนอก การเปลี่ยนมูลค่าพอร์ตจึงเป็น

dX=Δ dS+rM dt=(μΔS+rM)dt+σΔS dWP.dX=\Delta\,dS+rM\,dt =\left(\mu\Delta S+rM\right)dt+\sigma\Delta S\,dW^{\mathbb P}.

เพื่อให้ X = V ตลอดเวลา ต้องให้ส่วนสุ่มเท่ากันก่อน จึงได้ Δ = V_S และ M = V − SV_S จากนั้นเทียบพจน์ dt

Vt+μSVS+12σ2S2VSS=μSVS+r(V−SVS).V_t+\mu S V_S+\frac12\sigma^2S^2V_{SS} =\mu S V_S+r(V-SV_S).

พจน์ μSV_S หักล้างกัน เหลือ สมการ Black–Scholes

Vt+12σ2S2VSS+rSVS−rV=0.\boxed{V_t+\frac12\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S-rV=0.}

μ หายจากสมการราคา เพราะพอร์ตเลียนแบบรับความเสี่ยงจากหุ้นเหมือน Option แล้ว หลัก no-arbitrage ทำให้ Option ต้องมีมูลค่าเท่าพอร์ตนั้น ภายใต้สมมติฐานและกลยุทธ์ที่ยอมรับได้ของแบบจำลอง การเลียนแบบจึงกำหนดราคาได้

ไม่ได้แปลว่า μ ในโลกจริงเท่ากับ r หรือการคาดการณ์ไม่มีประโยชน์ μ ยังมีผลต่อการกระจายของราคาจริงและความเสี่ยงของกลยุทธ์ แต่ไม่ปรากฏในสูตรราคาที่ได้จากการเลียนแบบนี้

ทำไมต้องพูดถึง self-financing แทนการหา d(V − ΔS) ตรง ๆ

Δ เปลี่ยนตามราคาและเวลา จึงห้ามใช้กฎอนุพันธ์แล้วทิ้งพจน์จาก dΔ ไปเฉย ๆ สมการ dX = ΔdS + rMdt เป็น เงื่อนไขการจัดหาเงินของกลยุทธ์: ค่าใช้จ่ายจากการปรับหุ้นถูกหักกับบัญชีเงินสดแล้ว

วิธีเขียนสั้นด้วยพอร์ต Π = V − ΔS มักถือ Δ คงที่ระหว่าง step แล้วปรับใหม่เมื่อจบ step การเขียนด้วยพอร์ตหุ้นและบัญชีเงินสดด้านบนทำให้เห็นชัดว่าการปรับ hedge ไม่ได้ใช้เงินฟรี

4. สมการเดียวกัน แต่ payoff ต่างกัน

สมการ Black–Scholes ใช้กับอนุพันธ์หลายชนิดได้ สิ่งที่บอกว่าเรากำลังหาราคาสัญญาใดคือเงื่อนไข ณ วันหมดอายุ

C(S,T)=(S−K)+,P(S,T)=(K−S)+,x+=max⁡(x,0).C(S,T)=(S-K)^+,\qquad P(S,T)=(K-S)^+, \qquad x^+=\max(x,0).

สำหรับหุ้นไม่มีปันผล Call มี C(0,t) = 0 และเมื่อ S สูงมาก C(S,t) ≈ S − Ke⁻ʳτ ส่วน Put มี P(0,t) = Ke⁻ʳτ และ P(S,t) → 0 เมื่อ S → ∞ เงื่อนไขเหล่านี้ช่วยกำหนดคำตอบและใช้ตรวจวิธีคำนวณเชิงตัวเลขได้

ที่ T เส้น payoff มีมุมตรง S = K แต่เมื่อยังมีเวลาเหลือและ σ > 0 ความไม่แน่นอนทำให้เส้นราคาเรียบขึ้น จึงหาอนุพันธ์ในสมการได้ก่อนหมดอายุ

Payoff ไม่ใช่กำไรสุทธิ ผู้ซื้อ Option จ่าย premium ตั้งแต่ต้น ถ้าจะวัดกำไรที่ T โดยคิดต้นทุนเงินด้วย ต้องหัก premium ที่ทบต้นไปถึง T และต้นทุนอื่นที่มี

5. ทำไม Gaussian จากบทก่อนจึงกลับมา

ใน Transition Density Functions Gaussian ปรากฏเป็นคำตอบของสมการความร้อน สมการ Black–Scholes ก็แปลงให้อยู่ในรูปนั้นได้ โดยแยกผลของดอกเบี้ย เปลี่ยนเวลาเป็นเวลาคงเหลือ และเปลี่ยนราคาสู่พิกัด log

กำหนด τ = T − t และพิกัดไร้หน่วย

x=ln⁡(S/K)+(r−12σ2)τ,V(S,t)=e−rτH(x,τ).x=\ln(S/K)+\left(r-\frac12\sigma^2\right)\tau, \qquad V(S,t)=e^{-r\tau}H(x,\tau).

แทนลงในสมการแล้วได้

Hτ=12σ2Hxx,H(x,0)=g(Kex),H_\tau=\frac12\sigma^2H_{xx},\qquad H(x,0)=g(Ke^x),

โดย g คือ payoff เช่น g(S) = (S − K)⁺ คำตอบจึงเป็นการเฉลี่ย payoff ด้วย Gaussian kernel ที่มีความแปรปรวน σ²τ แล้วคูณส่วนลดกลับเข้ามา

ตามดูการเปลี่ยนตัวแปรทีละส่วน

เขียน V(S,T−τ) = e⁻ʳτ U(S,τ) จะได้ U_τ = ½σ²S²U_SS + rSU_S จากนั้นให้ y = ln(S/K) และ F(y,τ) = U(Keʸ,τ) ใช้ SU_S = F_y และ S²U_SS = F_yy − F_y จึงเหลือ

Fτ=12σ2Fyy+(r−12σ2)Fy.F_\tau=\frac12\sigma^2F_{yy} +\left(r-\frac12\sigma^2\right)F_y.

ให้ x = y + (r − ½σ²)τ และ F(y,τ) = H(x,τ) พจน์อนุพันธ์อันดับหนึ่งจะหักล้างกัน เหลือสมการความร้อน ส่วน terminal condition เดิมกลายเป็น initial condition ที่ τ = 0

สูตรราคา Call เกิดจากการนำ payoff ไปเฉลี่ยบนการแจกแจงที่สมการราคากำหนด คำถามถัดไปคือการแจกแจงนี้ใช่การคาดการณ์ราคาจริงหรือไม่

6. ค่าเฉลี่ยสำหรับตั้งราคา กับค่าเฉลี่ยสำหรับคาดการณ์

ภายใต้ ℙ ถ้าเริ่มจาก S และเหลือเวลา τ ค่าเฉลี่ยราคาปลายทางคือ Seᵐᵘτ แต่สมการที่เพิ่งได้ใช้ r แทน μ จึงสอดคล้องกับอีกมาตรวัดความน่าจะเป็นหนึ่ง เรียกว่า risk-neutral measure เขียนเป็น ℚ

dS=rS dt+σS dWQ,ST=Sexp⁡ ⁣[(r−12σ2)τ+στZ],Z∼N(0,1).dS=rS\,dt+\sigma S\,dW^{\mathbb Q},\qquad S_T=S\exp\!\left[\left(r-\frac12\sigma^2\right)\tau +\sigma\sqrt\tau Z\right],\quad Z\sim N(0,1).

ราคา European payoff g จึงเขียนได้เป็น

V(S,t)=e−rτEQ ⁣[g(ST)∣St=S].\boxed{V(S,t)=e^{-r\tau}\mathbb E^{\mathbb Q} \!\left[g(S_T)\mid S_t=S\right].}

นี่คือรูปเวลาต่อเนื่องของ pricing probability q ในต้นไม้ Binomial โดย q เป็นตัวเลขความน่าจะเป็นแต่ละแขนง ส่วน ℚ เป็นมาตรวัดของกระบวนการราคา หลักการยังเหมือนเดิม: น้ำหนักที่ใช้หาราคามาจากการเลียนแบบและ no-arbitrage ไม่ใช่ระดับความกลัวเสี่ยงของผู้อ่าน

Backward Kolmogorov ช่วยเห็นความต่างชัดขึ้น ถ้า U(S,t) = Eᴾ[g(S_T) | S_t = S] โดยยังไม่ discount จะมี

Ut+12σ2S2USS+μSUS=0.U_t+\frac12\sigma^2S^2U_{SS}+\mu SU_S=0.

เปลี่ยนกระบวนการที่ใช้เฉลี่ยเป็น ℚ แล้ว discount จึงได้พจน์ rSV_S และ −rV ในสมการราคา การเอา payoff เฉลี่ยภายใต้ ℙ มา discount ที่ r โดยตรงจึง ไม่ใช่สูตรทั่วไปของราคา Option

ตัวอย่างง่ายคือ g(S_T) = S_T ภายใต้ ℚ เราได้ e⁻ʳτEᑫ[S_T] = S ซึ่งตรงกับราคาหุ้นวันนี้ ภายใต้ ℙ วิธีเดียวกันจะให้ Se⁽ᵐᵘ⁻ʳ⁾τ ซึ่งไม่เท่ากับ S เมื่อ μ ≠ r

7. จากค่าเฉลี่ย payoff สู่สูตร Call และ Put

ให้ Φ(z) เป็น CDF ของ Standard Normal และ φ(z) = exp(−z²/2)/√(2π) เป็น density โดย Φ(z) บอกพื้นที่สะสมทางซ้ายของ z

สำหรับ σ > 0 และ τ > 0 กำหนด

d1=ln⁡(S/K)+(r+12σ2)τστ,d2=d1−στ.d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\tfrac12\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt\tau}, \qquad d_2=d_1-\sigma\sqrt\tau.

ราคา European Call และ Put บนหุ้นที่ไม่มีปันผลเป็น

C=SΦ(d1)−Ke−rτΦ(d2)\boxed{C=S\Phi(d_1)-Ke^{-r\tau}\Phi(d_2)}
P=Ke−rτΦ(−d2)−SΦ(−d1).\boxed{P=Ke^{-r\tau}\Phi(-d_2)-S\Phi(-d_1).}

เหตุผลที่ Call มีสองพจน์เห็นได้จากการแยก payoff

(ST−K)+=ST1{ST>K}−K1{ST>K}.(S_T-K)^+=S_T\mathbf1_{\{S_T>K\}}-K\mathbf1_{\{S_T>K\}}.

พจน์แรกจ่ายหุ้นหนึ่งหน่วยเมื่อจบเหนือ K ส่วนพจน์ที่สองจ่ายเงิน K ในเหตุการณ์เดียวกัน เมื่อนำไปเฉลี่ยภายใต้ ℚ และ discount พจน์แรกให้ SΦ(d₁) ส่วนพจน์ที่สองให้ Ke⁻ʳτΦ(d₂)

Φ(d₂) = ℚ(S_T > K) คือโอกาสจบ in the money ภายใต้ ℚ ส่วน Φ(d₁) = Delta ของ Call ในกรณีไม่มีปันผล ทั้งสองค่าไม่เท่ากัน เพราะพจน์ที่มี S_T ถ่วงน้ำหนักผลลัพธ์ตามขนาดราคาด้วย Φ(d₁) จึงไม่ใช่โอกาสใช้สิทธิภายใต้ ℚ เดียวกัน

ลองเปลี่ยน payoff เป็นจ่ายเงินหนึ่งหน่วยเมื่อหุ้นเกิน K

Cash-or-nothing digital แบบ Call จ่าย 1 เมื่อ S_T > K และจ่าย 0 กรณีอื่น จึงมีราคา e⁻ʳτΦ(d₂) ส่วนแบบ Put ที่จ่ายเมื่อ S_T < K มีราคา e⁻ʳτΦ(−d₂)

เมื่อ σ,τ > 0 ราคาปลายทางมีการแจกแจงต่อเนื่อง เหตุการณ์ S_T = K มีความน่าจะเป็นศูนย์ ราคาสองตัวจึงรวมกันได้ e⁻ʳτ แต่ ณ วันหมดอายุต้องอ่านเงื่อนไขสัญญาว่ากรณีราคาเท่ากับ K จ่ายหรือไม่ ถ้าจ่ายเงิน A หน่วยแทน 1 ก็ให้คูณราคาข้างต้นด้วย A

สูตรยังให้ put–call parity

C−P=S−Ke−rτ.C-P=S-Ke^{-r\tau}.

เพราะถือ Call และ short Put ที่ K,T เดียวกันให้ payoff S_T − K เท่ากับถือหุ้นและมีหนี้ K ณ วันหมดอายุ ความสัมพันธ์นี้ใช้ตรวจราคาที่คำนวณได้โดยไม่ต้องเชื่อสูตรทั้งสองแยกกัน

เมื่อ τ = 0 ให้ใช้ payoff โดยตรง เมื่อ σ = 0 ราคาภายใต้ ℚ เป็นเส้นทางแน่นอน จึงใช้ C = max(S − Ke⁻ʳτ,0) และ P = max(Ke⁻ʳτ − S,0) โดยไม่หารด้วย σ√τ ที่เป็นศูนย์

8. ตัวอย่าง: Call ราคา 10.45 มาจากพอร์ตอะไร

ใช้ตัวเลขสมมติ S = K = 100, r = 5% ทบต้นต่อเนื่อง, σ = 20% และ τ = 1 ปี ไม่มีปันผล จะได้ d₁ = 0.35, d₂ = 0.15 และ

รายการ ค่าประมาณ
Φ(d₁) 0.636831
Φ(d₂) 0.559618
Call 10.450584
Put 5.573526
Call − Put 4.877058
S − Ke⁻ʳτ 4.877058

Delta ของ Call เท่ากับ 0.636831 หุ้นต่อหนึ่งหน่วยอ้างอิง คิดเป็นมูลค่าหุ้นประมาณ 63.683065 แต่ราคา Call เท่ากับ 10.450584 ดังนั้นบัญชีเงินสดของพอร์ตเลียนแบบคือ

M=C−ΔS=10.450584−63.683065≈−53.232482.M=C-\Delta S =10.450584-63.683065 \approx-53.232482.

พอร์ตเริ่มด้วย ซื้อหุ้นประมาณ 0.636831 หน่วย และกู้เงินประมาณ 53.232482 หน่วยเงิน เงินลงทุนสุทธิเท่ากับราคา Call ยอดเงินสดติดลบคือหนี้ ไม่ใช่กำไร และจำนวนหุ้นนี้เป็น hedge ณ จุดเริ่มต้น ต้องปรับต่อไปเมื่อราคาและเวลาเปลี่ยน

ลองเปลี่ยน Call เป็น Put แล้วดู Delta กับบัญชีเงินสด จากนั้นเลื่อนเวลาคงเหลือให้สั้นลง เส้นราคา Option จะเข้าใกล้ payoff มากขึ้น เส้นสัมผัสแสดงการประมาณด้วย Delta รอบราคาที่เลือก ไม่ได้แทนราคาที่ถูกต้องตลอดทั้งกราฟ

9. Greeks: ถ้าสิ่งหนึ่งเปลี่ยน ราคาไวแค่ไหน

Greeks เป็นอนุพันธ์ของราคา โดยเปลี่ยนสิ่งหนึ่งและตรึงสิ่งอื่นไว้ ใช้ทั้งอธิบายรูปทรงของราคาและวัดความไวของพอร์ต สำหรับหุ้นไม่มีปันผล สูตรต่อไปนี้ใช้เมื่อ σ,τ > 0

Greek ความหมายเมื่อตรึงสิ่งอื่นไว้
Delta Δ = V_S ราคาของ Option เปลี่ยนเท่าไรเมื่อราคาหุ้นเปลี่ยนเล็กน้อย
Gamma Γ = V_SS Delta เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อราคาหุ้นเปลี่ยน
Theta Θ = V_t ราคาไวต่อเวลาปัจจุบันที่เดินไปอย่างไร
Vega ν = V_σ ราคาไวต่อ volatility อย่างไร
Rho ρᵣ = V_r ราคาไวต่ออัตราดอกเบี้ยอย่างไร

Delta และ Gamma ของ Call กับ Put เป็น

ΔC=Φ(d1),ΔP=Φ(d1)−1,ΓC=ΓP=φ(d1)Sστ.\begin{aligned} \Delta_C&=\Phi(d_1),\\ \Delta_P&=\Phi(d_1)-1,\\ \Gamma_C=\Gamma_P&=\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt\tau}. \end{aligned}

Theta มีทั้งส่วนจากความโค้งและต้นทุนเงิน

ΘC=−Sσφ(d1)2τ−rKe−rτΦ(d2),ΘP=−Sσφ(d1)2τ+rKe−rτΦ(−d2).\begin{aligned} \Theta_C&=-\frac{S\sigma\varphi(d_1)}{2\sqrt\tau}\\ &\quad-rKe^{-r\tau}\Phi(d_2),\\[4pt] \Theta_P&=-\frac{S\sigma\varphi(d_1)}{2\sqrt\tau}\\ &\quad+rKe^{-r\tau}\Phi(-d_2). \end{aligned}

Vega และ Rho วัดความไวต่อพารามิเตอร์

νC=νP=Sφ(d1)τ,(ρr)C=Kτe−rτΦ(d2),(ρr)P=−Kτe−rτΦ(−d2).\begin{aligned} \nu_C=\nu_P&=S\varphi(d_1)\sqrt\tau,\\ (\rho_r)_C&=K\tau e^{-r\tau}\Phi(d_2),\\ (\rho_r)_P&=-K\tau e^{-r\tau}\Phi(-d_2). \end{aligned}

Θ ใช้อนุพันธ์ตาม เวลาปัจจุบัน t โดยตรึง T จึงเท่ากับ −∂V/∂τ หน่วยในตารางเป็นต่อปี ส่วน Vega และ Rho เป็นต่อการเปลี่ยนพารามิเตอร์ 1.00 ถ้ารายงานต่อ 1 percentage point เช่น σ จาก 20% เป็น 21% ต้องหารด้วย 100

ตัวอย่าง Call เดิมให้ Γ ≈ 0.018762, Θ ≈ −6.414028 ต่อปี, Vega ≈ 0.375240 ต่อ volatility 1 percentage point และ Rho ≈ 0.532325 ต่อดอกเบี้ย 1 percentage point ถ้าจะรายงาน Theta ต่อวันต้องระบุ day count เช่น หาร 365 สำหรับวันปฏิทิน ตัวเลขนี้เป็น local sensitivity ไม่ใช่กำไรหรือขาดทุนที่รับประกันในวันถัดไป

เมื่อหุ้นขยับเล็กน้อย δS และเวลาผ่านไป δt การประมาณอันดับสองด้านราคาคือ

δV≈Δ δS+12Γ(δS)2+Θ δt.\delta V\approx\Delta\,\delta S +\frac12\Gamma(\delta S)^2+\Theta\,\delta t.

ถ้า volatility เปลี่ยนด้วย ให้เพิ่ม νδσ ในการประมาณอันดับหนึ่งด้านพารามิเตอร์ การตั้ง Delta เป็นศูนย์จึงยังเหลือความไวต่อความโค้งและพารามิเตอร์อื่น

หุ้นมี Gamma เป็นศูนย์ จะปรับ Gamma ของพอร์ตด้วยหุ้นอย่างเดียวไม่ได้ หากถือ Option A จำนวนหนึ่งหน่วย และใช้ Option B มาช่วย เลือกจำนวน n_B = −Γ_A/Γ_B เมื่อ Γ_B ≠ 0 แล้วค่อยใช้หุ้นปรับ Delta รวมกลับเป็นศูนย์ วิธีนี้อาจสร้างความไวต่อ Vega หรือ Theta แบบใหม่ จึงต้องอ่านพอร์ตทั้งชุด

Greeks ยังเชื่อมกันผ่าน PDE:

Θ+12σ2S2Γ+rSΔ−rV=0.\Theta+\frac12\sigma^2S^2\Gamma+rS\Delta-rV=0.

สมการนี้เป็นอีกทางตรวจสูตร และอธิบายว่าพจน์ความโค้งกับเวลาถูกเชื่อมด้วยเงื่อนไขการ hedge และต้นทุนเงินอย่างไร

10. เมื่อปรับ hedge ได้เป็น step

สูตร Black–Scholes อาศัยการปรับ Delta ต่อเนื่อง แต่การทดลองบนคอมพิวเตอร์และการซื้อขายต้องเลือกเวลาเป็นช่วง ๆ เริ่มด้วย X₀ = V₀, Δ₀ = V_S(S₀,0) และ M₀ = V₀ − Δ₀S₀ จากนั้นถือหุ้นเดิมตลอดหนึ่ง time step

เมื่อถึง tᵢ₊₁ มูลค่าก่อนปรับพอร์ตคือ

Xi+1−=ΔiSi+1+MierΔt.X_{i+1}^{-}=\Delta_iS_{i+1}+M_i e^{r\Delta t}.

ถ้ายังไม่ถึง T ให้คำนวณ Delta ใหม่ แล้วใช้เงินในพอร์ตซื้อหรือขายหุ้น

Δi+1=VS(Si+1,ti+1),Mi+1=Xi+1−−Δi+1Si+1.\Delta_{i+1}=V_S(S_{i+1},t_{i+1}),\qquad M_{i+1}=X_{i+1}^{-}-\Delta_{i+1}S_{i+1}.

มูลค่าหลังปรับยังเท่ากับก่อนปรับ จึงเป็น self-financing ส่วน ณ T ให้ชำระ payoff เลย ไม่ต้องหา Delta ที่มุมของ payoff เพื่อปรับพอร์ตอีกครั้ง

ห้องทดลองจำลองราคาภายใต้ ℙ ด้วย μ = 8%, σ = 20%, S₀ = K = 100, r = 5% และอายุ 1 ปี ใช้ exact GBM ที่จุดเวลาซึ่งเลือก และสร้าง Brownian increments บนตารางละเอียดเดียวกัน การเลือก 16, 64 หรือ 256 step จึงใช้เส้นทางเดียวกัน ณ จุดเวลาที่ตรงกัน รวมถึงราคา S_T เดียวกัน

Residual = มูลค่าพอร์ต ณ T − payoff ค่าบวกคือเงินเหลือหลังจ่ายภาระ Option ค่าลบคือเงินขาด สำหรับผู้ขายหนึ่งหน่วยที่รับ premium มาตั้งพอร์ตตามสูตรและใช้สมมติฐานนี้ Residual จึงวัดผลของการ hedge เป็นช่วง ๆ ได้

อย่าสรุปจาก seed เดียวว่าเพิ่ม step แล้วขนาด Residual ต้องลดทุกครั้ง การปรับถี่ขึ้นมีผลต่อการลู่เข้าของกลยุทธ์ภายใต้แบบจำลอง แต่ความคลาดเคลื่อนบนเส้นทางใดเส้นทางหนึ่งอาจไม่ลดแบบเรียงลำดับ ต้องดูหลายเส้นทางเพื่อศึกษาการกระจายของ hedging error

สิ่งที่คลาดเคลื่อน เกิดจากอะไรในบริบทนี้
Discrete hedging error ค้าง Delta ระหว่างเวลา rebalance แม้จำลอง GBM ที่จุดเวลาได้แบบ exact
Monte Carlo sampling error ใช้จำนวนเส้นทางจำกัดเพื่อประมาณราคาเฉลี่ยหรือสถิติของ error
Model error โลกที่นำไปใช้ไม่ตรงกับสมมติฐาน เช่น volatility ไม่คงที่หรือมีการกระโดด

เพิ่มจำนวนเส้นทางช่วยลด sampling error ส่วนเพิ่มความถี่ hedge เปลี่ยน discrete hedging error ทั้งสองอย่างไม่ได้ยืนยันว่าแบบจำลองตลาดถูกต้อง และเมื่อมีค่าซื้อขาย การปรับถี่ขึ้นก็มีต้นทุนที่ห้องทดลองนี้ยังไม่ได้รวม

11. เงินปันผล FX และต้นทุนถือสินค้าเปลี่ยนตรงไหน

ถ้าหุ้นจ่ายเงินปันผลด้วย continuous proportional yield D หุ้นที่ถือในพอร์ตสร้างเงินสดเพิ่ม DΔSdt สมการราคาจึงเปลี่ยนเป็น

Vt+12σ2S2VSS+(r−D)SVS−rV=0.V_t+\frac12\sigma^2S^2V_{SS}+(r-D)SV_S-rV=0.

ภายใต้ ℚ drift ของ ราคาไม่รวมปันผล เป็น r − D โดย discount ที่ r เช่นเดิม กำหนดใหม่ว่า

d1=ln⁡(S/K)+(r−D+12σ2)τστ,d2=d1−στ.d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-D+\tfrac12\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt\tau}, \qquad d_2=d_1-\sigma\sqrt\tau.

แล้วได้

C=Se−DτΦ(d1)−Ke−rτΦ(d2),P=Ke−rτΦ(−d2)−Se−DτΦ(−d1).C=Se^{-D\tau}\Phi(d_1)-Ke^{-r\tau}\Phi(d_2), \qquad P=Ke^{-r\tau}\Phi(-d_2)-Se^{-D\tau}\Phi(-d_1).

Delta ของ Call เป็น e⁻ᴰτΦ(d₁) จึงไม่เท่ากับ Φ(d₁) เฉย ๆ อีกแล้ว เราใช้ D แทน dividend yield เพื่อไม่ให้ชนกับ q ที่เคยใช้เป็น pricing probability ในต้นไม้

สินทรัพย์อ้างอิง การอ่านพจน์ carry
หุ้นที่มี yield D คงที่ ใช้ r − D; ไม่ใช่สูตรทั่วไปสำหรับปันผลเงินสดเป็นก้อนตามวัน
FX ที่ S เป็นเงินในประเทศต่อหนึ่งหน่วยเงินต่างประเทศ เงินต่างประเทศสร้างดอกเบี้ย r_f จึงแทน D ด้วย r_f และ r ด้วย r_d; ผลเป็นมูลค่าในเงินในประเทศ
สินค้าที่มีต้นทุนเก็บรักษา κ ต่อปีเป็นสัดส่วนของราคา ในแบบจำลองถือและซื้อขายสินค้าได้อย่างไม่มีข้อจำกัดและไม่มี convenience yield ใช้ carry r + κ หรือเทียบเท่า D = −κ

ต้นทุนสินค้าแบบนี้เป็นกรณีลดรูป การเก็บรักษาเป็นจำนวนเงินคงที่ สิทธิประโยชน์จากการมีสินค้าจริง และข้อจำกัดการ short ต้องวิเคราะห์เพิ่ม ห้องทดลองและสูตร Greeks ในส่วนก่อนใช้ หุ้นไม่มีปันผล ตามที่ระบุไว้

12. ถ้าเลือกใช้สิทธิก่อนหมดอายุได้

American option เพิ่มสิทธิเลือกเวลาใช้สิทธิ จึงต้องมีมูลค่าอย่างน้อยเท่ากับ European ที่มีเงื่อนไขอื่นเหมือนกัน และอย่างน้อยเท่ากับ payoff จากการใช้สิทธิทันที

VA(S,t)≥VE(S,t),VA(S,t)≥g(S).V_A(S,t)\ge V_E(S,t),\qquad V_A(S,t)\ge g(S).

ต้องเปรียบเทียบสองทางเลือก ณ แต่ละจุด: ใช้สิทธิรับ g(S) ตอนนี้ หรือ ถือต่อเพื่อรักษาสิทธิ ในบริเวณที่ถือต่อ มูลค่ายังเป็นไปตาม PDE เดิม แต่เส้นแบ่งระหว่างสองบริเวณเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ เรียกว่า exercise boundary

สำหรับ American Put มาตรฐานในแบบจำลอง diffusion เมื่อมีขอบเขตใช้สิทธิที่เรียบ S*(t) จะมีทั้ง value matching และ smooth pasting

VA(S∗(t),t)=K−S∗(t),(VA)S(S∗(t),t)=−1.V_A(S^*(t),t)=K-S^*(t),\qquad (V_A)_S(S^*(t),t)=-1.

มูลค่าและความชันจึงต่อกับเส้น payoff ที่ขอบเขต ภายใต้เงื่อนไขความเรียบของโจทย์นี้ ไม่ใช่กฎที่นำไปใช้กับทุก payoff หรือ jump model ได้โดยไม่ตรวจสมมติฐาน

Call ไม่มีปันผลและ r ≥ 0 ไม่ได้ประโยชน์เพิ่มจากการใช้สิทธิก่อนหมดอายุภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน เพราะ European Call มีขอบล่าง max(S − Ke⁻ʳτ,0) ≥ max(S − K,0) การจ่าย K เร็วขึ้นยังทำให้เสียสิทธิเลือกในอนาคต จึงมีราคา American เท่ากับ European ในกรณีนี้

Put อาจคุ้มที่จะรับ K ก่อนเมื่ออยู่ลึกในเงินและต้นทุนเงินมีความสำคัญ ส่วน Call ที่มีปันผลก็อาจใช้สิทธิเร็วได้ เงื่อนไข r ≥ 0 ของข้อสรุป Call ไม่มีปันผลไม่ควรถูกตัดทิ้งเมื่อพิจารณาดอกเบี้ยติดลบ

ถ้าใช้สิทธิได้เฉพาะวันที่กำหนด เรียก Bermudan option ที่แต่ละวันใช้สิทธิได้ ให้เทียบมูลค่าถือต่อกับ payoff เหมือนขั้น max ในต้นไม้ราคา สูตร European Call/Put ข้างต้นจึงไม่ได้แทนคำตอบ American Put โดยอัตโนมัติ

13. สูตรราคาเป็นจุดเริ่มต้นของการอ่านความเสี่ยง

แบบจำลองสมมติให้ volatility คงที่ ช็อกต่อเนื่อง พอร์ตปรับได้ต่อเนื่อง และไม่มีต้นทุนซื้อขาย เมื่อนำไปเทียบกับข้อมูลหรือใช้ hedge ต้องแยกความผิดพลาดของการคำนวณออกจากความไม่ตรงของสมมติฐานเหล่านี้

อีกวิธีใช้สูตรคือกลับโจทย์: ตรึง S,K,r,τ แล้วหาค่า σ ที่ทำให้ราคาในสูตรตรงกับราคาที่สังเกต เรียก implied volatility ภายใต้สมมติฐานที่เลือก สำหรับ European vanilla และราคาที่อยู่ภายในขอบเขต no-arbitrage อย่างเคร่งครัด Vega ที่เป็นบวกช่วยให้แก้ย้อนหา σ ได้เพียงค่าเดียว

ถ้าใช้ราคาคนละ strike หรือ maturity แล้วได้ implied volatility ไม่เท่ากัน เราไม่สามารถอธิบายราคาทั้งชุดด้วย σ คงที่เพียงตัวเดียวได้ การใช้สูตรเป็นภาษารายงานราคาจึงไม่ได้ยืนยันว่า GBM ที่มี σ คงที่เป็นคำอธิบายตลาดที่ครบถ้วน และ implied volatility ก็ไม่ใช่คำรับประกันความผันผวนที่กำลังจะเกิด

ลองเชื่อมทั้งบท

  1. ผู้วิเคราะห์สองคนให้ μ ต่างกัน แต่ใช้ S,K,r,σ,τ และสมมติฐานเดียวกัน ราคา European Call ในแบบจำลองนี้ควรต่างกันหรือไม่
  2. ถ้า Call มี Delta 0.6 และ Gamma 0.02 การถือ Call หนึ่งหน่วยแล้ว short หุ้น 0.6 หน่วยทำให้ Gamma เป็นศูนย์ด้วยหรือไม่
  3. ทำไมในตัวอย่าง Φ(d₂) ≈ 0.5596 แต่ Delta ≈ 0.6368 จึงไม่ขัดกัน
  4. ถ้า Vega ต่อ volatility 1 percentage point เท่ากับ 0.3752 เมื่อ volatility เพิ่มจาก 20% เป็น 22% ราคาเปลี่ยนประมาณเท่าไร โดยตรึงค่าอื่นไว้
  5. ถ้าพอร์ตก่อน rebalance มีมูลค่า 12 หุ้นราคา 100 และ Delta ใหม่ 0.65 บัญชีเงินสดหลังปรับต้องเป็นเท่าไร
  6. เพิ่มความถี่ hedge จาก 64 เป็น 256 step แล้ว Residual ของ seed หนึ่งใหญ่ขึ้น แปลว่าแนวคิดลู่เข้าผิดหรือไม่
  7. ใช้สูตร European Put ตั้งราคา American Put ได้เสมอหรือไม่
เปิดเฉลยพร้อมเหตุผล
  1. ไม่ต่าง เพราะ μ ถูกหักล้างในการเลียนแบบ แต่ความเห็นต่อราคาหุ้นจริงและความเสี่ยงยังต่างกันได้
  2. ไม่เป็นศูนย์ หุ้นมี Gamma ศูนย์ จึงเหลือ Gamma 0.02 เท่าเดิม ณ จุดนั้น
  3. Φ(d₂) เป็นโอกาสจบเหนือ K ภายใต้ ℚ ส่วน Delta วัดความไวของราคา Call ต่อ S และมีการถ่วงขนาดราคาปลายทางอยู่ในการคำนวณ
  4. เพิ่มประมาณ 0.7504 หน่วยเงิน จาก 0.3752 × 2 เป็น local linear approximation; Vega เองอาจเปลี่ยนระหว่างทาง
  5. −53 หน่วยเงิน เพราะ 12 − 0.65 × 100 = −53 คือเงินกู้ และมูลค่าหุ้นรวมเงินสดยังเท่ากับ 12
  6. ไม่จำเป็น การลู่เข้าไม่ได้บังคับให้ขนาด error ของทุกเส้นทางลดลงในทุกความละเอียด ต้องใช้เส้นทางร่วมและดูการกระจายของ error จากหลายเส้นทาง
  7. ไม่ได้ American Put มีสิทธิใช้เร็วและอาจมีมูลค่าเพิ่ม ต้องแก้โจทย์ที่รวมการตัดสินใจใช้สิทธิด้วย

ทดลองต่อด้วย Python

ดาวน์โหลด Notebook บท Black-Scholes Model เพื่อคำนวณ Call/Put และ Greeks ตรวจ put–call parity ประมาณราคาด้วย Monte Carlo ภายใต้ ℚ และเปรียบเทียบ discrete Delta hedge บน Brownian path เดียวกัน โค้ดใช้ Python standard library พร้อม seed และผลการรัน

อ่านประกอบ

  • Martin Haugh, The Black-Scholes Model — เอกสารมหาวิทยาลัยสำหรับอ่านเรื่องพอร์ต self-financing, PDE และ risk-neutral valuation เพิ่มเติม
  • MIT OpenCourseWare, Black–Scholes Formula & Risk-neutral Valuation — มุมมองสูตรราคาผ่านการแจกแจงและค่าเฉลี่ย

ตัวเลขและกราฟทดลองในบทนี้เป็นตัวอย่างสมมติที่คำนวณจากแบบจำลอง ไม่ใช่ข้อมูลราคาตลาด

ภาพการ์ตูน Nuthdanai Wangpratham

ผู้เขียน · QuantCorner

Nuthdanai Wangpratham

แบ่งปันความรู้ด้าน Quantitative Finance และ AI เพื่อให้การเรียนรู้เรื่องการลงทุนเริ่มต้นได้จากตัวอย่างที่ลองทำตามได้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตามผู้เขียนและ QuantCorner ได้ที่นี่

ค้นหาในสมุดบันทึก