อภิธานศัพท์
หน้านี้รวมศัพท์ที่เราใช้ในบทเรียน พฤติกรรมแบบสุ่มของสินทรัพย์, Binomial Model, Transition Density Functions, Applied Stochastic Calculus, Black–Scholes Model, Portfolio Theory, Optimization Problem, Black–Litterman Portfolio, Value at Risk and Expected Shortfall และ Asset Returns — Empirical Stylized Facts เอาไว้เปิดเทียบระหว่างอ่าน แต่ละคำมีลิงก์กลับไปดูตัวอย่างและการทดลองที่เกี่ยวข้อง
แนวทางการวิเคราะห์
Quantitative finance — การเงินเชิงปริมาณ
การใช้คณิตศาสตร์ สถิติ และข้อมูลเพื่อศึกษาโจทย์ทางการเงิน เช่น ประเมินราคาสัญญา อธิบายความเสี่ยง หรือจัดพอร์ต ในบทนี้เราเริ่มจากคำถามว่า เมื่อราคาในอนาคตไม่แน่นอน เราจะสร้างแบบจำลองและประเมินมูลค่าของ Option ได้อย่างไร
Fundamental analysis — การวิเคราะห์ปัจจัยพื้นฐาน
การศึกษาธุรกิจและปัจจัยที่กำหนดมูลค่า เช่น รายได้ ต้นทุน หนี้ และความสามารถในการแข่งขัน เพื่อประเมินว่ากิจการควรมีมูลค่าเท่าไร มูลค่าที่ประเมินได้ขึ้นกับสมมติฐาน และไม่ได้บอกโดยตัวมันเองว่าราคาตลาดจะปรับเข้าหามูลค่านั้นเมื่อไร
Technical analysis — การวิเคราะห์ทางเทคนิค
การวิเคราะห์ข้อมูลที่เกิดขึ้นในตลาด เช่น ราคา ปริมาณซื้อขาย แนวโน้ม และรูปแบบการเคลื่อนไหว เพื่อนำมาประกอบการตัดสินใจ หากจะใช้รูปแบบใดคาดการณ์ราคา เราต้องกำหนดกติกาให้ชัดและทดสอบกับข้อมูลที่เหมาะสมด้วย
Quantitative analysis — การวิเคราะห์เชิงปริมาณ
การเปลี่ยนคำถามให้วัดและตรวจสอบได้ แล้วใช้ข้อมูลและแบบจำลองหาคำตอบ เช่น พอร์ตมีโอกาสขาดทุนเท่าไร หรือราคา Option ควรเปลี่ยนอย่างไรเมื่อความผันผวนเพิ่มขึ้น คำตอบจึงต้องอ่านคู่กับสมมติฐานของแบบจำลองเสมอ
Option และเงินที่สัญญาจ่าย
Option — ออปชัน
สัญญาที่ให้ผู้ถือมี สิทธิ แต่ไม่มีข้อผูกมัดว่าต้องใช้สิทธิ ในการซื้อหรือขายสินทรัพย์ตามราคาและเงื่อนไขที่ตกลงกัน ผู้ซื้อจ่าย premium เพื่อได้สิทธินี้ ส่วนผู้ขายมีหน้าที่ทำตามสัญญาเมื่อมีการใช้สิทธิ
Call option — สิทธิซื้อ
Option ที่ให้สิทธิซื้อสินทรัพย์ตามราคาใช้สิทธิ K ส่วน payoff เมื่อถึงวันหมดอายุต่อหนึ่งหน่วยของ Call เท่ากับ max(S_T − K, 0) เช่น หุ้นราคา 160 บาทและ K = 120 บาท สิทธินี้มี payoff 40 บาท
Put option — สิทธิขาย
Option ที่ให้สิทธิขายสินทรัพย์ตามราคาใช้สิทธิ K ส่วน payoff เมื่อถึงวันหมดอายุต่อหนึ่งหน่วยของ Put เท่ากับ max(K − S_T, 0) เช่น มีสิทธิขายที่ 120 บาทในวันที่หุ้นเหลือ 90 บาท สิทธินี้มี payoff 30 บาท
European option — ออปชันที่ใช้สิทธิได้เมื่อหมดอายุ
Option ที่กำหนดให้ใช้สิทธิได้เฉพาะวันหมดอายุ ชื่อ European บอกเงื่อนไขการใช้สิทธิของสัญญา ไม่ได้หมายถึงประเทศที่ซื้อขาย ตัวอย่าง Call ในบทนี้ใช้เงื่อนไขแบบนี้
Strike price — ราคาใช้สิทธิ
ราคาที่ตกลงไว้ในสัญญาสำหรับซื้อหรือขายสินทรัพย์เมื่อใช้สิทธิ มักเขียนแทนด้วย K ตัวอย่างสิทธิซื้อหุ้นที่ 120 บาทมี K = 120 บาท ซึ่งเป็นคนละจำนวนกับ premium ที่จ่ายเพื่อซื้อ Option
Expiration / maturity — วันหมดอายุ
วันที่สัญญาสิ้นสุดตามเงื่อนไข มักใช้ T แทนเวลานี้ และ S_T แทนราคาสินทรัพย์ ณ วันนั้น ในตัวอย่างหนึ่งวัน เราประเมินราคา Call วันนี้จากสิ่งที่สัญญาจะจ่ายเมื่อหมดอายุพรุ่งนี้
Payoff — ผลลัพธ์ของสัญญา ณ วันสิ้นสุด
มูลค่าที่สัญญาให้ตามผลลัพธ์ ณ วันสิ้นสุด ยังไม่ใช่กำไรสุทธิและไม่ใช่ราคา Option วันนี้ เช่น Call มี payoff 40 บาท แต่ซื้อมา 8 บาท กำไรก่อนค่าธรรมเนียมและก่อนคิดมูลค่าเงินตามเวลาคือ 32 บาท
ความน่าจะเป็นกับการกำหนดราคา
Random variable — ตัวแปรสุ่ม
ปริมาณที่ค่าของมันขึ้นกับผลลัพธ์ที่ยังไม่แน่นอน เช่น ราคาหุ้นพรุ่งนี้หรือผลตอบแทนหนึ่งวัน เราบอกค่าที่จะเกิดขึ้นจริงล่วงหน้าไม่ได้แน่ ๆ แต่สามารถกำหนดหรือประมาณการแจกแจงความน่าจะเป็นของมันได้
Expected value — ค่าคาดหมาย
ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น เช่น ราคา 150 ด้วยโอกาส 0.6 และราคา 50 ด้วยโอกาส 0.4 มีค่าคาดหมาย 110 จำนวนนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้จริง และต้องระบุด้วยว่าใช้ความน่าจะเป็นแบบ p หรือ q
Jensen’s inequality — อสมการของเจนเซน
สำหรับฟังก์ชันนูน f เมื่อค่าคาดหมายที่ใช้มีอยู่ จะได้ f(E[X]) ≤ E[f(X)] การแทนราคาเฉลี่ยลงในสูตร payoff จึงอาจให้ค่าน้อยกว่าการคำนวณ payoff ทีละกรณีแล้วค่อยเฉลี่ย: ตัวอย่างในบทให้ 10 เทียบกับ 30 ดอลลาร์
Hedging — การป้องกันความเสี่ยง
การประกอบสถานะให้ความเสี่ยงของรายการหนึ่งหักล้างกับอีกรายการหนึ่ง ในตัวอย่าง Call หนึ่งหน่วยกับการชอร์ตหุ้นครึ่งหุ้นให้ภาระสุทธิ −49.5 เท่ากันทั้งสองกิ่ง ผลลัพธ์ที่แน่นอนนี้อาศัยสมมติฐานของแบบจำลอง ไม่ได้หมายความว่าการ hedge ทุกแบบขจัดความเสี่ยงได้ทั้งหมด
Delta / hedge ratio — สัดส่วนหุ้นที่ใช้ป้องกันความเสี่ยง
ในแบบจำลองสองกิ่งของบทนี้ คำนวณได้จาก ส่วนต่าง payoff ÷ ส่วนต่างราคาหุ้น จึงได้ (1 − 0) ÷ (101 − 99) = 0.5 และชอร์ตหุ้นครึ่งหุ้นเพื่อ hedge Call ที่ถืออยู่หนึ่งหน่วย โดยทั่วไป Delta ใช้อธิบายความไวของราคา Option ต่อราคาสินทรัพย์อ้างอิง ค่านี้เปลี่ยนได้และไม่ได้เท่ากับ 0.5 เสมอไป
Short selling — การขายชอร์ต
การยืมสินทรัพย์มาขายก่อน โดยมีภาระต้องซื้อกลับไปคืนภายหลัง เงินที่รับจากการขายวันนี้จึงไม่ใช่กำไรทั้งหมด ในพอร์ตตัวอย่าง การชอร์ตครึ่งหุ้นที่ราคา 100 รับเงิน 50 แต่ยังต้องนับภาระซื้อหุ้นคืนในวันพรุ่งนี้
Replicating portfolio — พอร์ตเลียนแบบ
พอร์ตที่ให้ผลลัพธ์เหมือนสัญญาเป้าหมายในทุกกรณีที่แบบจำลองกำหนด เช่น ซื้อหุ้นครึ่งหุ้นแล้วกู้ 49.5 ที่ดอกเบี้ย 0% พรุ่งนี้จะเหลือ 1 ถ้าหุ้นเป็น 101 หรือ 0 ถ้าเป็น 99 เหมือน Call ในตัวอย่าง ต้นทุนพอร์ต 50 − 49.5 = 0.5 จึงใช้หาราคา Call แบบ no arbitrage ได้
Arbitrage — โอกาสทำกำไรจากความไม่สอดคล้องของราคา
การจัดรายการซื้อขายที่สร้างกำไรโดยไม่ต้องรับความเสี่ยงขาดทุนหรือใช้เงินลงทุนสุทธิ ตามสมมติฐานการซื้อขายที่กำหนด ตัวอย่างในบทคือเมื่อ Call ขาย 0.6 แต่พอร์ตเลียนแบบมีต้นทุน 0.5 เราสามารถรับส่วนต่าง 0.1 วันนี้และปิดภาระวันพรุ่งนี้ได้ครบทั้งสองกรณี
No arbitrage — หลักการไม่มีโอกาสอาร์บิทราจ
เงื่อนไขว่าราคาต้องไม่เปิดโอกาสให้จัดพอร์ตทำ arbitrage ได้ หากสองพอร์ตให้กระแสเงินสดเหมือนกันทุกกรณี และซื้อขายกลับด้านได้ตามสมมติฐาน ทั้งสองพอร์ตต้องมีราคาเท่ากันวันนี้ หลักนี้เป็นเหตุผลที่บังคับให้ Call ในตัวอย่างมีราคา 0.5
Physical probability (p) — ความน่าจะเป็นในโลกจริง
ความน่าจะเป็นที่ใช้อธิบายว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นบ่อยเพียงใดในโลกจริง ในบทนี้เรา สมมติ โอกาสขึ้น p = 0.6 และโอกาสลง 0.4 จึงได้ payoff คาดหมายของ Call หนึ่งวันเป็น 0.6 จำนวนนี้ยังไม่ใช่ราคาที่สอดคล้องกับพอร์ตเลียนแบบ
Risk-neutral probability (q) — ความน่าจะเป็นสำหรับกำหนดราคา
น้ำหนักความน่าจะเป็น q ที่ทำให้ผลตอบแทนคาดหมายของหุ้นที่ไม่มีเงินปันผลในแบบจำลองสอดคล้องกับอัตราปลอดความเสี่ยง จากนั้นใช้เฉลี่ย payoff และคิดลดเพื่อหาราคา สำหรับหุ้น 100 → 101/99 ที่ดอกเบี้ย 0% เราได้ q = 0.5 ค่านี้ไม่ได้บอกว่าโอกาสขึ้นจริงเปลี่ยนเป็น 50% หรือว่าผู้ลงทุนทุกคนไม่กลัวความเสี่ยง
Risk aversion — การไม่ชอบความเสี่ยง
ความชอบที่จะรับเงินแน่นอนมากกว่าเงินสุ่มที่มีค่าคาดหมายเท่ากัน เช่น ชอบเงินแน่นอน 100.2 มากกว่าผลลัพธ์ 101/99 ที่มีค่าเฉลี่ย 100.2 เท่ากัน นี่เป็นเรื่องความชอบของผู้ลงทุน ส่วน risk-neutral pricing เป็นวิธีกำหนดราคาในแบบจำลอง ทั้งสองเรื่องจึงไม่ขัดกัน
Risk-free rate — อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง
อัตราผลตอบแทนของเงินที่ไม่มีความไม่แน่นอนในช่วงเวลาที่แบบจำลองกำหนด ตัวอย่างหนึ่งวันใช้ r_d เป็นอัตรา ตลอดหนึ่งวัน เช่น r_d = 0.0001 หมายถึง 0.01% ต่อวัน จึงต้องอ่านหน่วยเวลาให้ตรงก่อนนำไปคำนวณ
Discounting — การคิดลด
การแปลงเงินในอนาคตให้เป็นมูลค่าวันนี้ เช่น ภาระ 49.5 ที่ต้องจ่ายพรุ่งนี้มีมูลค่าปัจจุบัน 49.5 ÷ (1 + r_d) ในตัวอย่างหนึ่งวัน หาก r_d = 0 เงินจำนวนเท่ากันวันนี้และพรุ่งนี้มีมูลค่าเท่ากันในแบบจำลอง
ต้นไม้ราคาและการปรับพอร์ต
Binomial Model — แบบจำลองทวินาม
แบบจำลองเวลาที่แบ่งเป็น step โดยราคาหุ้น ณ แต่ละจุดไปต่อได้สองค่า เช่น คูณด้วย u หรือ d การกำหนดราคา Option ใช้พอร์ตหุ้นร่วมกับเงินฝากหรือเงินกู้ที่เลียนแบบมูลค่าสัญญาในสองกิ่งได้ ภายใต้สมมติฐาน no arbitrage
Recombining tree — ต้นไม้ที่กิ่งกลับมารวมกัน
ต้นไม้ที่เส้นทางต่างกันมาถึงสถานะเดียวกันได้ เช่น ขึ้นแล้วลงกับลงแล้วขึ้นให้ราคา S₀ud เท่ากัน เมื่อใช้ตัวคูณ u และ d คงที่ จึงมีราคาปลายทาง N + 1 จุดหลัง N step การรวมกิ่งไม่จำเป็นต้องมี ud = 1
Backward induction — การคำนวณย้อนกลับ
เริ่มจากมูลค่าที่รู้ ณ ปลายทาง แล้วใช้ค่านั้นหามูลค่าใน step ก่อนหน้า ทำซ้ำจนถึงวันนี้ สำหรับ European Option เริ่มจาก payoff วันหมดอายุ ใช้น้ำหนัก q และ 1 − q แล้วคิดลดทีละ step
Dynamic hedging — การปรับพอร์ตป้องกันความเสี่ยงตามเวลา
การเปลี่ยนสัดส่วนสินทรัพย์เมื่อเวลาและราคาหุ้นเปลี่ยนไป เช่น ในต้นไม้ Binomial ต้องคำนวณ Delta ใหม่ ณ แต่ละจุดเพื่อเลียนแบบมูลค่า Option ใน step ถัดไป สัดส่วนเดิมที่เลียนแบบได้หนึ่ง step ไม่จำเป็นต้องใช้ได้จนหมดอายุ
Self-financing strategy — กลยุทธ์ที่ปรับพอร์ตด้วยเงินภายในพอร์ต
หลังตั้งพอร์ตเริ่มต้น การซื้อสินทรัพย์เพิ่มใช้เงินจากการขายสินทรัพย์อื่นหรือการกู้ภายในพอร์ต โดยไม่มีการเติมหรือถอนเงินจากภายนอก ไม่ได้แปลว่าไม่ใช้เงินเริ่มต้นหรือไม่กู้เงิน
Black–Scholes และความไวของราคา
Black–Scholes PDE — สมการราคาของแบล็ก–โชลส์
สมการ Vₜ + ½σ²S²V_SS + rSV_S − rV = 0 สำหรับอนุพันธ์บนหุ้นไม่มีปันผลภายใต้สมมติฐาน Black–Scholes มาจากพอร์ตหุ้นและเงินสดที่เป็น self-financing และเลียนแบบสัญญาได้ ต้องมีเงื่อนไข payoff และขอบเขตเพื่อระบุคำตอบ
Risk-neutral measure — มาตรวัดความน่าจะเป็นสำหรับตั้งราคา
เขียนเป็น ℚ ภายใต้มาตรวัดนี้ราคาสินทรัพย์รวมผลตอบแทนที่ discount อย่างเหมาะสมเป็น martingale ในแบบจำลองมาตรฐาน หุ้นไม่มีปันผลมี drift r และราคา European เป็น e⁻ʳτEᑫ[payoff | ข้อมูลปัจจุบัน] ไม่ใช่การอ้างว่าผลตอบแทนคาดหมายจริงต้องเท่ากับ r
Put–call parity — ความสัมพันธ์ระหว่างราคา Call กับ Put
European Call และ Put ที่มี strike และวันหมดอายุเดียวกัน บนหุ้นไม่มีปันผล ให้ C − P = S − Ke⁻ʳτ เมื่อ r ทบต้นต่อเนื่อง เพราะทั้งสองด้านเลียนแบบ payoff S_T − K เดียวกัน ความสัมพันธ์นี้ช่วยตรวจความสอดคล้องของราคา
Digital / Cash-or-nothing option — ออปชันที่จ่ายเงินตามเงื่อนไข
Cash-or-nothing Call จ่ายเงินคงที่ A เมื่อราคาปลายทางเกิน K และจ่ายศูนย์กรณีอื่น สำหรับหุ้นไม่มีปันผลภายใต้ Black–Scholes มีราคา Ae⁻ʳτΦ(d₂) โดย Φ(d₂) เป็นโอกาสของเหตุการณ์นั้นภายใต้ ℚ ต้องกำหนดกรณีราคาเท่ากับ K ตามสัญญา
Gamma — ความไวของ Delta ต่อราคาหุ้น
Γ = ∂²V/∂S² บอกว่า Delta เปลี่ยนเร็วเพียงใดเมื่อราคาหุ้นเปลี่ยน โดยตรึงเวลาและพารามิเตอร์อื่น หุ้นมี Gamma ศูนย์ จึงใช้หุ้นอย่างเดียวหักล้าง Gamma ของ Option ไม่ได้ การเป็น Delta-neutral ยังไม่ใช่ Gamma-neutral
Theta — ความไวของราคาต่อเวลาปัจจุบัน
Θ = ∂V/∂t โดยตรึงวันหมดอายุ T จึงเท่ากับ −∂V/∂τ เมื่อ τ = T − t ถ้าเวลาในสูตรเป็นปี ค่า Theta เป็นต่อปี การรายงานต่อวันต้องระบุ day count และไม่ใช่ผลกำไรหรือขาดทุนที่รับประกันเมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งวัน
Vega — ความไวของราคาต่อ volatility
ν = ∂V/∂σ เป็นความไวต่อพารามิเตอร์ volatility โดยตรึงค่าอื่น สูตรที่ใช้ σ เป็นทศนิยมให้อนุพันธ์ต่อการเปลี่ยน σ เท่ากับ 1.00 ถ้ารายงานต่อ 1 percentage point เช่น 20% → 21% ต้องหารค่าจากสูตรด้วย 100
Rho — ความไวของราคาต่อดอกเบี้ย
ρᵣ = ∂V/∂r โดยตรึงค่าอื่น สำหรับ European vanilla บนหุ้นไม่มีปันผล Call มี Rho บวกและ Put มี Rho ลบ ก่อนหมดอายุเมื่อ σ > 0 ค่าอนุพันธ์ต่อ r ที่เป็นทศนิยมต้องหาร 100 เพื่อรายงานต่อดอกเบี้ย 1 percentage point
American option — ออปชันที่ใช้สิทธิได้ก่อนหมดอายุ
สัญญาที่ใช้สิทธิได้ตลอดช่วงเวลาที่กำหนดจนถึงวันหมดอายุ จึงมีมูลค่าอย่างน้อยเท่ากับ European ที่มีเงื่อนไขอื่นเหมือนกัน ต้องเปรียบเทียบ payoff จากการใช้สิทธิทันทีกับมูลค่าของการถือต่อ ส่วน Bermudan ใช้สิทธิได้เฉพาะวันที่กำหนด
Exercise boundary — ขอบเขตการใช้สิทธิ
เส้นแบ่งสถานะที่เหมาะจะใช้สิทธิทันทีออกจากสถานะที่ควรถือต่อในโจทย์ American option เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบที่ต้องหา สำหรับ vanilla diffusion ที่มีขอบเขตเรียบ มูลค่าและความชันของ Option จะต่อกับ payoff ตามเงื่อนไข value matching และ smooth pasting
Implied volatility — ความผันผวนโดยนัยจากราคา Option
ค่า σ ที่ทำให้ราคาในแบบจำลองตรงกับราคา Option ที่สังเกต เมื่อกำหนด S,K,r,τ และสมมติฐานอื่นแล้ว เป็นการแก้สูตรย้อนกลับ ไม่ใช่ความผันผวนอนาคตที่รับประกัน หากได้ค่าต่างกันตาม strike หรือ maturity จะใช้ σ คงที่ค่าเดียวอธิบายราคาทั้งชุดไม่ได้
Martingale และการเปลี่ยนมาตรวัด
Filtration — ลำดับข้อมูลที่มีตามเวลา
เขียนเป็น ℱₜ คือข้อมูลที่ทราบถึงเวลา t โดยข้อมูลสะสมเพิ่มได้เมื่อเวลาผ่านไป กลยุทธ์ซื้อขายต้องอาศัยข้อมูลที่มีอยู่ขณะตัดสินใจ ไม่ใช้อนาคตที่ยังไม่เกิด
Martingale — กระบวนการที่ค่าเฉลี่ยอนาคตเมื่อรู้ปัจจุบันเท่ากับค่าปัจจุบัน
กระบวนการที่ปรับตามข้อมูลปัจจุบัน มีค่าคาดหมายสัมบูรณ์จำกัด และ Eᴽ[Mᵤ | ℱₜ] = Mₜ เมื่อ u ≥ t ต้องระบุทั้งมาตรวัดและข้อมูลที่ใช้ เส้นทางยังผันผวนได้ สำหรับหุ้นไม่มีปันผลใน Black–Scholes ราคา S/B เป็น martingale ภายใต้ Q
Radon–Nikodym density — น้ำหนักสำหรับเปลี่ยนมาตรวัด
Z = dQ/dP ใช้เปลี่ยนค่าคาดหมายจาก P เป็น Q ผ่าน Eᴽ[X] = Eᴾ[ZX] โดย Eᴾ[Z] = 1 เมื่อ Z เป็นบวกเกือบแน่นอน สองมาตรวัดจะให้เหตุการณ์ที่มีโอกาสศูนย์ตรงกัน แต่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่นอาจต่างกัน
Girsanov’s theorem — ทฤษฎีบทการเปลี่ยน drift ผ่านมาตรวัด
ภายใต้เงื่อนไขของ density process ทฤษฎีบทระบุว่าการเพิ่มพจน์ drift ที่เหมาะสมให้ Brownian motion เดิมจะเป็น Brownian motion ภายใต้มาตรวัดใหม่ ใน Black–Scholes ใช้ Wᴽ = Wᴾ + θt คู่กับ Zₜ = exp(−θWᴾₜ − θ²t/2)
Market price of risk — ผลตอบแทนส่วนเกินต่อหน่วยความเสี่ยง
ใน GBM ไม่มีปันผล θ = (μ − r)/σ เป็นอัตราผลตอบแทนคาดหมายส่วนเกินหาร volatility ใช้กำหนดการเปลี่ยน drift จาก P ไป Q ไม่ใช่ค่าธรรมเนียมหรือราคา Option
Complete market — ตลาดที่เลียนแบบ claims ในขอบเขตได้
ทุก payoff ในกลุ่มที่พิจารณาสร้างได้ด้วยพอร์ต self-financing ของสินทรัพย์ที่ซื้อขายอยู่ ใน Black–Scholes มาตรฐานที่มี Brownian source เดียวและ σ≠0 ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม จึงมี pricing measure เดียวสำหรับ numeraire ที่กำหนด No-arbitrage เพียงอย่างเดียวไม่ได้ทำให้ทุกตลาด complete
Numeraire — หน่วยสินทรัพย์ที่ใช้วัดมูลค่า
สินทรัพย์หรือพอร์ต self-financing ที่ซื้อขายได้และมีมูลค่าบวกอย่างเคร่งครัด ใช้เป็นตัวหารมูลค่า ต้องเลือกคู่กับมาตรวัด Qᴺ ที่เหมาะสม เช่น บัญชีเงินสดกับ Q หรือหุ้นไม่มีปันผลกับ Qˢ ภายใต้เงื่อนไขที่ทำให้การเปลี่ยนมาตรวัดถูกต้อง
Feynman–Kac — ความเชื่อมโยงระหว่าง PDE กับค่าคาดหมาย
ภายใต้เงื่อนไขความเรียบและ integrability ที่เหมาะสม คำตอบ PDE แบบ parabolic เขียนเป็นค่าคาดหมายของ payoff ที่คิดลดได้ ต้องใช้ drift และมาตรวัดเดียวกันทั้งสองด้าน ทฤษฎีบทไม่ได้เลือก pricing measure ให้โดยอัตโนมัติ
Black–76 — สูตร European Option บนราคา Futures
สูตรสำหรับราคาอ้างอิง Futures ที่เป็น lognormal ภายใต้ pricing measure และอัตราดอกเบี้ย deterministic สำหรับ Option แบบชำระ premium ล่วงหน้าและจ่าย payoff ที่วันหมดอายุ ใช้ discount factor คูณทั้งสองพจน์ ต้องแยกวันหมดอายุ Option ออกจากวันครบกำหนด Futures
ผลตอบแทนและการวัดความผันผวน
Return — ผลตอบแทน
การเปลี่ยนแปลงของมูลค่าสินทรัพย์รวมกับกระแสเงินสดที่ได้รับ เทียบกับมูลค่าเริ่มต้น เมื่อไม่มีเงินปันผล simple return เท่ากับ (ราคาปลายงวด − ราคาต้นงวด) ÷ ราคาต้นงวด หุ้น 100 ขึ้นเป็น 110 จึงให้ผลตอบแทน 10%
Log return — ผลตอบแทนลอการิทึม
ผลต่างของลอการิทึมราคาปลายงวดกับต้นงวด หรือ ln(S_ปลาย ÷ S_ต้น) โดยราคาต้องเป็นบวก หาก simple return มีขนาดเล็ก ทั้งสองค่าจะใกล้กัน และ log return ของหลายช่วงที่ต่อกันสามารถนำมาบวกเป็น log return รวมได้
Mean — ค่าเฉลี่ย
สำหรับข้อมูลตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยคือผลรวมของข้อมูลหารด้วยจำนวนข้อมูล เช่น ค่าเฉลี่ยผลตอบแทนรายวันบอกศูนย์กลางของผลตอบแทนในชุดที่เราเก็บมา ส่วนค่าคาดหมายเป็นค่าเฉลี่ยตามกฎความน่าจะเป็น จึงไม่ควรถือว่าค่าเฉลี่ยจากข้อมูลที่มีอยู่เท่ากับค่าจริงที่ไม่รู้โดยอัตโนมัติ
Variance — ความแปรปรวน
ค่าที่วัดการกระจายรอบค่าเฉลี่ยด้วยระยะห่างยกกำลังสอง หน่วยจึงเป็นกำลังสองของตัวแปรที่วัด ในส่วนสุ่มของแบบจำลอง ความแปรปรวนของ increments ที่เป็นอิสระรวมกันได้ นี่เป็นที่มาของการปรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตามรากที่สองของเวลา
Standard deviation — ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
รากที่สองของความแปรปรวน จึงมีหน่วยเดียวกับข้อมูลและใช้บอกขนาดการกระจายรอบค่าเฉลี่ย สูตร sample SD ในบทใช้ตัวหาร M − 1 เมื่อมีผลตอบแทน M ค่า ส่วนการหารด้วย M เป็นอีกวิธีหนึ่งซึ่งให้ค่าต่างกัน โดยเฉพาะเมื่อมีข้อมูลน้อย
Volatility — ความผันผวน
ขนาดความไม่แน่นอนของผลตอบแทน ในแบบจำลองนี้ใช้พารามิเตอร์ σ กำหนดส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของส่วนสุ่มในช่วงสั้นเป็น σ√Δt ยิ่ง σ มาก ผลลัพธ์ยิ่งกระจายกว้าง โดยต้องกำหนดหน่วยเวลาให้สอดคล้องกัน
Drift — อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
พารามิเตอร์ μ ที่กำหนดส่วนค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนช่วงสั้นเป็น μΔt ในแบบจำลองราคา ส่วนนี้ไม่ได้บอกว่าราคาจะเพิ่มเท่านี้ทุกครั้ง เพราะยังมีส่วนสุ่มเข้ามารวมด้วย และการประมาณ μ จากข้อมูลสั้น ๆ อาจถูกความผันผวนบดบังได้มาก
Annualization — การปรับเป็นอัตราต่อปี
การแปลงค่าสถิติให้ใช้ปีเป็นหน่วยเวลา เช่น ในสมมติฐาน 252 วันซื้อขายต่อปี บทนี้ประมาณ drift ด้วยค่าเฉลี่ยรายวัน × 252 และ volatility ด้วย SD รายวัน × √252 กฎรากที่สองนี้อาศัยสมมติฐานของส่วนสุ่มและไม่ได้ใช้ได้กับข้อมูลทุกแบบ ส่วน drift ที่ปรับแล้วก็ไม่ใช่ CAGR
Histogram — ฮิสโตแกรม
กราฟที่แบ่งค่าข้อมูลเป็นช่วงแล้วแสดงความถี่ในแต่ละช่วง ช่วยให้เห็นว่าผลตอบแทนกระจุกตรงไหน กระจายกว้างเพียงใด และเบ้ไปด้านใด รูปร่างกราฟขึ้นกับการแบ่งช่วงด้วย การดูคล้าย Normal จึงยังไม่เพียงพอจะยืนยันว่าข้อมูลมีการแจกแจงแบบ Normal
Rolling window — หน้าต่างข้อมูลเลื่อน
การคำนวณจากข้อมูลย้อนหลังจำนวนคงที่ แล้วเลื่อนช่วงข้อมูลไปเมื่อมีวันใหม่ เช่น ใช้ผลตอบแทน 30 วันล่าสุดหาความผันผวน หากให้น้ำหนักเท่ากันทุกวัน ผลตอบแทนที่รุนแรงหนึ่งวันจะมีผลต่อค่าประมาณจนกว่าจะหลุดจากหน้าต่าง เกิดลักษณะค้างสูงแล้วลดลงที่เรียกว่า plateauing effect ได้
การแจกแจงและแบบจำลองราคา
Normal distribution — การแจกแจงปกติ
การแจกแจงต่อเนื่องรูประฆังที่สมมาตรรอบค่าเฉลี่ย และกำหนดได้ด้วยค่าเฉลี่ยกับความแปรปรวน ส่วน standard Normal มีค่าเฉลี่ย 0 และ SD เท่ากับ 1 ในบทนี้ใช้เป็นสมมติฐานตั้งต้นสำหรับผลตอบแทนช่วงสั้น โดยไม่ได้อ้างว่าผลตอบแทนจริงต้องเป็น Normal เสมอ
Lognormal distribution — การแจกแจงล็อกนอร์มอล
การแจกแจงของตัวแปรที่เป็นบวกและมีลอการิทึมแจกแจงแบบ Normal ใน GBM ที่ μ และ σ คงที่ ราคาที่เวลาอนาคตที่กำหนดมีการแจกแจงแบบ Lognormal ส่วน log return มีการแจกแจงแบบ Normal การสมมติให้ simple return เป็น Normal อย่างเดียวไม่ได้ทำให้ราคาเป็น Lognormal โดยอัตโนมัติ
Random walk — การเดินสุ่ม
แบบจำลองที่สถานะเปลี่ยนไปทีละ step ตามผลสุ่ม เช่น นำการเปลี่ยนแปลงสุ่มแต่ละช่วงมาสะสมเป็นเส้นทาง คำนี้ครอบคลุมแบบจำลองได้หลายแบบ จึงต้องดูว่ากติกาแต่ละ step คืออะไร ในบทนี้เราต่อยอดไปสู่ Wiener process และการจำลองราคาด้วย GBM
Wiener process — กระบวนการวีเนอร์
กระบวนการสุ่มต่อเนื่องมาตรฐานที่เริ่มจาก 0 และมี increments ในช่วงไม่ทับกันเป็นอิสระ โดย increment ช่วง Δt แจกแจงแบบ Normal ที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน Δt มักเขียนเป็น X_t หรือ W_t และเรียก standard Brownian motion เช่นกัน เป็นตัวแทนส่วนสุ่มที่ใช้ในแบบจำลองราคาของบทนี้
Stochastic calculus — แคลคูลัสของกระบวนการสุ่ม
กรอบคณิตศาสตร์สำหรับคำนวณการเปลี่ยนแปลงและการสะสมของกระบวนการสุ่มในเวลาต่อเนื่อง เราต้องใช้กรอบนี้เพราะส่วนสุ่มอย่าง Wiener process มีคุณสมบัติต่างจากฟังก์ชันเรียบ จึงจัดการสัญลักษณ์ dX เหมือนอนุพันธ์ธรรมดาทุกอย่างไม่ได้
Stochastic differential equation (SDE) — สมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม
สมการที่บอกว่าตัวแปรเปลี่ยนตามเวลาอย่างไร โดยมีส่วนสุ่มรวมอยู่ด้วย มักย่อว่า SDE ตัวอย่าง dS = μS dt + σS dX แยกการเปลี่ยนแปลงราคาเป็นส่วนเฉลี่ย μS dt กับส่วนสุ่ม σS dX
Geometric Brownian motion (GBM) — การเคลื่อนที่บราวเนียนเชิงเรขาคณิต
แบบจำลองราคาที่เรียกสั้น ๆ ว่า GBM และเขียนเป็น dS = μS dt + σS dX เมื่อ μ และ σ คงที่และราคาเริ่มต้นเป็นบวก สูตรคำตอบของแบบจำลองคงราคาเป็นบวก โดยราคามีการแจกแจงแบบ Lognormal และ log return มีการแจกแจงแบบ Normal
การเปลี่ยนสถานะและสมการการแพร่
Trinomial random walk — การเดินสุ่มสามทาง
การเดินสุ่มที่ในหนึ่ง step เลือกได้สามการเคลื่อนที่ บทนี้ใช้ขึ้น h อยู่นิ่ง หรือลง h ด้วยโอกาส α, 1 − 2α และ α ตามลำดับ แต่ละ step เป็นอิสระและใช้พารามิเตอร์คงที่ เป็นแบบจำลองตัวแปรบนเส้นจำนวน ไม่ใช่ต้นไม้สำหรับกำหนดราคา Option โดยอัตโนมัติ
Probability mass — มวลความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรไม่ต่อเนื่องมีค่าใดค่าหนึ่ง เช่น เดินสุ่มสอง step แล้วอยู่ที่ 0 มีโอกาส 0.44 มวลทุกค่ารวมกันเป็น 1 ต่างจากความหนาแน่นต่อเนื่องซึ่งต้องอินทิเกรตเหนือช่วงก่อนจึงได้ความน่าจะเป็น
Transition density — ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนสถานะ
ความหนาแน่นของค่าปลายทางเมื่อกำหนดสถานะและเวลาเริ่มต้นแล้ว เขียนในบทนี้ว่า k(y,t;z,T) อินทิเกรตตาม z บนช่วงที่สนใจเพื่อหาโอกาสอยู่ในช่วงนั้น ความสูงของความหนาแน่นไม่ใช่ความน่าจะเป็นที่จุดเดียว และอาจมากกว่า 1 ได้
Markov property — สมบัติมาร์คอฟ
เมื่อรู้สถานะปัจจุบันแล้ว การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของอนาคตไม่ต้องอาศัยประวัติก่อนหน้านั้นเพิ่มเติม ภายใต้แบบจำลองที่กำหนด สมบัตินี้ทำให้แยกคำนวณตาม step ถัดไปได้ ไม่ใช่ข้ออ้างว่าข้อมูลอดีตไม่มีประโยชน์ในตลาดจริงทุกกรณี
Diffusion coefficient — สัมประสิทธิ์การแพร่
สัมประสิทธิ์หน้าอนุพันธ์อันดับสองในสมการการแพร่ บทนี้ใช้ c² = αh²/Δt ในลิมิต ทำให้ความแปรปรวนหลังเวลา τ เป็น 2c²τ หากเขียน SDE เป็น dY = σᵧ dW สัมประสิทธิ์การแพร่จะเป็น σᵧ²/2
Forward Kolmogorov / Fokker–Planck equation — สมการโคลโมโกรอฟไปข้างหน้า
สมการที่อธิบายการเปลี่ยนการแจกแจงปลายทางตามเวลาเมื่อกำหนดจุดเริ่มต้นแล้ว ในกรณีไม่มี drift และ c คงที่ของบทนี้ คือ ∂k/∂T = c²∂²k/∂z² โดยอนุพันธ์ทำงานกับปลายทาง z,T
Backward Kolmogorov equation — สมการโคลโมโกรอฟย้อนกลับ
สมการที่หาโอกาสหรือค่าคาดหมายจากจุดเริ่มต้นต่าง ๆ เมื่อกำหนดเป้าหมายในอนาคตไว้ ในบทนี้คือ ∂k/∂t + c²∂²k/∂y² = 0 โดยอนุพันธ์ทำงานกับจุดเริ่มต้น y,t การคำนวณย้อนกลับไม่ใช่การย้อนเส้นทางสุ่มทางกายภาพ
Taylor expansion — การขยายเทย์เลอร์
การประมาณฟังก์ชันใกล้จุดหนึ่งด้วยค่าฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่จุดนั้น เช่น เก็บพจน์อันดับหนึ่งของเวลาและอันดับสองของตำแหน่งเพื่อเชื่อมกฎการเดินสุ่มกับสมการการแพร่ การตัดพจน์ที่สูงกว่าทิ้งเป็นการประมาณ ต้องพิจารณาขนาด step และความเรียบของฟังก์ชัน
Similarity solution — คำตอบที่คงรูปภายใต้การย่อขยาย
วิธีหาคำตอบโดยรวมตำแหน่งและเวลาเป็นตัวแปรเดียว ในตัวอย่าง Gaussian ใช้ (z − y)/√τ ทำให้ความกว้างโตตาม √τ และความสูงลดตาม 1/√τ ขณะที่พื้นที่ใต้ความหนาแน่นคงเป็น 1
Dirac delta — เดลตาของดิแรก
การแจกแจงเชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้แทนมวลหนึ่งหน่วย ณ จุดเดียว นิยามผ่านผลของการอินทิเกรต ไม่ใช่ฟังก์ชันที่มีความสูงจำกัด ณ จุดนั้น ใช้ระบุว่าเริ่มจากค่า y แน่นอนก่อนความน่าจะเป็นจะแพร่ออก และห้ามแทนเวลาเป็นศูนย์ในสูตร Gaussian ที่มีไว้สำหรับเวลาบวก
แคลคูลัสและการจำลองกระบวนการสุ่ม
Quadratic variation — ความแปรผันกำลังสอง
ลิมิตของผลรวมกำลังสองของ step เมื่อแบ่งช่วงเวลาละเอียดขึ้น สำหรับ standard Brownian motion บน [0,T] ค่านี้เท่ากับ T แต่ผลรวมบนตารางที่ยังมีจำนวน step จำกัดยังสุ่มได้ ไม่ใช่ความแปรปรวนของระดับค่าบนเส้นทางหนึ่ง
Mean-square convergence — การลู่เข้าแบบค่าเฉลี่ยกำลังสอง
Xₙ ลู่เข้า X แบบ mean square เมื่อ E[(Xₙ−X)²] เข้าใกล้ศูนย์ เป็นข้อความเกี่ยวกับค่าคาดหมายของความคลาดเคลื่อนยกกำลังสอง ไม่ได้บอกว่า error ของทุกตัวอย่างต้องลดลงทุกครั้ง
Itô integral — ปริพันธ์อิโต
ปริพันธ์เชิงสุ่มที่สร้างจากน้ำหนักซึ่งไม่มองอนาคต โดยผลรวมแบบง่ายใช้ค่า integrand ที่ต้นช่วงคูณกับ Brownian increment ถัดไป เช่น ∫₀ᵀ Wₜ dWₜ = (W_T²−T)/2 เมื่อ W₀ = 0
Itô’s lemma — บทตั้งของอิโต
กฎแปลงฟังก์ชันที่เรียบของกระบวนการ Itô ถ้า dY = a dt + b dW จะมี dF = (Fₜ+aFᵧ+½b²Fᵧᵧ)dt+bFᵧdW พจน์อนุพันธ์อันดับสองเกิดจาก quadratic variation และต้องแยก (dY)² ออกจาก d(Y²)
Ornstein–Uhlenbeck / Vasicek — กระบวนการออร์นสไตน์–อูเลนเบค
แบบจำลอง dr = κ(θ−r)dt+σᵣdW ที่มี κ > 0 ดึง drift กลับเข้าหาระดับ θ เมื่อใช้จำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเรียก Vasicek model คำตอบเป็น Gaussian และมีค่าติดลบได้
Mean reversion — การกลับเข้าหาค่ากลาง
สมบัติที่ drift ดึงสถานะกลับเข้าหาระดับระยะยาว เช่น κ(θ−r) ใน OU แต่ละ step ยังอาจเดินออกห่างเพราะช็อก จึงไม่ใช่การรับประกันว่าเส้นทางหรือราคาจะกลับมาถึงค่ากลางในเวลาที่ระบุ
Stationary distribution — การแจกแจงคงตัว
การแจกแจงที่คงเดิมเมื่อให้กระบวนการวิวัฒน์ตามเวลา หากเริ่มจากการแจกแจงนั้น สำหรับ OU ที่ κ,σᵣ > 0 คือ Normal(θ,σᵣ²/(2κ)) การเริ่มจากค่าคงที่ต้องแยกจากการเริ่มด้วย stationary distribution
Euler–Maruyama — วิธีออยเลอร์–มารุยามะ
วิธีประมาณ SDE ด้วย Yᵢ₊₁ = Yᵢ+a(Yᵢ,tᵢ)Δt+b(Yᵢ,tᵢ)√Δt Zᵢ โดย Zᵢ เป็น Standard Normal อิสระ ใช้สัมประสิทธิ์ที่ต้นช่วงและยังมี discretization error รวมถึงอาจไม่รักษาความเป็นบวกของแบบจำลองเดิม
Discretization error — ความคลาดเคลื่อนจากการแบ่งช่วง
ความแตกต่างที่เกิดจากแทนสมการต่อเนื่องด้วย time step หรือตารางที่ยังมีขนาดจำกัด ต่างจาก sampling error ที่เกิดจากจำนวนตัวอย่าง และ model error ที่เกิดจากสมมติฐานของแบบจำลอง
Optimization และการประมาณค่า
Objective function — ฟังก์ชันเป้าหมาย
ฟังก์ชันที่โจทย์ต้องการทำให้ต่ำสุดหรือสูงสุด เช่น ลด variance ของพอร์ต หรือเพิ่มผลตอบแทนคาดหวังหลังหักค่าปรับความเสี่ยง คำตอบขึ้นกับ objective, inputs และ constraints ที่กำหนดไว้ จึงไม่ได้มีความหมายว่า “ดีที่สุด” ในทุกเกณฑ์พร้อมกัน
Decision variable — ตัวแปรตัดสินใจ
ค่าที่ optimizer เลือกเพื่อแก้โจทย์ เช่น น้ำหนักสินทรัพย์แต่ละตัว จำนวนสัญญา หรือขนาด active position ข้อมูลคาดการณ์อย่าง expected return เป็น input ของโจทย์ ไม่ใช่ decision variable เว้นแต่แบบจำลองระบุให้ประมาณพร้อมกัน
Constraint — ข้อจำกัดของโจทย์
เงื่อนไขที่คำตอบต้องรักษา เช่น น้ำหนักรวมเท่ากับหนึ่ง น้ำหนักไม่ติดลบ ผลตอบแทนคาดหวังเท่ากับ target หรือ tracking error ไม่เกินเพดาน Equality constraint ต้องเท่ากัน ส่วน inequality constraint อนุญาตให้เหลือช่องว่างได้
Gradient — เวกเตอร์ความชัน
เวกเตอร์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันต่อ decision variables ทุกตัว ชี้ทิศที่ฟังก์ชันเพิ่มเร็วที่สุดในบริเวณนั้น สำหรับ optimum ภายในของฟังก์ชันเรียบที่ไม่มี constraint gradient ต้องเป็นศูนย์ แต่เงื่อนไขนี้อย่างเดียวยังแยก minimum, maximum และ saddle point ไม่ได้
Hessian — เมทริกซ์อนุพันธ์อันดับสอง
เมทริกซ์ที่ช่อง ((i,j)) เป็นอนุพันธ์อันดับสองต่อ decision variables คู่ที่ (i,j) ใช้ตรวจความโค้งรอบ stationary point Hessian positive definite บอกว่าโค้งขึ้นทุกทิศทาง ส่วน negative definite บอกว่าโค้งลงทุกทิศทาง
Ordinary Least Squares (OLS) — กำลังสองน้อยที่สุดแบบสามัญ
วิธีประมาณสัมประสิทธิ์ regression โดยลดผลรวม residual ยกกำลังสอง เมื่อเขียน (Y=X\beta+\varepsilon) และ (X) มี rank ครบ คำตอบคือ ((X^\top X)^{-1}X^\top Y) ในการคำนวณจริงนิยมแก้ระบบหรือใช้ QR/SVD แทนการสร้าง inverse ตรง ๆ
Generalized Least Squares (GLS) — กำลังสองน้อยที่สุดแบบทั่วไป
วิธี regression ที่ถ่วง residual ด้วย inverse covariance (\Omega^{-1}) เมื่อ residual มี variance ไม่เท่ากันหรือสัมพันธ์กัน หาก (\Omega) ต้องประมาณจากข้อมูล ผลลัพธ์เรียกว่า Feasible GLS และยังขึ้นกับแบบจำลอง covariance ที่เลือก
Lagrange multiplier — ตัวคูณลากร็องฌ์
ตัวแปรที่เพิ่มเข้า Lagrangian เพื่อรวม equality constraint เข้ากับ objective ที่ optimum ค่า multiplier เชื่อมกับการเปลี่ยนแปลงเฉพาะขอบของ objective เมื่อขยับค่าด้านขวาของ constraint เล็กน้อย ถ้าใช้ (\mathcal L=f+\lambda(g-b)) จะได้ (\partial v^*/\partial b=-\lambda) เครื่องหมายจึงขึ้นกับรูปที่ใช้ตั้ง Lagrangian
Reverse optimization — การแก้ย้อนจากน้ำหนักไปหา input
การเริ่มจากน้ำหนักพอร์ตที่สังเกตได้และสมมติว่าเป็นคำตอบของ optimizer แล้วแก้ย้อนหา parameter ที่สอดคล้องกัน ใน Black–Litterman ใช้ (\Pi=\lambda\Sigma w_{mkt}) เพื่อหา implied equilibrium excess returns จาก market weights
Black–Litterman model — แบบจำลองแบล็ก–ลิตเทอร์แมน
กรอบจัดพอร์ตที่ใช้ reverse optimization สร้าง prior ของ expected excess returns จาก market weights แล้วผสม absolute หรือ relative views พร้อม covariance ของความไม่แน่นอน ผลลัพธ์ขึ้นกับ market portfolio, risk aversion, covariance, (\tau), views และ (\Omega)
Karush–Kuhn–Tucker conditions — เงื่อนไข KKT
เงื่อนไข stationarity, primal feasibility, dual feasibility และ complementary slackness สำหรับโจทย์ที่มี inequality constraints ใน convex problem ที่มีเงื่อนไข regularity เหมาะสม KKT ใช้ยืนยัน global optimum และชี้ว่า constraint ใดกำลัง binding ได้
Active weight — น้ำหนักส่วนต่างจาก benchmark
ผลต่าง (\Delta w=w_P-w_B) ระหว่างน้ำหนักพอร์ตกับ benchmark ถ้าทั้งสองพอร์ตลงทุนครบ 100% active weights ต้องรวมเป็นศูนย์ ค่าบวกคือ overweight และค่าลบคือ underweight ส่วน final portfolio จะเป็น short ก็ต่อเมื่อ (w_P<0)
พอร์ตการลงทุนและความเสี่ยงร่วมกัน
Portfolio weight — น้ำหนักสินทรัพย์ในพอร์ต
สัดส่วนมูลค่าที่จัดสรรให้สินทรัพย์แต่ละตัวเทียบกับมูลค่าพอร์ต ณ ต้นช่วง เช่น น้ำหนัก 0.40 หมายถึง 40% ของพอร์ต น้ำหนักรวมทุกสินทรัพย์รวมเงินสดเท่ากับ 1 ในแบบจำลองนี้ น้ำหนักติดลบหมายถึงสถานะขายชอร์ตหรือการกู้ยืมในสินทรัพย์นั้น
Covariance — ความแปรปรวนร่วม
ค่าคาดหมายของผลคูณระหว่างผลตอบแทนแต่ละตัวที่หักค่าเฉลี่ยของตัวเองแล้ว ค่าบวกบอกว่าผลตอบแทนมีแนวโน้มเบี่ยงจากค่าเฉลี่ยไปทางเดียวกัน ค่าลบบอกว่ามีแนวโน้มเบี่ยงสวนกัน ถ้าวัดผลตอบแทนเป็นทศนิยม covariance มีหน่วยเป็นทศนิยมยกกำลังสองสำหรับช่วงเวลาที่กำหนด
Correlation — สหสัมพันธ์
ตัววัดความสัมพันธ์เชิงเส้นที่ได้จาก covariance หารด้วยผลคูณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสอง มีค่าระหว่าง −1 ถึง 1 และไม่มีหน่วย ค่า 0 หมายถึงไม่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น ส่วนสินทรัพย์ที่มีผลตอบแทนคงที่มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์ จึงคำนวณ correlation ด้วยสูตรนี้ไม่ได้
Diversification — การกระจายการลงทุน
การผสมสินทรัพย์หลายตัวเพื่อลดความเสี่ยงบางส่วนของพอร์ต ผลขึ้นกับน้ำหนัก ความผันผวน และการเคลื่อนไหวร่วมกันของผลตอบแทน การเพิ่มจำนวนสินทรัพย์ที่รับความเสี่ยงคล้ายกันอาจช่วยลดความผันผวนได้น้อย
Efficient frontier — แนวหน้าของพอร์ตที่มีประสิทธิภาพ
กลุ่มพอร์ตที่ไม่มีพอร์ตอื่นในขอบเขตที่เลือกให้ผลตอบแทนคาดหมายสูงกว่าโดยใช้ความเสี่ยงเท่ากันหรือน้อยกว่า หรือให้ความเสี่ยงต่ำกว่าโดยมีผลตอบแทนคาดหมายเท่ากันหรือสูงกว่า ใน mean–variance analysis วัดความเสี่ยงด้วยความแปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทน
Global minimum-variance portfolio — พอร์ตที่มีความแปรปรวนต่ำสุด
พอร์ตที่มีความแปรปรวนของผลตอบแทนต่ำสุดในกลุ่มสินทรัพย์และข้อจำกัดที่กำหนด โดยไม่ได้ตั้งเป้าผลตอบแทนไว้ล่วงหน้า น้ำหนักที่ได้อาจเปลี่ยนเมื่ออนุญาตหรือห้ามขายชอร์ต
Tangency portfolio — พอร์ตสัมผัส
พอร์ตสินทรัพย์เสี่ยงที่ให้ Sharpe ratio สูงสุดในขอบเขตที่กำหนด ในกรณีมาตรฐานที่มีส่วนชดเชยความเสี่ยงเป็นบวก เส้นจากอัตราผลตอบแทนปลอดความเสี่ยงจะสัมผัส efficient frontier ที่พอร์ตนี้ อัตรากู้ยืมและข้อจำกัดการลงทุนมีผลต่อคำตอบ
Sharpe ratio — อัตราส่วนชาร์ป
ผลตอบแทนส่วนเกินคาดหมายเหนือสินทรัพย์ปลอดความเสี่ยง หารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนส่วนเกิน เมื่อคำนวณจากข้อมูลย้อนหลังให้ใช้ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากช่วงเวลาเดียวกัน ตัวส่วนต้องมากกว่าศูนย์ และค่าที่คำนวณได้ยังมีความไม่แน่นอนจากการประมาณ
Beta — เบตาของสินทรัพย์หรือพอร์ต
ความไวเชิงเส้นของผลตอบแทนต่อผลตอบแทนตลาด คำนวณจาก Cov(rₚ,rₘ)/Var(rₘ) เมื่อตลาดมีความแปรปรวนมากกว่าศูนย์ Beta ไม่มีหน่วยและวัดการรับความเสี่ยงร่วมกับตลาด ส่วนความผันผวนของพอร์ตยังรวมความเสี่ยงที่เหลือจากความสัมพันธ์นี้ด้วย
Capital Asset Pricing Model (CAPM) — แบบจำลองกำหนดราคาสินทรัพย์ทุน
แบบจำลองดุลยภาพที่กำหนดให้ส่วนเกินผลตอบแทนคาดหมายของสินทรัพย์เท่ากับ beta คูณส่วนเกินผลตอบแทนคาดหมายของตลาด ข้อสรุปนี้อาศัยสมมติฐานเกี่ยวกับนักลงทุน ตลาด และโอกาสลงทุน ผลตอบแทนที่เกิดขึ้นจริงในแต่ละช่วงยังคลาดจากค่าคาดหมายได้
Factor model — แบบจำลองปัจจัย
แบบจำลองที่อธิบายผลตอบแทนด้วยปัจจัยร่วมและความไวต่อแต่ละปัจจัย พร้อมส่วนที่แบบจำลองอธิบายไม่ได้ เช่น ใช้ผลตอบแทนตลาดเป็นปัจจัยหนึ่ง การประมาณความสัมพันธ์นี้จากข้อมูลต้องแยกจากสมมติฐานที่กำหนดว่าความเสี่ยงปัจจัยใดควรได้รับผลตอบแทนชดเชย
Tracking error — ความผันผวนของผลตอบแทนส่วนต่างจากเกณฑ์อ้างอิง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ rₚ − rᵦ โดย rₚ เป็นผลตอบแทนพอร์ตและ rᵦ เป็นผลตอบแทนเกณฑ์อ้างอิง ต้องระบุเกณฑ์อ้างอิงและช่วงเวลาที่ใช้ หากรายงานผลตอบแทนเป็นเปอร์เซ็นต์ tracking error จะรายงานเป็นจุดเปอร์เซ็นต์ของผลตอบแทนในช่วงนั้น
การทดลองด้วยการจำลอง
Monte Carlo (MC) — การประมาณคำตอบด้วยการสุ่มซ้ำ
การใช้กติกาของแบบจำลองสุ่มผลลัพธ์หลายครั้ง แล้วรวบรวมเป็นคำตอบ เช่น จำลองราคาหลายพันเส้นเพื่อหาราคาปลายปีเฉลี่ยหรือสัดส่วนที่จบต่ำกว่าราคาเริ่มต้น จำนวนรอบที่มากขึ้นช่วยลดความคลาดเคลื่อนจากการสุ่มคำนวณ แต่ไม่ได้ทำให้สมมติฐานของแบบจำลองถูกต้องขึ้นเอง
Standard error — ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าประมาณ
ค่าที่บอกว่าค่าประมาณอย่างค่าเฉลี่ยอาจแกว่งจากการสุ่มตัวอย่างมากเพียงใด สำหรับค่าเฉลี่ยจากการจำลองอิสระ N รอบที่มีความแปรปรวนจำกัด ประมาณได้ด้วย SD ของผลลัพธ์ ÷ √N จึงเป็นคนละอย่างกับความผันผวนของราคา และไม่ได้วัดความผิดพลาดของแบบจำลอง
ขาดทุนและการวัดความเสี่ยง
Value at Risk (VaR) — เกณฑ์ขาดทุนที่ระดับความเชื่อมั่นหนึ่ง
Quantile ของการแจกแจงขาดทุน โดยระบุระดับความเชื่อมั่นและระยะเวลาควบคู่กัน เช่น VaR 99% หนึ่งวันเป็นเกณฑ์ที่ขาดทุนมีโอกาสเกินประมาณ 1% ในแบบจำลองต่อเนื่อง VaR ไม่ได้บอกขนาดขาดทุนสูงสุดหรือค่าเฉลี่ยขาดทุนที่เกินเกณฑ์
Expected Shortfall (ES) — ค่าเฉลี่ยขาดทุนในปลายหาง
ค่าเฉลี่ยของ quantile ขาดทุนตั้งแต่ระดับความเชื่อมั่น c ถึง 1 เช่น ES 99% เฉลี่ยขาดทุนในส่วนเลวร้ายที่สุด 1% สำหรับข้อมูลไม่ต่อเนื่อง ต้องแบ่งน้ำหนักค่าที่อยู่ตรงขอบให้ได้สัดส่วนหางพอดี
Risk backtesting — ตรวจค่าความเสี่ยงกับผลที่เกิดภายหลัง
การเปรียบเทียบค่าความเสี่ยงที่คำนวณก่อนรู้ผลกับขาดทุนในช่วงที่พยากรณ์ การตรวจ VaR ดูทั้งจำนวนและการกระจุกตัวของ exceptions โดยต้องใช้ระยะเวลาและนิยาม P&L ให้ตรงกัน การนับ exceptions เพียงอย่างเดียวไม่ได้ตรวจความแม่นของ ES
Stress testing — ประเมินผลภายใต้สถานการณ์รุนแรง
การกำหนดสถานการณ์ เช่น ราคาหุ้นร่วงหรือสภาพคล่องลดลง แล้วคำนวณมูลค่าพอร์ต ขาดทุน หรือเงินที่ต้องใช้ โดยไม่จำเป็นต้องระบุความน่าจะเป็นที่แม่นยำให้ทุกสถานการณ์ ใช้ประกอบ VaR และ ES เพื่อสำรวจความเสียหายที่แบบจำลองหลักอาจครอบคลุมไม่พอ
พฤติกรรมผลตอบแทนและข้อมูลระหว่างวัน
Volatility clustering — การเกิดกลุ่มของความผันผวน
ช่วงที่ผลตอบแทนมีขนาดใหญ่เกิดติดกัน และช่วงที่มีขนาดเล็กเกิดติดกัน ขนาดหมายถึงทั้งบวกและลบ จึงไม่ได้บอกว่าหลังวันที่ลงแรง วันถัดไปต้องลงต่อ
Autocorrelation function (ACF) — ความสัมพันธ์กับค่าในอดีต
ความสัมพันธ์เชิงเส้นของอนุกรมเวลากับตัวเองเมื่อเลื่อนห่างกัน k ช่วง การดู ACF ของผลตอบแทน ขนาดผลตอบแทน และผลตอบแทนยกกำลังสองตอบคนละคำถาม ค่า ACF ใกล้ศูนย์ไม่ได้ยืนยันความเป็นอิสระ
Fat tails — หางหนา
การแจกแจงที่ให้โอกาสเหตุการณ์รุนแรงมากกว่า Normal ที่ใช้เทียบ ต้องระบุสเกลและเกณฑ์ของเหตุการณ์ด้วย หางหนาไม่ได้แปลว่าต้องมี variance อนันต์ และค่า kurtosis เพียงค่าเดียวไม่ได้ระบุรูปการแจกแจงทั้งหมด
Realized variance — ผลรวมกำลังสองของผลตอบแทนระหว่างช่วง
ผลรวมของ log returns ย่อยยกกำลังสองในช่วงที่สนใจ ใช้วัดความผันแปรที่เกิดขึ้นภายในช่วงนั้น มีหน่วยผลตอบแทนยกกำลังสอง ส่วนรากที่สองเรียก realized volatility ข้อมูลช่วงเปิดตลาดเพียงอย่างเดียวไม่ครอบคลุมความเสี่ยงข้ามคืน
Market microstructure noise — ผลของกลไกซื้อขายต่อราคาที่สังเกต
ความต่างระหว่างราคาที่บันทึกกับราคาแฝงในแบบจำลอง เช่น ผลจาก bid–ask spread และ tick size การเก็บราคาถี่ขึ้นอาจเพิ่มอิทธิพลของส่วนนี้ต่อ realized variance จึงต้องพิจารณาความถี่และวิธีประมาณร่วมกัน
เงินกองทุนและสภาพคล่องของธนาคาร
Risk-weighted assets (RWA) — สินทรัพย์เสี่ยง
ฐานความเสี่ยงที่ใช้เป็นตัวหารของอัตราส่วนเงินกองทุน วิธีคำนวณต่างกันตามประเภทความเสี่ยงและแนวทางกำกับ ในตัวอย่างเครดิตอย่างง่ายคือ EAD คูณ risk weight ซึ่งไม่ใช่โอกาสผิดนัดโดยตรง
Basel leverage ratio — อัตราส่วนเงินกองทุนต่อ exposure ที่ไม่ถ่วงความเสี่ยง
Tier 1 capital หารด้วย exposure measure ตามเกณฑ์ ซึ่งรวมการปรับรายการในและนอกงบดุล จึงไม่จำเป็นต้องเท่ากับสินทรัพย์รวมทางบัญชี ใช้เสริมข้อจำกัดเงินกองทุนที่อาศัย RWA
Liquidity Coverage Ratio (LCR) — อัตราส่วนรองรับสภาพคล่องระยะสั้น
HQLA ที่เข้าเกณฑ์หารด้วยกระแสเงินสดไหลออกสุทธิภายใต้สถานการณ์ตึงเครียด 30 วันปฏิทิน เกณฑ์พื้นฐานคืออย่างน้อย 100% ในภาวะปกติ การคำนวณทั่วไปจำกัด inflows ที่นำมาหักไม่เกิน 75% ของ outflows
Net Stable Funding Ratio (NSFR) — อัตราส่วนแหล่งเงินทุนที่มั่นคง
Available stable funding หารด้วย required stable funding มองโครงสร้างการจัดหาเงินในกรอบหนึ่งปี โดยถ่วงน้ำหนักแหล่งเงินทุนและสินทรัพย์ตามคุณสมบัติที่กำหนด เกณฑ์พื้นฐานคืออย่างน้อย 100%
Probability of default (PD) — ความน่าจะเป็นที่จะผิดนัด
โอกาสที่ลูกหนี้จะผิดนัดในช่วงเวลาที่ระบุ เช่น หนึ่งปี ต้องระบุนิยาม default และวิธีประมาณด้วย PD ไม่ใช่สัดส่วนเงินที่สูญเสียเมื่อผิดนัด และไม่ใช่ risk weight
Loss given default (LGD) — สัดส่วนความสูญเสียเมื่อผิดนัด
สัดส่วนของ exposure ที่สูญเสียเมื่อเกิด default หลังพิจารณาการเรียกคืนตามนิยามของแบบจำลอง ค่า LGD อาจเปลี่ยนตามหลักประกันและภาวะเศรษฐกิจ บทตัวอย่างถือค่านี้คงที่
Exposure at default (EAD) — ยอด exposure ณ เวลาผิดนัด
จำนวนเงินที่มีความเสี่ยงเมื่อคู่สัญญาผิดนัด อาจต่างจากยอดคงค้างวันนี้ เช่น วงเงินที่ยังไม่ได้เบิกอาจถูกใช้ก่อน default ค่าที่ใช้ต้องสอดคล้องกับผลิตภัณฑ์และวิธีคำนวณ
Asymptotic Single Risk Factor (ASRF) — แบบจำลองเครดิตปัจจัยร่วมเดียว
แบบจำลองที่เชื่อม default ของลูกหนี้ผ่านปัจจัย Gaussian ร่วม และอาศัยพอร์ตที่กระจายตัวดีมากเพื่อลดความเสี่ยงเฉพาะราย พารามิเตอร์ asset correlation ของตัวแปรแฝงไม่ใช่ correlation ของ default indicators โดยตรง
Internal Ratings-Based approach (IRB) — วิธีเครดิตที่ใช้การจัดอันดับภายใน
แนวทางคำนวณเงินกองทุนเครดิตที่อนุญาตให้ธนาคารประมาณพารามิเตอร์บางส่วนภายใต้เงื่อนไขและการอนุมัติ สูตรและ supervisory parameters ยังถูกกำหนดตามประเภท exposure จึงไม่ใช่การเลือกแบบจำลองได้อย่างอิสระทั้งหมด
การคำนวณเชิงตัวเลข
Finite difference — การประมาณอนุพันธ์จากค่าบนกริด
แทนอนุพันธ์ด้วยผลต่างของค่าที่จุดข้างเคียง เช่น Delta จากราคาหุ้นซ้ายและขวา แล้วใช้ความสัมพันธ์เหล่านี้ประมาณคำตอบของ PDE วิธี explicit คำนวณชั้นเวลาใหม่จากค่าชั้นเดิม ต้องตรวจทั้งความละเอียดและเสถียรภาพ
Boundary condition — เงื่อนไขที่ขอบโดเมน
ค่าหรือความสัมพันธ์ที่กำหนด ณ ปลายขอบเขตคำนวณ เช่นราคา European Put ที่ S=0 เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของ strike ต้องใช้ทุกชั้นเวลาและแยกจาก terminal condition ซึ่งกำหนด payoff ณ วันหมดอายุ
Numerical stability — เสถียรภาพของวิธีเชิงตัวเลข
การควบคุมไม่ให้ความผิดพลาดเล็ก ๆ ถูกขยายอย่างไม่เหมาะสมระหว่างคำนวณ เกณฑ์สัมประสิทธิ์ไม่ติดลบเป็นเงื่อนไขเพียงพอที่ห้องทดลอง explicit ใช้ตรวจ การผ่านเกณฑ์ยังไม่รับรองว่ากริดละเอียดหรือขอบไกลเพียงพอ
Domain truncation error — ความคลาดเคลื่อนจากขอบเขตจำกัด
ความคลาดเคลื่อนเมื่อแทนโดเมนที่ยาวถึงอนันต์ด้วยขอบจำกัด เช่น Smax ในกริดราคาหุ้น ตรวจได้โดยขยายขอบพร้อมคงความละเอียดใกล้เดิม แยกจากการลดระยะห่างระหว่างจุดกริด
ความหมายและตัวอย่างแต่ละคำมีลิงก์กลับไปยังบทที่เกี่ยวข้อง แหล่งอ้างอิงของคำและตัวอย่างอยู่ท้ายบทเหล่านั้น
แบบจำลองความผันผวนตามเวลา
Conditional variance — ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข
ความแปรปรวนของผลตอบแทนเมื่อกำหนดข้อมูลที่รู้ ณ เวลาหนึ่ง เช่น h ของวันพรุ่งนี้ที่คำนวณจากข้อมูลถึงวันนี้ รากที่สองของ h คือ conditional volatility ทั้งสองค่าขึ้นกับแบบจำลองและชุดข้อมูลที่ใช้ ไม่ใช่ขนาดผลตอบแทนที่จะเกิดจริงแน่นอน
ARCH / GARCH — แบบจำลอง variance จากข้อมูลอดีต
ARCH ให้ conditional variance ขึ้นกับ residual ยกกำลังสองในอดีต ส่วน GARCH เพิ่ม conditional variance ในอดีตเข้าไปด้วย GARCH(1,1) ใช้ residual ยกกำลังสองหนึ่ง lag และ variance หนึ่ง lag จึงเก็บอิทธิพลของช็อกไว้หลายวันได้ด้วยสมการสั้น ๆ
Persistence / half-life — ความคงอยู่ของผลช็อก
ใน GARCH(1,1) ค่า α+β กำหนดความเร็วที่ variance forecast กลับเข้าหา variance ระยะยาวเมื่อค่านี้น้อยกว่าหนึ่ง Half-life จากสูตร log(1/2)/log(α+β) วัดจำนวนช่วงเพิ่มเติมที่ทำให้ส่วนต่างของ variance ลดลงครึ่งหนึ่ง ไม่ใช่ครึ่งหนึ่งของส่วนต่าง SD
GJR-GARCH — แบบจำลองช็อกบวกและลบไม่สมมาตร
เพิ่มพจน์สำหรับ residual ลบในสมการ variance เพื่อให้ผลตอบแทนที่ต่ำกว่า mean ส่งผลต่างจาก residual บวกขนาดเท่ากัน ภายใต้ standardized innovations ที่สมมาตร persistence เท่ากับ α+β+γ/2 หาก distribution ไม่สมมาตรต้องเปลี่ยนพจน์ γ/2 ตามโมเมนต์ของช็อกด้านลบ
QMLE — การประมาณด้วย quasi-likelihood
ใช้ likelihood ของการแจกแจงที่กำหนดเป็น objective แม้การแจกแจงจริงอาจต่างกัน เช่น ใช้ Gaussian likelihood ประมาณ conditional mean และ variance ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม ต้องเลือกวิธีหา standard errors และทดสอบที่รองรับข้อสมมตินี้ การใช้ robust standard errors ไม่ได้แก้ tail probabilities ที่คำนวณจาก distribution ผิด
สัญญา Exotic และความทรงจำของเส้นทาง
Exotic option — Option ที่เพิ่มเงื่อนไขจาก vanilla
Option ที่กำหนด payoff วิธีสังเกตราคา วันใช้สิทธิ หรือสินทรัพย์อ้างอิงต่างจากสัญญา vanilla ต้องอ่านรายละเอียดสัญญาก่อนเลือกสูตร เช่น Asian ใช้ค่าเฉลี่ย และ Barrier มีเงื่อนไขเปิดหรือดับสิทธิ
Path state variable — ตัวแปรสรุปประวัติที่จำเป็น
ตัวแปรที่เก็บส่วนของอดีตซึ่งต้องใช้คิด payoff และมูลค่า เช่น ผลรวมราคาสะสมของ Asian หรือ maximum ของ Lookback State ที่เพิ่มไม่จำเป็นต้องเพิ่มแหล่งสุ่มใหม่ ส่วน Barrier ต้องรู้สถานะเคยแตะหรือไม่ แม้ไม่เพิ่มแกนต่อเนื่องของ PDE
Asian option — Option ที่อ้างอิงราคาเฉลี่ย
Payoff ใช้ค่าเฉลี่ยตามกติกาสัญญา เช่น fixed-strike Call จ่ายส่วนที่ค่าเฉลี่ยสูงกว่า K ส่วน floating-strike Call จ่ายส่วนที่ราคาปลายทางสูงกว่าค่าเฉลี่ย ต้องระบุ arithmetic/geometric น้ำหนักและวัน fixing
Barrier option — Option ที่มีเงื่อนไขแตะระดับราคา
Knock-in เปิดสิทธิเมื่อแตะระดับที่กำหนด ส่วน knock-out ดับสิทธิเมื่อแตะ การตรวจเฉพาะบางวันกับการตรวจต่อเนื่องเป็นคนละเงื่อนไข ต้องระบุ rebate และวันจ่ายด้วยถ้ามี
Fixing / updating rule — วันสังเกตและกฎอัปเดต
วันที่สัญญาบันทึกราคาเพื่อนำไปปรับ state เช่น เพิ่ม S ในผลรวมสะสมของ Asian การจับคู่มูลค่าก่อนและหลัง fixing ต้องใช้ state ที่สัมพันธ์กัน การอัปเดตไม่ได้หมายถึงมี cashflow จ่ายออกเสมอ
ความไวของราคา Option และ conventions
Cost of carry — อัตราถือครองสุทธิ
อัตรา b ใน generalized BSM ที่กำหนด forward เป็น S exp(bT) หุ้นที่จ่าย dividend yield q ต่อเนื่องใช้ b=r−q; futures pricing ที่ใช้ F เป็นราคาอ้างอิงใช้ b=0 ต้องระบุว่า b เปลี่ยนตาม r หรือคงที่เมื่อคำนวณ Rho
Option elasticity — ความไวของราคา Option แบบเปอร์เซ็นต์
Omega = S × Delta / V ใช้ประมาณเปอร์เซ็นต์เปลี่ยนของราคา Option ต่อเปอร์เซ็นต์เปลี่ยนของ underlying ขนาดเล็ก โดยถือ inputs อื่นคงที่ มีเครื่องหมายตาม Delta และไม่เสถียรเมื่อ premium ใกล้ศูนย์
Delta mirror strikes — คู่ Strike ที่มี Delta ตรงข้ามกัน
Strike ของ Call กับ Put ที่ทำให้ ordinary spot Delta มีขนาดเท่ากันและเครื่องหมายตรงข้าม ภายใต้ maturity, carry และ volatility เดียวกัน ผลคูณของ strikes คือ S² exp[(2b+σ²)T] ไม่ใช่คู่ strike ที่มี ITM probability เท่ากัน
Vanna — ความไวของ Delta ต่อ Volatility
อนุพันธ์ผสม ∂²V/(∂S∂σ) เท่ากับการเปลี่ยน Vega ต่อ spot เมื่อราคาเป็นฟังก์ชันเรียบ Vanna เป็นบวกหรือลบได้ ต้องระบุว่า volatility วัดเป็นทศนิยมหรือจุดเปอร์เซ็นต์
Vomma / Volga — ความโค้งของราคาต่อ Volatility
อนุพันธ์ ∂²V/∂σ² หรือการเปลี่ยน Vega เมื่อ volatility เปลี่ยน ภายใต้ BSM เท่ากับ raw Vega × d₁d₂/σ และอาจติดลบใกล้ forward ได้ การเป็น long Vega จึงไม่ได้แปลว่า Vomma เป็นบวกเสมอ
Risk-neutral density — ความหนาแน่นภายใต้มาตรวัดเพื่อการคิดราคา
ความหนาแน่นของราคาสินทรัพย์ปลายทางภายใต้ Q เมื่อดอกเบี้ยแน่นอนหาได้จาก exp(rT) คูณอนุพันธ์อันดับสองของราคา European Call ตาม strike ส่วนอนุพันธ์ที่ยังไม่ถอน discount เป็น state-price density ต้องใช้เส้นราคาเต็มเมื่อมี smile และไม่ตีความเป็นการแจกแจงภายใต้โลกจริงโดยอัตโนมัติ
ราคา ผลตอบแทน และกระบวนการสุ่ม
Stationarity — คุณสมบัติที่คงเดิมเมื่อเลื่อนเวลา
Weak stationarity กำหนดให้ mean คงที่ variance มีค่าจำกัดและคงที่ และ covariance ขึ้นกับระยะห่างเวลา ส่วน strict stationarity กำหนดให้ joint distribution ไม่เปลี่ยนเมื่อเลื่อนเวลาทุกตำแหน่งพร้อมกัน
White noise — ชุดช็อกที่ไม่มีสหสัมพันธ์ข้ามเวลา
กระบวนการที่ mean เป็นศูนย์ variance คงที่และมีค่าจำกัด และ covariance เป็นศูนย์ทุก lag ที่ไม่เป็นศูนย์ เงื่อนไขนี้ยังไม่รับประกัน independence; ต้องระบุเพิ่มหากต้องการ iid white noise
ARMA — Autoregressive moving average
แบบจำลองเชิงเส้นที่รวมค่ากระบวนการในอดีตกับ innovation ปัจจุบันและอดีต ต้องระบุเครื่องหมายของพจน์ MA และตรวจเงื่อนไข stationarity กับ invertibility ก่อนใช้สูตร ACF
ARIMA — ARMA ของข้อมูลที่ผ่านการหาผลต่าง
กำหนดให้ผลต่างลำดับ d ของอนุกรมเป็น ARMA ตัวอย่าง random walk ต้องหาผลต่างหนึ่งครั้งเพื่อได้ white noise การหาผลต่างเกินจำเป็นอาจเพิ่ม dependence และ variance
ARFIMA — แบบจำลองที่หาผลต่างแบบเศษส่วน
ขยายลำดับผลต่าง d ให้เป็นจำนวนจริง สำหรับ ARFIMA(0,d,0) เมื่อ 0<d<0.5 จะมี long memory: ACF ลดลงช้าตามกำลังของ lag ต่างจากการลดลงแบบเรขาคณิตของ ARMA
Skewness — ความเบ้
โมเมนต์กลางลำดับสามหารด้วย SD ยกกำลังสาม เมื่อโมเมนต์มีอยู่ ค่าบวกและลบสะท้อนความไม่สมมาตรคนละด้าน ค่าเป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่รับประกันว่าการแจกแจงสมมาตร
