Pairs Trading 2 · Cointegration

Correlation บอกการเคลื่อนไหวร่วมกัน

Correlation ของผลตอบแทนบอกความสัมพันธ์เชิงเส้นในช่วงข้อมูลที่วัด ค่าใกล้ 1 หมายถึงวันที่ A ให้ผลตอบแทนสูงกว่าค่าเฉลี่ย B ก็มักให้ผลตอบแทนสูงกว่าค่าเฉลี่ยด้วย มันไม่ได้กำหนดว่าราคาสองเส้นต้องกลับมามีส่วนต่างเท่าเดิม

ลองสร้างอนุกรมจากช็อกอิสระสองชุด โดย $X_t$ และ $Y_t$ เป็น random walk

หากช็อกแต่ละชุดมี variance เท่ากัน correlation ของผลต่างหนึ่งช่วงเท่ากับ $1/\sqrt{1+0.2^2}\approx0.981$ แต่ $A_t-B_t=0.2Y_t$ ยังเป็น random walk และ variance โตตามเวลา ตัวอย่างนี้เป็นระดับอนุกรมสมมติ ผลต่างของระดับยังไม่ใช่เปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนของหุ้น

เลื่อนกราฟแนวนอนบนจอเล็ก หรือแตะกราฟเพื่อเปิดขนาดเต็ม

Cointegration ตรวจส่วนผสมของอนุกรม

สำหรับกรณีสองตัวแปรที่เราจะใช้ ถ้า $P_{A,t}$ และ $P_{B,t}$ เป็น I(1) คือไม่ stationary ในระดับ แต่ผลต่างลำดับหนึ่งเป็น I(0) และมีค่าคงที่ $\alpha,h$ ที่ทำให้

เป็น I(0) เราเรียกว่าคู่นี้มี cointegration โดย $s_t$ คือ residual หรือ spread ที่นิยามด้วยสมการนี้ ทบทวน stationarity ได้ก่อนอ่านต่อ การเรียก I(0) ต้องอาศัยสมมติฐานเรื่องกระบวนการและความสัมพันธ์ตามเวลา มากกว่าดูว่าเส้นหนึ่งดูราบ

ตัวอย่างที่เรากำหนดโครงสร้างเองคือ

$X_t$ มี stochastic trend ส่วน $u_t$ เป็น AR(1) ที่ $|0.8|<1$ และเริ่มจากการแจกแจง stationary การลบ $20+1.3P_{B,t}$ ออกจาก A จะเหลือ $u_t$ การลบราคา A−B ตรง ๆ กลับเหลือ $20+0.3X_t+u_t$ ซึ่งยังมี trend ร่วมติดอยู่ ค่า h จึงเปลี่ยนสิ่งที่เรากำลังทดสอบ

แบบจำลองเชิงบวกสำหรับราคาหุ้นจริงอาจใช้ log price แต่ห้ามสลับหน่วยกลางทาง ถ้าสัญญาณเป็น $\log P_A-\alpha-h\log P_B$ สัมประสิทธิ์ h เป็นความสัมพันธ์ใน log scale; ส่วน P&L ต้องคำนวณจากจำนวนหุ้นและราคาซื้อขายจริง

สองภาพ: Correlation กับ Cointegration แยกกันได้

ในสองรูปนี้ correlation วัดจากผลต่างหนึ่งช่วง $\Delta A_t=A_t-A_{t-1}$ และ $\Delta B_t$ ไม่ใช่ correlation ของระดับราคา และไม่ใช่เปอร์เซ็นต์ผลตอบแทน ทั้งคู่ใช้ข้อมูลจำลอง 500 จุด พร้อมแสดงระดับอนุกรมด้านบน กราฟกระจายของผลต่างด้านล่างซ้าย และ spread ด้านล่างขวา

Cointegration without correlation

ให้ $X_t$ เป็น random walk ที่ช็อกแต่ละช่วงมี variance 1 และ $u_t$ เป็น white noise อิสระจาก X มี mean 0 และ variance 0.5 แล้วกำหนด

ทั้ง A และ B มีแนวโน้มสุ่มร่วมกัน แต่ $A_t-B_t=2u_t$ เป็น stationary จึงมี cointegration ขณะที่ $\Delta A_t=\Delta X_t+\Delta u_t$ และ $\Delta B_t=\Delta X_t-\Delta u_t$ มี covariance เท่ากับ $1-2(0.5)=0$ ดังนั้น correlation ของผลต่างหนึ่งช่วงตามแบบจำลองจึงเป็นศูนย์ ค่าที่วัดจากตัวอย่างจำนวนจำกัดอาจไม่เท่ากับศูนย์พอดี

เลื่อนกราฟแนวนอนบนจอเล็ก หรือแตะกราฟเพื่อเปิดขนาดเต็ม

Correlation without cointegration

กลับมาที่ $A_t=X_t+0.2Y_t$ และ $B_t=X_t$ โดย X กับ Y เป็น random walk อิสระ ช็อกของทั้งสองมี variance 1 ผลต่างหนึ่งช่วงมี correlation $1/\sqrt{1.04}\approx0.981$ แต่ spread $A_t-B_t=0.2Y_t$ ไม่ stationary เมื่อเริ่ม $Y_0=0$ จะมี variance เท่ากับ $0.04t$

แม้เปลี่ยน hedge ratio เป็น h ก็ยังเหลือ $A_t-hB_t=(1-h)X_t+0.2Y_t$ ไม่มีค่าคงที่ h ที่หักแนวโน้มสุ่มอิสระทั้งสองออกได้พร้อมกัน จึงไม่มี cointegration ในแบบจำลองนี้

เลื่อนกราฟแนวนอนบนจอเล็ก หรือแตะกราฟเพื่อเปิดขนาดเต็ม

สถานะ cointegration ของสองตัวอย่างนี้ทราบจากสมการที่ใช้สร้างข้อมูล ไม่ได้ตัดสินจากหน้าตากราฟหรือการผ่านเกณฑ์ correlation ดู seed สมมติฐาน และค่าที่คำนวณได้

ประมาณความสัมพันธ์โดยใช้เฉพาะข้อมูลฝึก

ในช่วง formation หรือ train เราหา $\hat\alpha,\hat h$ ด้วย OLS ของ A บน B แล้วตรวจ residual ด้วยวิธี Engle–Granger การทดสอบนี้ใช้สมมติฐานว่าอนุกรมอินพุตเป็น I(1) และใช้ critical values ที่เหมาะกับ residual ซึ่งได้จากการประมาณ regression มาแล้ว

from statsmodels.tsa.stattools import coint

# a_train and b_train contain synchronized training observations only.
statistic, p_value, critical_values = coint(
    a_train, b_train, trend="c", maxlag=5, autolag="aic"
)

H₀ ของคำสั่งนี้คือไม่มี cointegration ถ้า p-value ต่ำกว่าเกณฑ์ที่กำหนดไว้ เช่น 0.05 เราปฏิเสธ H₀ ภายใต้ข้อสมมติของการทดสอบ p=0.01 ไม่ได้แปลว่า spread จะกลับด้วยโอกาส 99% และการปฏิเสธ H₀ ไม่ได้บอกว่าจะกลับเมื่อไรหรือทำกำไรหลังต้นทุนได้เท่าไร ดูนิยามพารามิเตอร์และผลลัพธ์ที่ statsmodels: coint

Notebook ประกอบแสดงผลทดสอบจากชุดจำลองจริงและระบุค่าที่ส่งให้ฟังก์ชัน ค่าทดสอบอาจต่างกันเมื่อเปลี่ยน trend term, lag, หน้าต่างข้อมูล หรือสลับตัวแปรตามกับตัวแปรอิสระ ควรบันทึกการตัดสินใจเหล่านี้ก่อนเห็นผลช่วงทดสอบ

หากมีหุ้น 100 ตัว จะมี 4,950 คู่ให้ลอง ภายใต้กรณีสมมติที่ทุก H₀ เป็นจริงและแต่ละการทดสอบมีขนาด 5% จำนวนการปฏิเสธผิดที่คาดหมายคือ 247.5 คู่ แม้การทดสอบจะไม่อิสระจากกัน ตัวเลขนี้ใช้สอน multiple testing ไม่ใช่จำนวนคู่ผิดที่ทราบล่วงหน้าในข้อมูลจริง การจำกัด universe ด้วยเหตุผลทางเศรษฐศาสตร์และการควบคุม false discovery ช่วยลดการคัดจากผลที่ดูดีโดยบังเอิญได้

เปลี่ยน h แล้วดูว่าเหลืออะไรใน Spread

ข้อมูลในตัวทดลองมี 500 วันสมมติ ใช้ 250 วันแรกประมาณความสัมพันธ์ จากนั้นตรึงค่าประมาณไว้ ส่วนตัวเลือกความสัมพันธ์เปลี่ยน ให้ residual หลัง train เดินแบบ random walk การทำเช่นนี้สร้างเหตุการณ์ที่สมมติฐาน mean reversion ใช้ต่อไม่ได้โดยตั้งใจ

ปรับ h ให้ห่างจากค่าที่ประมาณได้ แล้วดูกราฟ residual อีกครั้ง เส้นที่เคยแกว่งรอบระดับเดิมจะมีส่วนของ trend เหลือมากขึ้น ตัวทดลองแสดงกลไกจากข้อมูลที่สร้างเอง จึงไม่แสดง p-value ที่แต่งขึ้นเพื่อให้หน้าตาดูเหมือนผลทดสอบตลาด

Half-life เป็นความเร็วภายใต้แบบจำลอง

ถ้าใช้ AR(1) แบบง่ายกับ spread ที่หัก mean แล้ว

เมื่อ $\phi=0.8$ จะได้ half-life ประมาณ 3.11 ช่วงสังเกต ถ้าข้อมูลเป็นรายวัน หน่วยก็คือวันซื้อขาย นี่คือเวลาที่ค่าคาดหมายของส่วนเบี่ยงเบนลดลงครึ่งหนึ่ง ไม่ใช่วันนัดที่ทุกเส้นทางจะกลับถึงเป้าหมาย

เมื่อประมาณ $\phi\ge1$ สูตรนี้ไม่ให้ half-life ของการลู่กลับตามแบบจำลอง ถ้า $\phi<0$ การตอบสนองจะสลับเครื่องหมายและต้องอธิบายอีกแบบ แม้ $0<\phi<1$ ช่วงความไม่แน่นอนของค่าประมาณและการเปลี่ยนโครงสร้างก็ยังมีผลต่อการกำหนดเวลาถือ

ก่อนแปลง spread เป็นสัญญาณ เราต้องกำหนดด้วยว่า “ห่างมาก” เทียบกับระดับความผันผวนใด → ตอน 3 · Signals & Backtest