Exotic Options

อ่านสัญญาก่อนเลือกสูตร

ลองแยกสัญญาออกเป็นห้าคำถามต่อไปนี้ แล้วตรวจเพิ่มว่าใครมีสิทธิตัดสินใจระหว่างทาง

Time dependence ในที่นี้หมายถึงเงื่อนไขสัญญาเปลี่ยนตามเวลา ไม่ใช่เพียงราคาของ Option เปลี่ยนเมื่อเวลาผ่านไป สัญญาที่ใช้สิทธิได้เฉพาะวันที่กำหนดเรียก Bermudan ส่วน American ใช้สิทธิได้ตลอดช่วงที่อนุญาต สิทธิเลือกใช้หรือไม่ใช้ทำให้ต้องเปรียบเทียบ exercise value กับ continuation value

สัญญาหนึ่งอยู่ได้หลายกลุ่ม เช่น Asian บนตะกร้าหุ้นที่มี early exercise มีทั้ง path dependence หลายสินทรัพย์ และการตัดสินใจระหว่างทาง การติดป้ายชื่อเพียงคำเดียวจึงไม่เพียงพอต่อการคิดราคา

ปลายทางเดียวกัน แต่เงินที่ได้รับต่างกัน

สมมติหุ้นเริ่มที่ 100 และมีวันสังเกตสี่วันหลังเริ่มสัญญา ราคาที่เห็นเป็นดังนี้

ให้ K=100 และ upper barrier H=130 เปรียบเทียบสามสัญญาที่จ่ายครั้งเดียว ณ T

1. Vanilla Call: จ่าย $(S_T-K)^+$ ทั้งสองเส้นทางจึงจ่าย 10
2. Fixed-strike arithmetic Asian Call: จ่าย $(A_4-K)^+$ โดยเฉลี่ยเฉพาะ fixing ทั้งสี่ ไม่รวมราคาเริ่มต้น เส้น A เฉลี่ย 112.5 จึงจ่าย 12.5 ส่วน B เฉลี่ย 110 จึงจ่าย 10
3. Up-and-out Call ไม่มี rebate: ถ้าเคยแตะหรือเกิน 130 ในวันตรวจ สัญญาดับสิทธิ เส้น A จ่าย 10 ส่วน B จ่าย 0 แม้ราคาจะกลับลงมาแล้วก็ตาม

จุดราคาเป็นข้อมูลสมมติ เส้นเชื่อมช่วยให้อ่านลำดับได้ สัญญาในตัวอย่างตรวจ barrier ที่จุดเริ่มต้นและวัน fixing เท่านั้น ไม่มี rebate และไม่รวม S₀ ในค่าเฉลี่ย

ตัวเลขนี้คือ payoff ที่วันหมดอายุ ยังไม่ใช่ราคาวันนี้ และยังไม่ใช่กำไรของผู้ซื้อ การหามูลค่าวันนี้ต้องพิจารณาการแจกแจงของทุกเส้นทางที่แบบจำลองอนุญาตและคิดลด ส่วนกำไรต้องนำ premium และต้นทุนที่เกี่ยวข้องมารวมด้วย

เงินจ่ายทำให้มูลค่าที่เหลืออยู่ลดลง

สมมติสัญญาจ่ายเงิน Cᵢ ให้ผู้ถือ ณ เวลา tᵢ แล้วคงสิทธิส่วนที่เหลือไว้ ให้ $t_i^-$ หมายถึงก่อนจ่ายและ $t_i^+$ หลังจ่ายทันที เมื่อราคาอ้างอิงไม่กระโดดในเหตุการณ์นี้ เงื่อนไขมูลค่าคือ

เราใช้ C แทน cashflow เพื่อไม่ให้สับสนกับ q ที่ใช้แทน pricing probability ในบท Binomial ก่อนจ่าย 5 มูลค่าสัญญาอาจเป็น 105 หลังจ่ายเหลือ 100 แต่ผู้ถือมีเงินสดเพิ่ม 5 ความมั่งคั่งรวม ณ ขณะจ่ายจึงไม่หายไป 5

ตัวอย่างสัญญาเงินสดสมมติ สคริปต์คำนวณมูลค่าปัจจุบันของเงินจ่ายที่ยังเหลืออยู่ เส้นกระโดดแสดงการแยกเงินออกจากสัญญา ไม่ใช่ขาดทุนจากราคาตลาด

ถ้า Cᵢ ขึ้นกับ S ค่า Delta และ Gamma อาจเปลี่ยนตามอนุพันธ์ของ Cᵢ ด้วย แต่ cashflow คงที่ไม่ได้ทำให้ Greeks ทุกตัวต้องกระโดดเสมอ สำหรับอัตราจ่ายต่อเนื่อง $c(S,t)$ หน่วยเงินต่อปี PDE จะมีเทอม $+c(S,t)$ เพิ่มเข้ามา ต่างจากการใช้ jump condition ในวันจ่าย

หากทั้งราคาอ้างอิงและ state อื่นเปลี่ยนพร้อมจ่ายเงิน ต้องกำหนดการเปลี่ยน state ให้ครบก่อนเชื่อมมูลค่าก่อนและหลังเหตุการณ์

จำอดีตเท่าที่จำเป็น

State variable คือตัวแปรที่สรุปข้อมูลปัจจุบันและอดีตได้เพียงพอต่อการหาการแจกแจงอนาคตและ payoff ภายใต้แบบจำลองที่เลือก เราไม่จำเป็นต้องเก็บราคาทั้งเส้นเสมอไป

Asian: ถ้าต้องจ่ายจากค่าเฉลี่ย ให้เก็บผลรวมสะสม I หรือค่าเฉลี่ยสะสม A นอกจากราคาปัจจุบัน S ผู้ถือสองคนที่มี S เท่ากันแต่สะสมราคามาคนละชุดอาจมีมูลค่าสัญญาต่างกัน จึงเขียนเป็น $V(S,I,t)$ เอกสารเรียกกรณีที่ต้องเพิ่มตัวแปรต่อเนื่องเช่นนี้ว่า strong path dependence

Barrier: ต้องรู้ว่าเคยแตะ barrier แล้วหรือยัง สำหรับ knock-out ที่ไม่มี rebate หากแตะแล้วมูลค่าเป็นศูนย์ หากยังไม่แตะจึงคำนวณ $V_{\mathrm{alive}}(S,t)$ บนโดเมนที่ยังมีชีวิต เอกสารเรียกว่า weak path dependence เพราะไม่ต้องเพิ่มแกนต่อเนื่องสำหรับความทรงจำ แต่ยังต้องแยกสถานะ alive/knocked-out ไม่ใช่ว่าราคา S กับเวลา t บอกอดีตได้เอง

Lookback: หาก payoff ใช้ราคาสูงสุด ให้เก็บ $M_t$ ที่เป็น running maximum; หากใช้ราคาต่ำสุดก็เก็บ running minimum ข้อมูลนั้นอาจเปลี่ยน payoff แม้ S เท่ากัน

จำนวน state ไม่จำเป็นต้องเท่ากับจำนวนแหล่งสุ่มอิสระ เช่น I เพิ่มมิติให้ Asian แต่ไม่ได้เพิ่ม Brownian motion อีกตัว ส่วนสินทรัพย์หลายตัวอาจมี shocks ที่สัมพันธ์กัน PDE จึงอาจมี cross-derivative terms จำนวนมิติจริงยังลดได้หากโครงสร้างสัญญาหรือแบบจำลองมีความสัมพันธ์พิเศษ

ชื่อสัญญาบอกส่วนไหนของ payoff

ให้ $A_T$ เป็นค่าเฉลี่ยตามกติกาสัญญา และ $M_T,m_T$ เป็นราคาสูงสุดและต่ำสุดตามวันตรวจ

ในแถว Compound ให้ P เป็นมูลค่า Put ชั้นใน ณ T₁ ซึ่งมีราคาใช้สิทธิ K₂ และหมดอายุ T₂ ส่วน K₁ เป็นราคาใช้สิทธิของ Call ชั้นนอก

Barrier ยังแบ่งเป็น up/down ตามทิศที่ราคาเข้าหา barrier และ in/out ตามการเปิดหรือดับสิทธิ ส่วน rebate คือเงินชดเชยตามเงื่อนไข เช่น จ่ายทันทีที่แตะหรือจ่ายที่ T สองเวลานี้ให้มูลค่าปัจจุบันต่างกัน

Asian และ Lookback ยังเป็น first-order options ในการจัดกลุ่มของเอกสาร เพราะ payoff อ้างอิงราคาสินทรัพย์หรือประวัติราคาโดยตรง Compound เป็น second-order เพราะอ้างอิงมูลค่า Option อีกตัว คำว่า order ตรงนี้ไม่ใช่อันดับอนุพันธ์อย่าง Delta/Gamma และไม่ใช่ระดับความแม่นยำของ numerical scheme

ถ้า Compound ส่งมอบ Option จริง มูลค่า Option ที่จะรับเป็นส่วนหนึ่งของการตัดสินใจใช้สิทธิ จึงต้องตรวจว่าราคาหรือ convention ที่สัญญาอ้างอิงคืออะไร การใช้ราคาจากแบบจำลองชั้นในที่คลาดเคลื่อนจะส่งต่อไปยังราคาชั้นนอกด้วย

คิดราคาโดยจำลองเส้นทางภายใต้ Q

ใน Black–Scholes world ที่ไม่มีปันผล การคิดราคาใช้ dynamics ภายใต้ pricing measure Q

สูตรนี้ใช้กับ payoff ที่จ่ายครั้งเดียว ณ T โดยยังไม่มีการตัดสินใจ early exercise หากมีเงินจ่ายหลายวัน ต้องคิดลดแต่ละก้อนไปตามเวลาจ่ายแล้วหาค่าคาดหมายรวม การเอา drift ผลตอบแทนที่คาดจริง μ มาแทน r จะไม่ให้ราคา no-arbitrage จากสมมติฐานชุดนี้

ที่วัน fixing ห่างกัน $\Delta t$ เราจำลอง GBM ได้ตรงตามการแจกแจงที่จุดเวลาเหล่านั้น

แต่ละเส้นทางต้องอัปเดตผลรวมสำหรับ Asian และสถานะ barrier แล้วคำนวณ payoff ให้ตรงสัญญา ถ้า $Y_n=e^{-rT}\Phi_n$ เป็น discounted payoff ของเส้นทางอิสระที่ n เราประมาณราคาและ standard error ด้วย

ช่วงประมาณ 95% คือ $\widehat V\pm1.96\operatorname{SE}$ ภายใต้การประมาณแบบ large sample ช่วงนี้วัดความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มของ estimator ไม่ใช่ช่วง payoff ของผู้ถือ 95% และไม่รวม model error ถ้าจ่ายเงินเฉพาะเหตุการณ์ที่พบยาก จำนวนเส้นทางอาจยังไม่พอให้การประมาณ Normal น่าเชื่อถือ แม้ sample SE จะดูเล็ก

ในตัวทดลอง Asian เฉลี่ยที่ $t_j=jT/m$, j=1,…,m โดย ไม่รวม S₀ ส่วน barrier แบบ discrete ตรวจ S₀ และทุกวันในชุดเดียวกันถึง T ใช้เส้นทางชุดเดียวกับ vanilla เพื่อให้เปรียบเทียบสัญญาได้สะดวก ค่า σ เป็นรายปี r เป็นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องต่อปี และ T มีหน่วยปี

ลองเพิ่ม N โดยคงสัญญาเดิม แล้วเปรียบเทียบ MC vanilla กับราคา Black–Scholes จากนั้นเปลี่ยน m: คราวนี้เรากำลังเปลี่ยนทั้งจำนวน fixing ของ Asian และวันตรวจของ discrete barrier จึงอาจเปลี่ยนราคาเป้าหมายด้วย ไม่ใช่เพียงลด sampling error

ไม่เห็น barrier ที่ปลาย step ไม่ได้แปลว่าไม่เคยแตะ

สำหรับ up-and-out แบบ continuous สัญญาต้องอยู่ต่ำกว่า H ตลอดช่วง หากตรวจเพียง $S_{t_j}$ อาจพลาดการขึ้นไปแตะแล้วกลับลงมาระหว่างสองวัน ผลคือเราปล่อยให้บางเส้นทางรอดทั้งที่ควรดับสิทธิ และประเมินราคา zero-rebate knock-out สูงเกินราคา continuous

ใช้เส้นทางสมมติเดียวกันกับชุดวันตรวจที่ซ้อนกัน การเพิ่มวันตรวจอาจพบการแตะที่ชุดเดิมพลาด ภาพนี้อธิบายการตรวจจุดราคา ไม่ใช่หลักฐานว่า grid ละเอียดเท่ากับการสังเกตต่อเนื่อง

สำหรับ GBM ที่ σ คงที่และ upper barrier คงที่ เราใช้ Brownian bridge หาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขว่าราคาแตะ H ภายใน step เมื่อรู้ปลายทั้งสองและทั้งคู่ต่ำกว่า H

ถ้าปลายใดแตะหรือเกิน H ให้ survival probability ของช่วงนั้นเป็นศูนย์ ถ้าทุกปลายยังต่ำกว่า H น้ำหนักการรอดตลอดเส้นทางเมื่อกำหนดจุดราคาที่จำลองแล้วคือ

สูตรโอกาสแตะและการคูณ survival probabilities อธิบายเพิ่มเติมใน Mike Giles, IMACS 2013, สไลด์ 10 เมื่อนำมาใช้กับ log S ของ constant-parameter GBM จะได้สูตรข้างต้น

ตัวทดลองใช้ conditional weighting นี้ จึงไม่ได้สุ่มสถานะ hit เพิ่มอีกครั้ง และ w ไม่ใช่จำนวนครั้งที่แตะ สำหรับ σ=0 ใช้เส้นทาง deterministic แทนสูตรที่หารด้วยศูนย์ วิธีนี้ให้ estimator สำหรับ continuous barrier ภายใต้สมมติฐานเฉพาะดังกล่าว การเปลี่ยนเป็น stochastic volatility, jumps หรือ moving barrier ต้องทบทวนวิธีคำนวณใหม่

สัญญา in และ out ที่ใช้ payoff, barrier, วันตรวจ, วันจ่ายเหมือนกัน และ ไม่มี rebate รวมกันได้ vanilla ทุกเส้นทาง

การใช้เส้นทางเดียวกันจึงตรวจ parity ของค่าเฉลี่ยได้ถึงความแม่นยำเชิงตัวเลข สำหรับ continuous weighting ใช้ 1−w ให้ knock-in ส่วน SE ของ in กับ out ไม่ได้บวกกันเป็น SE ของ vanilla เพราะ estimates เหล่านี้สัมพันธ์กัน

เมื่อชุดตรวจ discrete ซ้อนกัน การเพิ่มวันตรวจทำให้ payoff ของ zero-rebate out บนเส้นทางเดิมไม่เพิ่มขึ้น แต่ถ้าสุ่มเส้นทางชุดใหม่แล้วเทียบเพียงค่าเฉลี่ย ลำดับค่าที่เห็นอาจแกว่งจาก sampling error ได้

Barrier เปลี่ยนเงื่อนไขขอบของ PDE

สำหรับ up-and-out Call แบบ continuous, K<H, ไม่มี rebate และหุ้นไม่มีปันผล ก่อนแตะ barrier มูลค่าบน $0<S<H$ ยังเป็นไปตาม Black–Scholes PDE

สิ่งที่เปลี่ยนคือโดเมนและเงื่อนไข

เราทราบ payoff ที่ T แล้วแก้ย้อนหลังไปหา t=0 เมื่อ S แตะ H ก่อน T สัญญามีมูลค่าเป็นศูนย์ทันที ที่มุม $(H,T)$ ให้กติกา barrier มาก่อน payoff: หากแตะ ณ T ก็ knock-out ความไม่ต่อเนื่องใกล้มุมนี้ต้องได้รับการดูแลใน numerical scheme

สำหรับ discrete monitoring อย่าบังคับ $V(H,t)=0$ ตลอดเวลา เพราะระหว่างวันตรวจราคาอาจเกิน H แล้วกลับมาได้ ต้องแก้ PDE ระหว่างวันตรวจบนโดเมนราคาที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขดับสิทธิเฉพาะวันที่สัญญาตรวจ

หากมี rebate จ่ายทันทีเมื่อแตะ ขอบจะเป็นจำนวน rebate ณ ขณะนั้น หากจ่ายที่ T ขอบต้องเป็นมูลค่าคิดลดของเงินที่จะได้รับที่ T ภายใต้สมมติฐานดอกเบี้ยที่ใช้ การระบุเพียง “rebate 5” จึงยังตั้ง boundary condition ไม่ครบ

เพิ่มความทรงจำให้ Black–Scholes

สมมติข้อมูลจากอดีตที่จำเป็นเขียนได้เป็น

I เป็นตัวแปรสุ่มเพราะขึ้นกับเส้นทาง S แต่เมื่อเปลี่ยนในเวลาสั้น ๆ มันเป็นกระบวนการ finite variation ไม่มีเทอม dW เพิ่มโดยตรง จึงมี quadratic variations $(dI)^2=0$ และ $dS\,dI=0$ ใน Itô calculus

ให้ราคาเป็น $V(S,I,t)$ และเริ่มจาก physical dynamics $dS=\mu Sdt+\sigma SdW$ จะได้

ใช้ self-financing hedge โดยถือ Option หนึ่งหน่วย ขายหุ้น $\Delta=V_S$ หน่วย และมีบัญชีเงินสดรองรับการปรับ hedge ตลอดเวลา ส่วนความสุ่มจากหุ้นถูกหักล้าง No-arbitrage ทำให้ได้

พร้อม terminal condition $V(S,I,T)=\Phi(S,I)$ และเงื่อนไขขอบที่เหมาะสมกับสัญญา เราไม่ใช้ $d(V-\Delta S)=dV-\Delta dS$ โดยละเงินที่ใช้ปรับ Δ; สมการ hedge ต้องตีความผ่านกลยุทธ์ที่ self-financing

เทอมใหม่ $fV_I$ เป็นการเคลื่อน state ตามทิศ I ไม่มี $V_{II}$ หรือ $V_{SI}$ ในกรณีนี้ แม้ปัญหาจะมี state เพิ่มขึ้นก็ไม่ได้หมายความว่าต้องเพิ่ม diffusion ทุกแกน สมการนี้ยังอาศัยการซื้อขายต่อเนื่อง การถือเศษหุ้น การ short/กู้ยืมได้ และสมมติฐานความสมบูรณ์ของ Black–Scholes market

Arithmetic Asian: เก็บอินทิกรัลแทนทั้งเส้นทาง

สำหรับราคาเฉลี่ยต่อเนื่อง ใช้

I มีหน่วย ราคา × ปี ส่วน A มีหน่วยราคา ดังนั้น $f(S,t)=S$ และ PDE คือ

ตัว PDE เดียวกันใช้กับ fixed-strike และ floating-strike ได้ แต่เงื่อนไขที่ T ต่างกัน

ถ้าใช้ค่าเฉลี่ยถึงปัจจุบัน $A_t=I_t/t$ แทน I จะมี $dA_t=(S_t-A_t)dt/t$ สำหรับ t>0 จึงต้องระวังจุดเริ่ม t=0 การใช้ I ช่วยหลีกเลี่ยงตัวหาร t ใน state equation

Geometric average กับ arithmetic average เป็นคนละสัญญา สำหรับราคาเป็นบวกใน fixing ชุดเดียวกันและน้ำหนักเท่ากัน มี $G\le A$ ทำให้ $(G-K)^+\le(A-K)^+$ ทุกเส้นทาง ดังนั้นราคา geometric fixed-strike Call ไม่เกิน arithmetic fixed-strike Call ภายใต้ measure และการคิดลดชุดเดียวกัน แต่ไม่ได้สรุปว่า Asian Call ทุกแบบต้องถูกกว่า vanilla Call บนทุกเส้นทาง ตัวอย่าง A ในต้นบทก็ให้ Asian payoff 12.5 มากกว่า vanilla 10

ลดมิติเมื่อโครงสร้าง payoff เอื้อให้

สำหรับ continuously sampled floating-strike arithmetic Asian Call ถ้าคูณ S และ I ด้วยค่าบวกเดียวกัน payoff จะคูณตาม ให้ลองเขียน

R มีหน่วย 1/ปี อนุพันธ์ที่ต้องแทนใน PDE ได้แก่

แทนค่าและหารด้วย I จะเหลือ

จากแกน S,I,t เหลือ R,t การลดมิตินี้เป็นผลจาก payoff และสมมติฐานเฉพาะ ไม่ใช่กฎสำหรับ Asian ทุกแบบ Fixed strike K ที่คงเดิมไม่หายไปด้วยการแทนตัวแปรชุดนี้ และเมื่อเริ่มสัญญา $I_0=0$ ค่า R ยังไม่มีนิยาม ต้องจัดการลิมิตหรือใช้ formulation ที่ไม่ singular ไม่ควรแทนศูนย์ลงสูตรโดยตรง

วัน fixing ใช้กฎอัปเดตแทนอินทิกรัล

สำหรับ Asian ที่เฉลี่ย M วัน ให้ $I_i=\sum_{k=1}^iS(t_k)$ เป็นผลรวมหลัง fixing ครั้งที่ i และ $A_i=I_i/i$ จะได้

เริ่มที่ I₀=0 และ A₁=S(t₁) สำหรับ Lookback ที่เก็บ maximum หลัง fixing ใช้ $M_i=\max(M_{i-1},S(t_i))$ โดยต้องตั้งค่าเริ่มให้ตรงว่ารวม S₀ หรือเริ่มสังเกตที่ t₁

เขียนรวมเป็นกฎ $I_i=F(S,I_{i-1},i)$ ระหว่าง fixing I คงที่ PDE จึงไม่มีเทอม $fV_I$ แบบ continuous sampling แต่เมื่อถอยเวลาผ่านวัน fixing ต้องจับคู่ state ก่อนกับหลังให้ถูก

ในสมการนี้ I ด้านซ้ายคือ ค่าก่อนอัปเดต ส่วนค่าที่ส่งเข้าด้านขวาคือ state ใหม่แล้ว ไม่ใช่การตั้ง $V(S,I,t_i^-)=V(S,I,t_i^+)$ ด้วยเลข I เดิมทั้งสองด้าน ถ้ามีเงินจ่าย $C_i(S,I)$ ในเหตุการณ์เดียวกันและกำหนด C จาก state ก่อนอัปเดต ให้บวก Cᵢ ทางขวา; ถ้ากติกาจ่ายใช้ state หลังอัปเดตต้องประเมิน C ที่ state นั้นแทน

ตัวอย่างก่อน fixing ครั้งที่ 3 มี I=220 และ S=120 หลัง fixing มี I=340 ถ้าเป็น fixing สุดท้ายของ fixed-strike Call ที่ K=100 payoff จะเป็น $(340/3-100)^+=13.3333$ มูลค่าก่อน fixing จึงต้องเชื่อมไปยัง payoff นี้ ไม่ใช่นำ I=220 ไปหารสามแล้วได้ศูนย์

การอัปเดต state ไม่ใช่การจ่ายเงินสด หากไม่มี cashflow และไม่มีข่าวกระโดดเข้ามา มูลค่าบน state ที่จับคู่กันไม่กระโดดเพียงเพราะเราเปลี่ยนวิธีบันทึกความทรงจำ กฎเชื่อมมูลค่านี้เป็นคำอธิบายที่ต่อยอดจาก updating rules ในต้นฉบับ

เลือก Monte Carlo หรือ PDE จากโครงสร้างปัญหา

Finite differences แทนอนุพันธ์ด้วยค่าบน grid แล้วถอยเวลาจาก terminal condition ต้องตรวจเสถียรภาพและ convergence พร้อมจัดวัน fixing ให้ตรงกับ time grid ส่วน Monte Carlo ทั่วไปเฉลี่ย payoff ที่รู้จากเส้นทางได้สะดวก แต่การใช้ early exercise ต้องมีวิธีประเมิน continuation value เพิ่ม เช่น regression-based Monte Carlo การเลือกเวลาที่ให้ payoff สูงสุดหลังเห็นทั้งเส้นทางเป็นการใช้ข้อมูลอนาคต และจะทำให้ราคา exercise policy ผิดไป

ความคลาดเคลื่อนสามชนิดควรแยกกัน: sampling error จากจำนวนเส้นทางจำกัด; numerical/monitoring error จากการประมาณเวลา grid หรือการใช้วิธีที่ไม่ตรงกติกาสัญญา; และ model error จาก dynamics ที่ไม่ตรงตลาด เพิ่ม N ลดได้เฉพาะส่วนแรก การใช้ exact GBM ที่วัน fixing ก็ไม่ได้ทำให้ค่าเฉลี่ยแบบ continuous หรือ barrier ต่อเนื่องถูกต้องโดยอัตโนมัติ

จากบท Empirical Stylized Facts เรารู้ว่า volatility คงที่เป็นสมมติฐานที่ต้องตรวจ การใส่ implied volatility ของ vanilla หนึ่งค่าลงในสูตร exotic ยังไม่รับรองว่าการแจกแจงของค่าเฉลี่ย maximum หรือโอกาสแตะ barrier จะสอดคล้องกับตลาด เพราะ payoff เหล่านี้พึ่งพา dynamics ระหว่างทางด้วย

ลองอธิบายผลก่อนกดคำนวณ

1. ใช้เส้นทาง B และเพิ่ม H จาก 130 เป็น 145 โดยคง K=100 จะเกิดอะไรกับ vanilla, Asian และ up-and-out payoff?
2. ถ้า up-and-in กับ up-and-out ใช้วันตรวจคนละชุด ยังตรวจ in–out parity กับ vanilla ได้หรือไม่?
3. ถ้าเพิ่มจำนวนเส้นทางจาก 12,000 เป็น 48,000 ภายใต้เงื่อนไขเดิม SE ควรเปลี่ยนโดยประมาณเท่าไร?
4. ถ้า Asian ใช้ fixing 12 วันแทน 4 วัน การเปลี่ยนราคาทั้งหมดถือเป็น numerical error ได้หรือไม่?
5. ใน $dI=Sdt$ เหตุใด I จึงยังสุ่มได้ทั้งที่ไม่มี dW ในสมการของ I?

ดาวน์โหลด Python Notebook เพื่อรันตัวอย่าง ราคา MC และการตรวจ parity ด้วย seed ที่ระบุ โค้ดใช้ Python standard library และมีภาพฝังไว้ในไฟล์

แหล่งที่มาและขอบเขต

เอกสารหลักคือ Exotic Options ในไฟล์ JA253.5 Notes.pdf ที่ผู้ใช้ให้มา 59 หน้า ใช้เป็นเส้นเรื่องในการเรียบเรียง ไม่เผยแพร่ PDF หรือภาพหน้าสไลด์ในเว็บไซต์

อ่านเพิ่มเติมเรื่องผลของวันตรวจใน Broadie, Glasserman และ Kou (1997), A Continuity Correction for Discrete Barrier Options และแนวทาง PDE ใน Kumar, Waikos และ Chakrabarty (2011), Pricing of average strike Asian call option

ตัวอย่างสองเส้นทาง กราฟ ห้องทดลอง MC ช่วงความเชื่อมั่น Brownian-bridge weighting การตรวจ parity และกฎเชื่อมมูลค่าในวัน fixing เป็นคำอธิบายและการคำนวณที่เพิ่มขึ้น บทนี้ไม่ได้ยืนยันคำกล่าวกว้างในต้นฉบับว่า exotic ทุกชนิดต้องซื้อขาย OTC หรือสัญญาทุกแบบห้ามกำหนด continuous monitoring เราระบุกติกาของตัวอย่างแต่ละชุดโดยตรง

ห้องทดลองจำกัดที่ European payoffs ไม่มี rebate และไม่มี early exercise ภายใต้ constant-parameter GBM; ส่วน PDE แสดงการตั้งปัญหาและลดมิติ ไม่ได้แนบ finite-difference solver หรือแบบจำลองสำหรับราคาซื้อขายจริง รายละเอียด inputs, conventions และวิธีสร้างภาพอยู่ใน บันทึกแหล่งที่มา