How to Calculate return

เงิน 1 ล้านบาท ปีแรกกำไร 100% ปีที่สองขาดทุน 50% สรุปแล้วเราได้ผลตอบแทนเท่าไร?

ซื้อสินทรัพย์ 80 บาท ขาย 100 บาท ได้กำไร 20 บาท แต่ถ้าซื้ออีกสินทรัพย์ที่ 400 บาทแล้วขาย 420 บาท กำไร 20 บาทเท่ากันไม่ได้หมายถึงผลการลงทุนเท่ากัน เพราะเงินที่ใช้เริ่มต้นต่างกัน ตัวแรกให้ผลตอบแทน 25% ส่วนตัวที่สองให้ 5%

Return หรือผลตอบแทน ทำให้เราเปรียบเทียบการเปลี่ยนแปลงของเงินลงทุนในรูปสัดส่วนได้ ก่อนนำไปวัดความเสี่ยงหรือจัดพอร์ต ต้องตกลงกันก่อนว่าใช้ผลตอบแทนแบบไหน วัดนานเท่าไร และนับเงินที่ได้รับระหว่างถืออย่างไร

ตัวเลขในบทนี้เป็นตัวอย่างสมมติสำหรับอธิบายวิธีคำนวณผลตอบแทน

1. Simple return: ได้หรือเสียเท่าไรเมื่อเทียบกับเงินต้น

ให้ $P_{t-1}$ เป็นราคาต้นช่วง และ $P_t$ เป็นราคาปลายช่วง หน่วยเป็นบาทต่อหุ้นเหมือนกัน เมื่อไม่มีปันผล Simple return คือ

ตัว $t$ นับช่วงเวลาที่เลือก เช่น วัน เดือน หรือปี การเปรียบเทียบ 5% ต่อเดือนกับ 5% ต่อปีต้องแปลงให้เป็นช่วงเวลาเดียวกันก่อน

ราคา 80 → 100 ให้ $R=0.25$ หรือ 25% ตัวเลข 0.25 เป็นทศนิยมที่ใช้คำนวณ ส่วน 25% เป็นรูปแสดงผล ห้ามใส่ 25 ลงในสูตรที่ต้องการ 0.25

อีกค่าที่ใช้บ่อยคือ Gross return หรือ $G_t=1+R_t$ ซึ่งเป็นตัวคูณเงินลงทุน ตัวอย่างนี้ได้ $G=1.25$ หมายถึงเงินต้น 1 บาทกลายเป็น 1.25 บาท หรือได้กำไร 25%

ถ้ารับปันผล $D_t$ ต่อหุ้นเมื่อสิ้นช่วง ผลตอบแทนรวมก่อนภาษีและค่าใช้จ่ายคือ

เช่น ซื้อ 80 บาท สิ้นช่วงเหลือ 79 บาท แต่รับปันผล 3 บาท ผลตอบแทนจากราคาเท่ากับ −1.25% ขณะที่ผลตอบแทนรวมเท่ากับ 2.5% หากใช้ราคาหรือดัชนีที่ปรับปันผลไว้แล้ว ต้องตรวจวิธีปรับก่อนเพื่อไม่บวกปันผลซ้ำ การเชื่อมผลตอบแทนรวมหลายช่วงด้วยการคูณสะท้อนการนำเงินที่ได้รับกลับไปลงทุนตามวิธีสร้างชุดข้อมูลนั้น

2. หลายช่วงเวลา: ทำไมบวกเปอร์เซ็นต์ตรง ๆ ไม่ได้

ลองเริ่มจากเงินลงทุน 1,000,000 บาท ปีแรกกำไร 100% และปีที่สองขาดทุน 50% ตลอดสองปีไม่มีการฝากถอนเงินเพิ่ม และสมมติว่าไม่มีปันผล ภาษี หรือค่าใช้จ่าย

การบวก $100\%-50\%=50\%$ จะให้คำตอบว่าได้กำไรครึ่งล้าน ลองเทียบกับจำนวนเงินจริงทีละปี

ปีแรกกำไร 100% ของเงิน 1 ล้านบาท จึงได้กำไร 1 ล้านบาท ส่วนปีที่สองขาดทุน 50% ของเงิน 2 ล้านบาท ก็เสีย 1 ล้านบาทเท่ากัน สุดท้ายเงินกลับมาเท่าทุน

ผลตอบแทนสะสมทั้งสองปีคือ

ใช้ตัวคูณเงินลงทุนเชื่อมแต่ละปี

กำไร 100% หมายถึงเงินกลายเป็น 2 เท่า ส่วนขาดทุน 50% หมายถึงเงินเหลือ 0.5 เท่า ตัวคูณของทั้งสองปีจึงเป็น

เงินปลายทางเท่ากับ 1 เท่าของเงินตั้งต้น เมื่อหักเงินต้นหนึ่งเท่าออก ผลตอบแทนสะสมจึงเป็น $1-1=0$ สำหรับ $T$ ช่วงเวลาที่ต่อกัน หลักเดียวกันเขียนได้ว่า

เครื่องหมาย $\prod$ หมายถึงนำทุกพจน์มาคูณกัน สูตรนี้คูณ gross returns ของทุกช่วงเข้าด้วยกัน แล้วลบหนึ่งเพื่อหาผลตอบแทนสะสม

3. Log return: เปลี่ยนการคูณให้เป็นการบวก

Log return เริ่มจากตัวคูณเงินลงทุนเช่นเดียวกัน แล้วนำมาหาลอการิทึมธรรมชาติ $\ln$ ซึ่งมีฐาน $e$ ไม่ใช่ log ฐาน 10 ให้ $V_t$ เป็นมูลค่าเงินลงทุนเมื่อสิ้นช่วง $t$

ในตัวอย่างนี้ปีแรกเงินเพิ่มเป็น 2 เท่า จึงมี log return เท่ากับ $\ln 2$ ปีที่สองเงินเหลือครึ่งหนึ่ง จึงมี log return เท่ากับ $\ln 0.5$

ถ้ายังไม่คุ้นกับ log ให้เริ่มจากความสัมพันธ์ $e^r=1+R$: log return คือจำนวน $r$ ที่เมื่อใช้เป็นเลขชี้กำลังของ $e$ แล้วจะได้ตัวคูณเงินลงทุนกลับมา ปีแรก $e^{0.693147}\approx2$ ส่วนปีที่สอง $e^{-0.693147}\approx0.5$

ทำไม Log return จึงบวกข้ามเวลาได้

ลอการิทึมมีคุณสมบัติว่า $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นบวก ดังนั้น

ผลรวม log returns ของช่วงเวลาที่ต่อกันเท่ากับ log return จากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด คุณสมบัตินี้เรียกว่า การบวกข้ามเวลา (time additivity)

ดูเหตุผลอีกแบบหนึ่ง โดยเขียนมูลค่าแต่ละปีเป็น $V_0,V_1,V_2$

มูลค่า $V_1$ ที่คั่นระหว่างสองปีตัดกัน เหลือเพียงมูลค่าสุดท้ายเทียบกับมูลค่าเริ่มต้น เราจึงเลือกคำนวณทีละปีแล้วบวก หรือคำนวณรวดเดียวจากต้นถึงปลายก็ได้คำตอบเดียวกัน หากแบ่งช่วงเดียวกันเป็นรายเดือนแล้วบวก log returns ทุกเดือน ผลรวมก็ยังเท่าเดิม

สำหรับหลายช่วงเวลา

สูตรนี้ใช้กับมูลค่าบวกของเงินลงทุนก้อนเดียวกัน โดยไม่มีฝากถอนภายนอก หรือใช้อนุกรมที่ปรับกระแสเงินสดไว้แล้ว ช่วงที่นำมารวมต้องต่อกันครบและไม่ซ้อนกัน เช่น รวม log returns รายเดือน 12 เดือนเป็นหนึ่งปีได้ แต่ห้ามนำผลรายปีนั้นมาบวกซ้ำกับ 12 เดือนเดิม

จากผลรวม Log return กลับมาเป็นเงินและเปอร์เซ็นต์

ผลรวมยังอยู่ในหน่วย log แปลงเป็นผลตอบแทนสะสมและเงินปลายทางได้ด้วย

ตัวอย่างสองปีมี $r_{0:2}=0$ จึงได้ผลตอบแทนสะสม $e^0-1=0\%$ และเงินปลายทาง $1{,}000{,}000\times e^0=1{,}000{,}000$ บาท ตรงกับจำนวนเงินที่เราติดตามในตาราง

อย่าอ่าน log return $0.693147$ ของปีแรกว่าได้กำไร 69.3147% เงินปีแรกเพิ่มขึ้น 100% เพราะ $e^{\ln 2}-1=1$ หรือ 100% หากแสดง log return คูณ 100 ต้องระบุหน่วยว่า log return × 100

คุณสมบัตินี้ใช้ได้แม้เงินไม่กลับมาเท่าเดิม

สมมติปีที่สามได้กำไรอีก 20% เงินจึงเพิ่มจาก 1 ล้านบาทเป็น 1.2 ล้านบาท ผลรวม log returns ทั้งสามปีเป็น

แปลงกลับได้ $e^{\ln 1.2}-1=20\%$ เท่ากับผลตอบแทนจากเงินต้น 1 ล้านบาทไปถึง 1.2 ล้านบาทพอดี

Simple return กับ log return วัดการเปลี่ยนแปลงของเงินก้อนเดียวกัน เมื่อ gross return เป็นบวกจึงแปลงกลับไปมาได้โดยตรง การประมาณเกิดขึ้นเมื่อใช้ $r_t\approx R_t$ สำหรับผลตอบแทนขนาดเล็ก

ชื่อ continuously compounded return มาจากการเขียนตัวคูณการเติบโตเป็น $e^r$ เราคำนวณ log return จากมูลค่าที่สังเกตปีละครั้งได้ โดยไม่ต้องสมมติว่าราคาเคลื่อนที่ต่อเนื่อง

ทดลองเปลี่ยนตัวเลข: เงินกับ Log return ไปด้วยกันอย่างไร

เริ่มจาก +100% แล้ว −50% จากนั้นเลือก +100% แล้ว −25% ดูว่าแท่ง Log return ยังหักล้างกันหมดหรือไม่ กด สลับลำดับปี เพื่อเปรียบเทียบเงินระหว่างทางกับเงินปลายทาง แล้วลองเลื่อนค่าเอง

4. ผลตอบแทนที่ต้องได้เพื่อกลับมาเท่าทุน

เมื่อราคาลดลงแล้วกลับขึ้นมาเท่าเดิม simple return ของขาลงกับขาขึ้นมีขนาดต่างกัน ส่วน log return มีขนาดเท่ากันแต่คนละเครื่องหมาย Motty Shai อธิบายความต่างนี้ไว้ใน เอกสารต้นทาง

ใช้ตัวอย่างสมมติ 80 → 60 → 80 บาท ขาลงคือ −25% แต่ขากลับต้องได้ $80/60-1=33.3333\%$ ส่วน log returns เท่ากับ −0.287682 และ +0.287682 รวมกันเป็นศูนย์

ถ้าขาดทุนเป็นสัดส่วน $L$ ของเงินเริ่มต้น โดย $0\leq L<1$ ผลตอบแทนที่ต้องได้จากเงินที่เหลือเพื่อกลับไปเท่าทุนคือ

ฐานเงินที่ลดลงทำให้ต้องได้กำไรในอัตราที่สูงขึ้นเพื่อกลับมาเท่าทุน Shai เรียกผลนี้ว่า inverse compound interest ซึ่งคำนวณได้จากสูตรทบต้นข้างต้น การใช้ log return เปลี่ยนวิธีแสดงผล ส่วนจำนวนเงินที่ขาดทุนยังเท่าเดิม

สำหรับการถือสินทรัพย์ long โดยไม่กู้ยืมและไม่มีภาระเพิ่มเติม simple return ต่ำสุดคือ −100% เมื่อมูลค่าลงเป็นศูนย์ แต่ log return ไม่มีค่าจำกัด ณ จุดนั้น เพราะ $\ln 0$ ไม่ได้ถูกนิยามเป็นจำนวนจริง เมื่อมูลค่าเข้าใกล้ศูนย์ log return จะมุ่งไปที่ $-\infty$ กรณีพอร์ตลงทุนเกินเงินทุนที่มี หรือมูลค่าสุทธิไม่เป็นบวกต้องพิจารณาแยก ไม่ควรลบข้อมูลนั้นเงียบ ๆ เพื่อให้คำนวณ log ได้

5. เมื่อไรสองค่าจึงใกล้กัน

การกระจาย Taylor รอบศูนย์ให้

ใกล้ศูนย์ พจน์กำลังสองและสูงกว่ายังเล็ก การใช้ $r\approx R$ จึงอาจสะดวก แต่ความคลาดเคลื่อนขึ้นกับขนาดผลตอบแทนและความแม่นยำที่งานต้องการ

โดยทั่วไป $\ln(1+R)\leq R$ สำหรับ $R>-1$ และเท่ากันเฉพาะที่ศูนย์ จึงไม่ควรแทนสองค่าเข้าหากันโดยไม่ดูขนาดการเปลี่ยนแปลง โดยเฉพาะช่วงตลาดเคลื่อนไหวแรง

6. ค่าเฉลี่ย: ผลตอบแทนเฉลี่ยกับการเติบโตของเงินเป็นคนละคำถาม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของ simple returns คือ

ในตัวอย่างปีแรก +100% ปีที่สอง −50% ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $(100\%-50\%)/2=25\%$ ต่อปี แต่เงินปลายทางยังเท่ากับเงินต้น 1 ล้านบาท การเฉลี่ยเปอร์เซ็นต์จึงไม่ได้บอกว่าเงินโตทบต้นปีละเท่าไร

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ตอบว่า ถ้าโตด้วยอัตราคงที่ทุกปี ต้องใช้อัตราเท่าไรจึงได้เงินปลายทางเท่าเดิม

กรณีนี้ $g=\sqrt{2\times0.5}-1=0\%$ ต่อปี เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ย log return ที่เป็นศูนย์: $\bar r=(\ln 2+\ln 0.5)/2=0$ แล้วแปลงกลับด้วย $e^{\bar r}-1=0$

ถ้าวัดเป็นปี ใช้ CAGR (compound annual growth rate) โดยให้ $Y$ เป็นจำนวนปีที่ถือ และ $V$ เป็นมูลค่าเงินลงทุนที่ไม่มีฝากถอนภายนอก

เงิน 1,000 → 1,210 บาทในสองปีมี CAGR 10% ต่อปี ไม่ใช่ 21% ÷ 2 = 10.5% และ CAGR ไม่ได้บอกว่าแต่ละปีได้ 10% จริง การทำข้อมูลระยะสั้นให้เป็นอัตราต่อปีเป็นเพียงการแปลงหน่วยด้วยการทบต้น ไม่ใช่การพยากรณ์ว่าจะทำซ้ำได้ทั้งปี

7. รวมข้ามสินทรัพย์: กลับมาใช้ simple return

ให้ $w_{i,t-1}$ เป็นน้ำหนักสินทรัพย์ $i$ ตามมูลค่าพอร์ตต้นช่วง โดยน้ำหนักรวมเท่ากับหนึ่ง ถ้าไม่มีฝากถอนหรือซื้อขายระหว่างช่วง และรวมกระแสเงินสดกับค่าใช้จ่ายในผลตอบแทนอย่างสอดคล้องกัน

สมมติพอร์ต 1,000 บาท ลงทุน A 600 บาท และ B 400 บาท ในเดือนเดียวกัน A ได้ +20% ส่วน B ได้ −10%

ผลตอบแทนพอร์ตเท่ากับ $0.6(0.20)+0.4(-0.10)=0.08$ ส่วน log return ของพอร์ตต้องคำนวณจาก

ได้ $\ln(1.08)=0.076961$ แต่การถ่วงน้ำหนัก log return ของสินทรัพย์ตรง ๆ ได้ $0.6\ln(1.2)+0.4\ln(0.9)=0.067249$ ซึ่งไม่เท่ากัน

เมื่อขึ้นเดือนใหม่ น้ำหนัก A กลายเป็น $720/1080=2/3$ และ B เป็น $1/3$ ถ้าไม่ได้ปรับพอร์ต การคงน้ำหนัก 60/40 ในทุกเดือนเท่ากับสมมติว่าปรับพอร์ตกลับสู่น้ำหนักเป้าหมายทุกต้นเดือน ต้องนับต้นทุนการปรับด้วยเมื่อนำไปใช้งานจริง

การรวมข้ามเวลาใช้การคูณ gross returns หรือบวก log returns ของพอร์ตเดียวกัน ส่วนการรวมสินทรัพย์ในช่วงเดียวกันใช้ simple returns ถ่วงด้วยน้ำหนักต้นช่วง แล้วค่อยแปลงผลรวมเป็น log หากต้องการ

8. เปลี่ยนเป็น log ไม่ได้ทำให้ข้อมูลเป็น Normal

คุณสมบัติการบวกข้ามเวลาเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ ใช้ได้แม้ log returns ไม่เป็น Normal หรือมีความสัมพันธ์กัน การแจกแจงและความเป็นอิสระจึงเป็นสมมติฐานที่ต้องตรวจแยกกัน

ถ้าตั้งสมมติฐานว่า log returns หลายช่วงมีการแจกแจงปกติร่วมกัน ผลรวมจึงเป็น Normal และเมื่อราคาเริ่มต้นเป็นค่าคงที่บวก ราคาปลายทางที่เขียนเป็น $P_T=P_0e^{\sum_t r_t}$ จะเป็น Lognormal กรณีผลตอบแทนแต่ละช่วงเป็น Normal และเป็นอิสระกันเป็นเงื่อนไขหนึ่งที่เพียงพอ แต่ความเป็นบวกของราคาอย่างเดียวไม่เพียงพอ

บทความของ Simon Leung ชวนพิจารณาข้อจำกัดของสมมติฐานการแจกแจง ในการใช้งานจริงต้องตรวจข้อมูลและวิธีทดสอบเพิ่มเติม การประมาณพารามิเตอร์จากตัวอย่างแล้วใช้ KS test แบบมาตรฐานกับตัวอย่างเดิมต้องปรับวิธีหาค่า p-value ให้รองรับการประมาณนั้น จึงไม่ควรยกค่า p-value ในบทความมาเป็นข้อยืนยันแบบจำลองของเรา บทความต้นทาง

9. ลองเช็กความเข้าใจด้วยตัวเอง

ถ้าสลับลำดับเป็นปีแรกขาดทุน 50% แล้วปีที่สองกำไร 100% เงินปลายทางจะเปลี่ยนหรือไม่? ใช้เงินต้น 1 ล้านบาทเหมือนเดิม ไม่มีฝากถอนและค่าใช้จ่าย ลองคิดทั้งจำนวนเงิน ตัวคูณ และ log return ก่อนเปิดคำตอบ

แล้วถ้าปีแรกกำไร 100% และปีที่สองขาดทุนเพียง 25% ล่ะ? ผลรวม log returns จะยังเป็นศูนย์หรือไม่?

10. เลือกใช้ให้ตรงคำถาม

กรณีมีฝากถอน เงินเข้าพอร์ตไม่ใช่กำไรจากการลงทุน อัตราเปลี่ยนแปลงของยอดบัญชีจึงใช้ตรง ๆ ไม่ได้ ต้องแยกกระแสเงินสดภายนอกก่อน เช่น แบ่งช่วงตามจุดฝากถอนเพื่อวัด time-weighted return หรือใช้ money-weighted return เมื่อคำถามเกี่ยวกับผลตอบแทนของเงินที่ผู้ลงทุนใส่จริง

แหล่งอ้างอิงและข้อสังเกตในการอ่าน

1. Motty Shai. Simple return vs. Logarithmic return — additional aspects. 1 กุมภาพันธ์ 2025 ปรับปรุง 2 มีนาคม 2025 ตามไฟล์ PDF ที่ได้รับ — SSRN 5161959. ใช้ประเด็นผลตอบแทนขาไป–ขากลับและการเปลี่ยนผลคูณเป็นผลบวก ไม่รับข้อสรุปว่าการใช้ log เพียงอย่างเดียวทำให้ Backtest ดีขึ้นหรือแก้ความเสี่ยงได้โดยอัตโนมัติ
2. Simon Leung. A brief overview on simple returns and log returns in financial data. 5 ธันวาคม 2024 — Medium. ใช้เป็นกรอบเปรียบเทียบสองนิยามและข้อควรระวังเรื่องการแจกแจง ตัวอย่างราคา 100 → 110 → 90 → 120 ในต้นทางต้องได้ผลตอบแทนรวม 20% พอดีเมื่อไม่ปัดเศษระหว่างทาง ไม่ใช่ 20.04%
3. AlgoAddict Diary. Simple Return VS Log Return ความแตกต่างที่ไม่ควรมองข้าม!. 10 มกราคม 2019 — Medium. ใช้เป็นจุดเริ่มต้นเรื่องการบวกผลตอบแทนข้ามเวลา สูตรแปลงกลับต้องเป็น $e^r-1$: $e^{\ln(1.5)}=1.5$ คือ gross return จึงต้องลบหนึ่งก่อนรายงานกำไร 50% ไม่จำเป็นต้องใช้ log เสมอไปหากทบต้น simple returns ถูกต้อง