Portfolio Management Toolkit Notes

ความเสี่ยงในการลงทุน — จากความไม่แน่นอนสู่การวัดความเสี่ยงของพอร์ต

มนุษย์ไม่ได้มองแค่ผลตอบแทนที่อาจได้รับ แต่ยังสนใจว่าต้องเสี่ยงกับอะไรเพื่อให้ได้มันมา

แถบกระดาษสีขาว ม่วง และเขียวอมฟ้า เคลื่อนไปต่างระดับ สื่อถึงอนาคตการลงทุนที่มีผลลัพธ์ได้หลายแบบ — เงินตั้งต้นเดียวกันอาจนำไปสู่ผลลัพธ์หลายแบบ · ภาพประกอบแนวคิดสร้างด้วย AI ไม่ใช่กราฟหรือผลพยากรณ์

ถ้าการลงทุนสองแบบให้ผลตอบแทนคาดหวังเท่ากัน เราก็ยังอาจรู้สึกกับมันต่างกัน แบบหนึ่งอาจให้ผลลัพธ์อยู่ใกล้เคียงกัน ขณะที่อีกแบบมีโอกาสได้กำไรมาก แต่ก็อาจเสียเงินต้นไปมากเช่นกัน การรู้เพียงว่า “โดยเฉลี่ยจะได้เท่าไร” จึงยังไม่พอให้ตัดสินใจว่าอยากนำเงินไปลงทุนแบบไหน

ยิ่งไปกว่านั้น เงินแต่ละก้อนมีหน้าที่ต่างกัน เงินที่เก็บไว้ลงทุนระยะยาวกับเงินที่ต้องใช้จ่ายในอีกไม่กี่เดือนทำให้เรายอมรับผลลัพธ์แบบเดียวกันได้ไม่เท่ากัน สิ่งที่ต้องพิจารณาจึงมีทั้งโอกาสขาดทุน ขนาดเงินที่อาจเสีย และผลกระทบต่อเป้าหมายที่วางไว้

ความเสี่ยงเข้ามาอยู่ในการตัดสินใจลงทุนตรงนี้ เราให้คุณค่ากับทั้งผลตอบแทนและความไม่แน่นอนที่มาพร้อมกัน ในการลงทุนเชิงปริมาณ เรานำความไม่แน่นอนนั้นมาอธิบายด้วยความน่าจะเป็นและแบบจำลอง เพื่อเปรียบเทียบว่าพอร์ตแต่ละแบบอาจพาเราไปพบผลลัพธ์อะไร และผลลัพธ์ใดที่เรารับได้หรือรับไม่ได้

ความเสี่ยงในการลงทุนคืออะไร

ในบทนี้ ความเสี่ยงในการลงทุนหมายถึงความไม่แน่นอนของผลลัพธ์ทางการเงิน โดยเฉพาะโอกาสและขนาดของผลลัพธ์ที่ผู้ลงทุนไม่ต้องการ ผลลัพธ์นั้นอาจเป็นการขาดทุน มูลค่าพอร์ตต่ำกว่าเป้าหมาย หรือผลตอบแทนเบี่ยงเบนจาก Benchmark เราจะเลือกตัววัดให้ตรงกับคำถาม เพราะแต่ละทฤษฎีไม่ได้ใช้คำว่า “ความเสี่ยง” ในความหมายเดียวกันทั้งหมด

สิ่งที่ Quant ทำต่อจากคำอธิบายนี้คือกำหนดผลลัพธ์ให้ชัด เช่น ผลตอบแทนพอร์ต $R_{p,t+h}$ มูลค่าอนาคต $V_{t+h}$ หรือผลขาดทุนในช่วง $h$ แล้วสร้างแบบจำลองการแจกแจงภายใต้ข้อมูลที่รู้ในปัจจุบัน

หากไม่มีเงินเข้าออกและใช้เงินต้นเป็นจุดอ้างอิง เราอาจกำหนด

L_{t,h}=V_t-V_{t+h}.

$L_{t,h}$ เป็นบวกเมื่อขาดทุน และเป็นลบเมื่อมีกำไร ถ้าโจทย์ลงทุนเปลี่ยนเป็นการมีเงินให้ถึงเป้าหมาย $G$ ตัวแปรที่สนใจอาจเป็นส่วนขาด $\max(G-V_{t+h},0)$ แทน การเลือกจุดอ้างอิงจึงเปลี่ยนความหมายของสิ่งที่กำลังวัด

ตัวอย่างทั้งหมดในบทเป็นข้อมูลสมมติ ไม่มีเงินฝากถอน ภาษี หรือค่าธรรมเนียม เว้นแต่ระบุไว้ต่างหาก ความน่าจะเป็นในตัวอย่างเป็นสมมติฐานที่กำหนดเพื่อการเรียน ไม่ใช่ค่าที่ประมาณจากตลาด

ตัวอย่างเช่น ให้โอกาสเกิดแต่ละสถานการณ์เท่ากับ 50% และเริ่มด้วยเงินหนึ่งล้านบาท

สถานการณ์ / ตัววัด	พอร์ต P	พอร์ต Q
เงินปลายปีในสถานการณ์ต่ำ	1,050,000 บาท	800,000 บาท
เงินปลายปีในสถานการณ์สูง	1,150,000 บาท	1,400,000 บาท
เงินปลายปีที่คาดหวัง	1,100,000 บาท	1,100,000 บาท
ผลตอบแทนที่คาดหวัง	10%	10%
Standard deviation ของผลตอบแทนตามความน่าจะเป็นที่กำหนด	5%	30%
โอกาสเงินปลายปีต่ำกว่าเงินต้นตามสมมติฐาน	0%	50%

ผลตอบแทน P อยู่ที่ 5% หรือ 15% ส่วน Q อยู่ที่ −20% หรือ 40% โอกาสกรณีละ 50% ค่าเฉลี่ยเท่ากันที่ 10% — ตัวอย่างสมมติจากตาราง: จุดทึบคือสองผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน ข้าวหลามตัดคือค่าเฉลี่ย เส้นเชื่อมแสดงระยะระหว่างผลลัพธ์ ไม่ได้หมายความว่าทุกค่าบนเส้นมีโอกาสเกิดขึ้น

ผลตอบแทนคาดหวังเท่ากัน แต่ผลลัพธ์ที่ต้องเผชิญต่างกัน ตัวเลข 10% ไม่ใช่คำสัญญาว่าเงินทุกเส้นทางจะโต 10% และ standard deviation ในตารางนี้คำนวณจากการแจกแจงที่กำหนดไว้ ไม่ใช่ sample standard deviation จากข้อมูลสองปี

ใครเป็นคนแรกที่นิยามความเสี่ยง

การระบุชื่อคนเดียวจะทำให้เรื่องคลาดเคลื่อน เพราะ “ความเสี่ยง” “การตัดสินใจภายใต้ความเสี่ยง” และ “ตัววัดความเสี่ยงของพอร์ต” เป็นคนละคำถาม

หากถามถึงรากฐานการเลือกพอร์ตสมัยใหม่ งานของ Harry Markowitz ปี 1952 เป็นจุดเริ่มต้นสำคัญ แต่แนวคิดเรื่องความไม่แน่นอน การให้คุณค่ากับผลลัพธ์ และการกระจายการลงทุนมีมาก่อนแล้ว ส่วน A. D. Roy ก็เสนอแนวทาง Safety First ในปีเดียวกัน

เส้นทางต่อไปนี้เลือกเฉพาะงานที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับการวิเคราะห์และจัดพอร์ตเชิงปริมาณ

Daniel Bernoulli, 1738: จำนวนเงินคาดหวังไม่พอสำหรับอธิบายการตัดสินใจ

Bernoulli เสนอให้พิจารณาอรรถประโยชน์ของเงินหรือ utility โดยคุณค่าของเงินที่เพิ่มขึ้นขึ้นกับความมั่งคั่งเดิม แนวคิดนี้เป็นรากฐานสำคัญของการอธิบายความไม่ชอบความเสี่ยงและการเลือกลงทุน

ในภาษาปัจจุบัน เราพิจารณา $E[U(W)]$ โดย $W$ คือความมั่งคั่งอนาคต และ $U$ คือฟังก์ชัน utility สำหรับผู้ลงทุนที่ไม่ชอบความเสี่ยง ฟังก์ชันนี้มีลักษณะเว้า การให้ทางเลือกสองทางมีเงินคาดหวังเท่ากันจึงยังไม่ทำให้ผู้ลงทุนให้คุณค่าเท่ากัน Bernoulli ยังอธิบายประโยชน์ของการแบ่งสินค้าขนส่งไปกับเรือหลายลำ แสดงว่าแนวคิดการกระจายความเสี่ยงมีมาก่อนทฤษฎีพอร์ตของ Markowitz หลายศตวรรษ Bernoulli: งานปี 1738 ในฉบับแปลอังกฤษปี 1954

Louis Bachelier, 1900: ใช้ความน่าจะเป็นอธิบายราคาตลาด

ใน Théorie de la spéculation Bachelier นำความน่าจะเป็นมาศึกษาการเคลื่อนไหวของราคาและการเก็งกำไร งานนี้เป็นหนึ่งในรากฐานของ stochastic models ในการเงิน

บทบาทสำคัญต่อเรื่องความเสี่ยงคือการทำให้ผลลัพธ์ราคาในอนาคตเป็นสิ่งที่ศึกษาในรูปการแจกแจงได้ ประเด็นนี้ต่างจากการตัดสินว่าผู้ลงทุนควรถือสินทรัพย์ใด และแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงราคาของ Bachelier ก็ไม่ใช่ GBM ของราคาบวกที่มักใช้สอนในภายหลัง Bachelier, 1900

Frank Knight, 1921: Risk กับ Uncertainty ต่างกันอย่างไร

Knight แยกความไม่แน่นอนที่วัดได้ด้วยความน่าจะเป็นออกจากความไม่แน่นอนที่วัดเช่นนั้นไม่ได้ โดยใช้คำว่า risk กับแบบแรก และ uncertainty กับแบบหลัง

เมื่อนำแนวคิดนี้มาใช้กับ Quant เราต้องแยกการคำนวณภายใต้การแจกแจงที่กำหนดออกจากคำถามว่าการแจกแจงนั้นเหมาะสมหรือไม่ ตัวเลข VaR ที่คำนวณได้จึงไม่ได้พิสูจน์ว่าเรารู้ความน่าจะเป็นของตลาดจริงครบแล้ว Knight: Risk, Uncertainty, and Profit, 1921, Part III Chapter VIII

Harry Markowitz, 1952: วัดความเสี่ยงของพอร์ตทั้งก้อน

Portfolio Selection วางกรอบเลือกพอร์ตด้วยผลตอบแทนคาดหวังและ variance ของผลตอบแทน โดย variance ของพอร์ตขึ้นกับทั้งความผันผวนของสินทรัพย์และ covariance ระหว่างกัน

เขียนในสัญลักษณ์ปัจจุบันได้ว่า

E[R_p]=w^\top\mu,\qquad \operatorname{Var}(R_p)=w^\top\Sigma w,

โดย $w$ เป็นน้ำหนักพอร์ต $\mu$ เป็นผลตอบแทนคาดหวังของสินทรัพย์ และ $\Sigma$ เป็น covariance matrix

สิ่งที่ทำให้การจัดพอร์ตเปลี่ยนไปคือการประเมินว่าสินทรัพย์หนึ่งเพิ่มหรือลดความเสี่ยงให้พอร์ตโดยรวมอย่างไร แทนการพิจารณาความผันผวนของมันลำพัง กรอบนี้นำไปสู่ efficient frontier และการเปรียบเทียบพอร์ตภายใต้ risk–return trade-off Markowitz, Portfolio Selection, 1952; คำบรรยาย Nobel ของ Markowitz

Variance เป็นตัวแทนความเสี่ยงที่เลือกใช้ในกรอบนี้ ไม่ได้ทำให้ความเสี่ยงทุกชนิดมีความหมายเท่ากับ variance การคำนวณ variance ไม่ต้องสมมติ Normal แต่การใช้ mean และ variance เป็นข้อมูลเพียงพอสำหรับตัดสินใจทุกกรณีต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม

A. D. Roy, 1952: ให้ความสำคัญกับการหลุดระดับที่รับไม่ได้

Roy เสนอ Safety First and the Holding of Assets โดยให้ความสำคัญกับการหลีกเลี่ยงมูลค่าพอร์ตที่ตกต่ำกว่าระดับอันตราย เมื่อรู้เพียงค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมของสินทรัพย์ งานเดิมเลือกพอร์ตโดยลดขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น วิธีนี้จึงยังไม่ได้อ้างว่ารู้โอกาสเกิดเหตุการณ์ร้ายแรงอย่างแน่นอน

แนวคิดนี้ทำให้เห็นอีกด้านของความเสี่ยง: ผู้ลงทุนอาจให้ความสำคัญกับการมีเงินไม่พอหรือการขาดทุนเกินเกณฑ์ มากกว่าการแกว่งรอบค่าเฉลี่ยทั้งขาขึ้นและขาลง โจทย์ shortfall จึงมีประวัติร่วมยุคกับ mean–variance ตั้งแต่ปี 1952 Roy, 1952

CAPM ในทศวรรษ 1960: ความเสี่ยงชนิดใดเกี่ยวข้องกับผลตอบแทนคาดหวัง

งานของ William Sharpe (1964) และ John Lintner (1965) เป็นส่วนสำคัญของการพัฒนา CAPM ซึ่งเชื่อมผลตอบแทนคาดหวังกับความเสี่ยงที่สัมพันธ์กับพอร์ตตลาด โดยใช้ beta เป็นตัววัดความไวต่อผลตอบแทนตลาด

ภายใต้สมมติฐานของ CAPM ผลตอบแทนคาดหวังส่วนที่เกินอัตราปลอดความเสี่ยงขึ้นกับ beta ส่วนความเสี่ยงเฉพาะสินทรัพย์ที่กระจายออกได้ไม่ทำให้ได้รับผลตอบแทนคาดหวังเพิ่มในสมดุล นี่เป็นข้อสรุปของแบบจำลอง ไม่ใช่คำรับรองว่าหุ้นที่ผันผวนมากจะให้กำไรจริงมากกว่า Sharpe, 1964, Lintner, 1965

ความผันผวนที่เปลี่ยนตามเวลา และคุณสมบัติของตัววัดความเสี่ยง

งาน ARCH ของ Robert Engle (1982) เปิดกรอบแบบจำลอง conditional variance ที่เปลี่ยนตามข้อมูลอดีต และ GARCH ของ Tim Bollerslev (1986) ขยายโครงสร้างนี้ ต่อมาเครื่องมืออย่าง RiskMetrics นำการประมาณ volatility และ covariance ตามเวลามาใช้กับการวัด market risk ในทางปฏิบัติ Engle, 1982; Bollerslev, 1986

อีกสายหนึ่งถามว่าตัววัดความเสี่ยงควรมีคุณสมบัติอะไร งาน Coherent Measures of Risk ของ Artzner, Delbaen, Eber และ Heath ที่ตีพิมพ์ปี 1999 เสนอคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์สี่ข้อ รวมถึงการรวมสถานะที่ไม่ควรให้ค่าความเสี่ยงเกินผลบวกของแต่ละสถานะในกรอบนั้น งานนี้ช่วยแยกการตั้งชื่อตัวเลขออกจากการตรวจคุณสมบัติของตัววัด ต้นฉบับผู้เขียน; ข้อมูลตีพิมพ์ปี 1999

ตัววัดที่เรียกว่า Coherent ต้องมีคุณสมบัติอะไร

ให้ $\rho(L)$ เป็นค่าความเสี่ยงของผลขาดทุน $L$ และให้ค่าบวกหมายถึงขาดทุน คุณสมบัติทั้งสี่คือ

Monotonicity: ถ้า $L_1\le L_2$ ทุกสถานการณ์ ต้องมี $\rho(L_1)\le\rho(L_2)$
Translation invariance: ถ้าเพิ่มผลขาดทุนแน่นอน $a$ ค่าความเสี่ยงเพิ่มเท่ากัน: $\rho(L+a)=\rho(L)+a$
Positive homogeneity: ถ้าขยายสถานะเป็น $k\ge0$ เท่า โดยให้ผลขาดทุนขยายตามสัดส่วน ค่าความเสี่ยงขยายเป็น $k$ เท่า
Subadditivity: $\rho(L_1+L_2)\le\rho(L_1)+\rho(L_2)$ ความเสี่ยงของสถานะรวมไม่เกินผลบวกความเสี่ยงของแต่ละสถานะ

นี่เป็นเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับตัววัด ไม่ได้ยืนยันว่าการแจกแจงที่ป้อนให้ตัววัดตรงกับตลาดจริง และการขยายสถานะจริงอาจมีต้นทุนหรือผลต่อสภาพคล่องจน loss ไม่ขยายเป็นเส้นตรง

ทฤษฎีเหล่านี้ตอบคนละคำถาม

กรอบ	คำถามหลัก
Expected utility	ผู้ลงทุนให้คุณค่ากับผลลัพธ์ที่ไม่แน่นอนอย่างไร
Stochastic price models	ผลลัพธ์ในอนาคตอาจกระจายตัวและเคลื่อนที่ตามเวลาอย่างไร
Mean–variance portfolio theory	จัดพอร์ตอย่างไรเมื่อคำนึงถึง mean, variance และ covariance
Safety First / Shortfall	พอร์ตมีโอกาสตกต่ำกว่าระดับที่รับไม่ได้เพียงใด
CAPM / Asset pricing	ความเสี่ยงแบบใดสัมพันธ์กับผลตอบแทนคาดหวังในแบบจำลองสมดุล
Conditional volatility	ค่าความเสี่ยงที่คาดจากข้อมูลวันนี้เปลี่ยนไปอย่างไร
Risk-measure theory	ตัวเลขที่ใช้สรุปความเสี่ยงมีคุณสมบัติสอดคล้องกับโจทย์หรือไม่

การวิเคราะห์ความเสี่ยงเริ่มจากแยกสิ่งที่อาจเปลี่ยนออกจากสิ่งที่พอร์ตถืออยู่ เช่น อัตราผลตอบแทนพันธบัตรเป็น ปัจจัยเสี่ยง การเปลี่ยนของอัตรานี้เป็น แรงกระทบ ส่วนพันธบัตรที่ถือและขนาดสถานะทำให้พอร์ตมี exposure ต่อแรงกระทบนั้น Modified duration ช่วยประมาณ ความไวของราคา ต่อการเปลี่ยนอัตราผลตอบแทน แล้วเราจึงนำการแจกแจงของแรงกระทบและลักษณะของสถานะมาประเมินการแจกแจงผลขาดทุน ก่อนสรุปด้วย ตัววัดความเสี่ยง เช่น VaR หรือ ES

ก่อนเริ่มคำนวณ ต้องระบุว่ากำลังวัดพอร์ตใด ในช่วงเวลาใด เทียบกับอะไร และภายใต้แบบจำลองใด จากนั้นเราจึงเลือก volatility, downside, drawdown, VaR หรือ ES ให้ตรงกับคำถาม

ต่อไปจะเริ่มจากตัววัดที่คำนวณตามได้ โดยใช้พอร์ตที่มีผลตอบแทนชุดเดียวกันแต่เรียงลำดับต่างกัน เพื่อดูว่าตัววัดแต่ละแบบเห็นและมองข้ามส่วนใดของประสบการณ์ลงทุน

1. พอร์ตสองพอร์ตที่จบเท่ากัน

สมมติว่าพอร์ต A และ B มีผลตอบแทนรายเดือนดังนี้

เดือน	ผลตอบแทน A	มูลค่า A (บาท)	ผลตอบแทน B	มูลค่า B (บาท)
เริ่มต้น	—	1,000,000	—	1,000,000
1	+10%	1,100,000	+10%	1,100,000
2	+10%	1,210,000	−10%	990,000
3	−10%	1,089,000	+10%	1,089,000
4	−10%	980,100	−10%	980,100

ทั้งสองพอร์ตใช้ผลตอบแทนชุดเดียวกัน แต่สลับลำดับ ดังนั้นเงินปลายทางเท่ากัน

W_4=1{,}000{,}000(1.1)^2(0.9)^2=980{,}100.

ผลตอบแทนสะสมเท่ากับ −1.99% และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลตอบแทนรายเดือนเท่ากับ 0% ทั้งคู่

อย่างไรก็ตาม พอร์ต A เคยขึ้นไปถึง 1,210,000 บาทก่อนลดลงเหลือ 980,100 บาท ขณะที่ยอดสูงสุดของพอร์ต B อยู่ที่ 1,100,000 บาท ถ้าคนถือพอร์ตจำยอดสูงสุดของตัวเองเป็นจุดอ้างอิง ประสบการณ์ขาดทุนระหว่างทางย่อมต่างกัน

เก็บตัวอย่างนี้ไว้ก่อน เราจะใช้มันตรวจว่าตัววัดแต่ละชนิดเห็นอะไร และมองข้ามอะไรบ้าง

2. ก่อนวัด ต้องระบุว่าเรากลัวอะไร

สำหรับคนที่ต้องใช้เงินค่าเล่าเรียนในอีกหนึ่งปี ความเสี่ยงสำคัญอาจเป็นการมีเงินไม่พอเมื่อถึงกำหนด สำหรับผู้จัดการกองทุนที่มี Benchmark ความเสี่ยงอีกแบบคือผลตอบแทนเบี่ยงเบนจากดัชนีมากเกินไป ส่วนคนที่ใช้เงินกู้ลงทุนต้องสนใจว่าราคาที่ลดลงจะทำให้ถูกเรียกหลักประกันเพิ่มหรือไม่

จึงควรระบุโจทย์ก่อนเลือกตัววัด

กำลังวัดสินทรัพย์หรือพอร์ตใด และขนาดเงินลงทุนเท่าไร
สนใจระยะหนึ่งวัน หนึ่งเดือน หรือจนถึงวันที่ต้องใช้เงิน
นับผลลัพธ์เป็นบาท เป็นเปอร์เซ็นต์ หรือเทียบกับเป้าหมายใด
ต้องการดูสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว หรือประมาณสิ่งที่อาจเกิดขึ้นต่อไป

ความเสี่ยงจากราคาตลาดต่างจากการผิดนัดชำระหนี้ การขายสินทรัพย์ไม่ได้ในราคาที่ต้องการ หรือความผิดพลาดในการปฏิบัติงาน บทนี้เน้นความเสี่ยงจากมูลค่าพอร์ตที่เปลี่ยนไป ส่วนความเสี่ยงด้านอื่นจะเข้ามาเมื่อขยายไปสู่การจัดพอร์ตจริง อ่านกรอบการจัดการความเสี่ยงของ CFA Institute

การรับความเสี่ยงเพิ่มไม่ได้ทำให้กำไรเพิ่มโดยอัตโนมัติ และผลตอบแทนที่คาดหวังก็เป็นคนละอย่างกับผลตอบแทนที่จะเกิดขึ้นจริง

3. Volatility: ผลตอบแทนแกว่งห่างจากค่าเฉลี่ยเท่าไร

ถ้าผลตอบแทนแต่ละเดือนอยู่ใกล้ค่าเฉลี่ย เราเรียกว่าการกระจายตัวแคบ ถ้าบางเดือนสูงมากและบางเดือนต่ำมาก การกระจายตัวก็กว้างขึ้น

ให้ $R_t$ เป็น simple return ของเดือนที่ $t$ และมีข้อมูล $n$ เดือน ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ

\bar R=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}R_t.

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง หรือ sample standard deviation คำนวณจาก

s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{t=1}^{n}(R_t-\bar R)^2}.

เราหาผลต่างจากค่าเฉลี่ย ยกกำลังสองเพื่อไม่ให้ค่าบวกกับลบหักล้างกัน รวมผลต่างเหล่านั้น แล้วถอดรากเพื่อกลับมาอยู่ในหน่วยเดียวกับผลตอบแทน สูตรนี้ใช้ตัวหาร $n-1$ สำหรับ sample variance; ไม่ควรสลับกับสูตรประชากรโดยไม่บอก convention NIST: Standard deviation

สำหรับพอร์ต A และ B ค่าเฉลี่ยรายเดือนเป็นศูนย์ และ

s=\sqrt{\frac{0.1^2+0.1^2+(-0.1)^2+(-0.1)^2}{3}} \approx 0.115470.

จึงได้ volatility 11.55% ต่อเดือน เท่ากัน

ที่เท่ากันเพราะสูตรเห็นผลตอบแทนชุดเดียวกัน การสลับลำดับไม่เปลี่ยนผลรวมกำลังสอง นี่เป็นคุณสมบัติของตัววัด ไม่ใช่ข้อผิดพลาดในการคำนวณ

อีกจุดหนึ่งคือผลตอบแทนสูงกว่าค่าเฉลี่ยก็เพิ่ม volatility เช่นเดียวกับผลตอบแทนต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ตัวเลขนี้จึงบอกความแกว่งของผลตอบแทนทั้งสองด้าน ไม่ได้บอกขนาดความเสียหายขาลงเพียงอย่างเดียว

เราไม่ต้องสมมติว่าข้อมูลเป็น Normal เพื่อคำนวณ standard deviation แต่ถ้าจะใช้มันแปลงเป็นโอกาสขาดทุน ต้องเพิ่มสมมติฐานเรื่องการแจกแจง

4. Downside deviation: สนใจเฉพาะส่วนที่ต่ำกว่าเป้าหมาย

ถ้าเราสนใจผลตอบแทนต่ำกว่าเกณฑ์ $\tau$ สามารถใช้ downside deviation แบบ lower partial moment ได้ โดยบทนี้กำหนดว่า

DD_\tau=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} \left[\min(R_t-\tau,0)\right]^2}.

ทั้ง $R_t$ และ $\tau$ ต้องเป็นอัตราของช่วงเวลาเดียวกัน เดือนที่ผลตอบแทนถึงเกณฑ์หรือสูงกว่าจะมีส่วนร่วมเป็นศูนย์ ส่วนเดือนที่ต่ำกว่าเกณฑ์จะนำส่วนขาดไปยกกำลังสอง

หากกำหนดเป้าหมาย 0% ต่อเดือน พอร์ต A และ B ได้

DD_0=\sqrt{\frac{0+0+0.1^2+0.1^2}{4}} \approx 7.07\%\text{ ต่อเดือน}.

ตัวหารในบทนี้คือจำนวนเดือนทั้งหมด หากนำเฉพาะสองเดือนที่ติดลบมาหารจะได้ 10% ซึ่งเป็นอีก convention หนึ่ง ต้องระบุให้ชัดก่อนเปรียบเทียบตัวเลขจากคนละโปรแกรม

ทั้ง volatility และ downside deviation ของตัวอย่างนี้ยังเท่ากัน เพราะทั้งสองตัววัดยังไม่สนใจลำดับของเดือน

5. Drawdown: เงินลดลงจากจุดสูงสุดเท่าไร

ให้ $W_t$ เป็นมูลค่าพอร์ต และให้ยอดสูงสุดที่เคยเกิดขึ้นจนถึงเวลานั้นเป็น

H_t=\max_{0\le u\le t}W_u.

Drawdown แบบมีเครื่องหมายลบคือ

D_t=\frac{W_t}{H_t}-1.

บทนี้รายงาน Maximum drawdown เป็นขนาดความเสียหายบวก

MDD=-\min_t D_t.

พอร์ต A ลดจาก 1,210,000 เป็น 980,100 บาท จึงมี

MDD_A=1-\frac{980{,}100}{1{,}210{,}000}=19\%.

พอร์ต B ต้องเทียบเงินปลายทางกับยอดสูงสุดเดิม 1,100,000 บาท

MDD_B=1-\frac{980{,}100}{1{,}100{,}000}=10.9\%.

การเห็นเดือนติดลบ 10% จึงไม่พอจะสรุปว่า MDD ของพอร์ต B เท่ากับ 10% เพราะพอร์ตยังกลับไปไม่ถึงยอดสูงสุดเดิมก่อนขาดทุนครั้งถัดมา

ตัววัด	พอร์ต A	พอร์ต B
ผลตอบแทนสะสม 4 เดือน	−1.99%	−1.99%
Sample volatility ต่อเดือน	11.55%	11.55%
Downside deviation ต่อเดือน เกณฑ์ 0%	7.07%	7.07%
Maximum drawdown	19.00%	10.90%

เราอาจสนใจระยะเวลาที่อยู่ต่ำกว่ายอดสูงสุดด้วย ช่วงที่ยังไม่ฟื้นเมื่อข้อมูลสิ้นสุดต้องระบุว่า “ยังไม่ฟื้นในช่วงที่สังเกต” ไม่ใช่กำหนดวันฟื้นขึ้นเอง

MDD เป็นสถิติของเส้นทางในช่วงข้อมูลที่เลือก ไม่ annualize และไม่ได้เป็นขอบเขตขาดทุนสูงสุดของอนาคต ถ้ามีเงินฝากถอน ควรสร้างเส้นมูลค่าต่อหน่วยที่ปรับกระแสเงินสดก่อน เพื่อไม่ตีความเงินถอนเป็นผลขาดทุน

เปิด JavaScript เพื่อสลับพอร์ต A/B และสำรวจกราฟมูลค่ากับ Drawdown ตัวเลขของทั้งสองพอร์ตอ่านได้จากตารางด้านบน

6. เปลี่ยนระยะเวลาแล้วความเสี่ยงเปลี่ยนอย่างไร

สมมติว่าข้อมูลเป็นรายเดือน สูตรที่พบเสมอคือ

s_{\mathrm{annualized}}=s_{\mathrm{monthly}}\sqrt{12}.

ในตัวอย่างได้ $11.547\%\sqrt{12}=40\%$ ต่อปี แต่ข้อมูลเพียงสี่เดือนไม่เพียงพอสำหรับประเมินความเสี่ยงรายปีอย่างน่าเชื่อถือ ตัวเลขนี้มีไว้สาธิตการคำนวณเท่านั้น

เหตุผลของกฎรากที่สองมองเห็นได้จากผลรวมของผลตอบแทน หากแต่ละช่วงมี variance เท่ากันและ covariance ข้ามช่วงเป็นศูนย์ variance ของผลรวม $h$ ช่วงจะเป็น $h$ เท่าของ variance หนึ่งช่วง

ในกรณีทั่วไป

\operatorname{Var}\left(\sum_{t=1}^{h}X_t\right) =\sum_{t=1}^{h}\operatorname{Var}(X_t) +2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).

ถ้าความสัมพันธ์ข้ามเวลามีอยู่ หรือความผันผวนแต่ละช่วงไม่เท่ากัน จะตัดส่วนเหล่านั้นทิ้งไม่ได้ สำหรับ simple return แบบทบต้น ผลตอบแทนหลายช่วงยังเป็นผลคูณของ gross returns ไม่ใช่ผลรวม สูตรรากที่สองจึงไม่ใช่สูตร exact ของ volatility ของ compounded simple return

ก่อนอ่านตัวเลข “ความเสี่ยงต่อปี” จึงควรถามว่าเริ่มจากข้อมูลความถี่ใด และใช้วิธีใดแปลงช่วงเวลา

7. ความเสี่ยงพอร์ตขึ้นกับสิ่งที่เคลื่อนไหวร่วมกัน

สมมติว่าสินทรัพย์สองตัวมี volatility 20% ต่อปีเท่ากัน และแบ่งเงินตัวละครึ่ง ความเสี่ยงพอร์ตไม่ได้หาโดยบวก $10\%+10\%$ เสมอไป เพราะต้องดูว่าสองตัวขึ้นลงร่วมกันเพียงใด

สำหรับน้ำหนักต้นช่วง $w_1,w_2$ และ correlation $\rho$

\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2 +2w_1w_2\sigma_1\sigma_2\rho.

Correlation	Volatility ของพอร์ต 50/50
1.0	20.00% ต่อปี
0.0	14.14% ต่อปี
−0.5	10.00% ต่อปี

กราฟความผันผวนพอร์ต 50/50 เพิ่มจาก 0% เป็น 20% เมื่อ correlation เพิ่มจาก −1 เป็น 1 โดยสินทรัพย์แต่ละตัวผันผวน 20% ต่อปี — คำนวณจากสมการพอร์ตสองสินทรัพย์ โดยคงน้ำหนัก 50/50 และความผันผวนสินทรัพย์ละ 20% ต่อปี จุด ρ = −1 ที่ได้ศูนย์เป็นผลภายใต้สมมติฐานนี้ ไม่ใช่หลักฐานว่าตลาดมีพอร์ตปลอดความเสี่ยงเช่นนี้เสมอ

ตัวอย่างนี้เปลี่ยนเฉพาะ correlation จึงทำให้เห็นผลของความสัมพันธ์ชัดเจน ในข้อมูลจริง covariance ต้องประมาณจากข้อมูล และความสัมพันธ์ที่เคยเห็นอาจเปลี่ยนไปได้ การถือหลายชื่อจึงต้องตามด้วยการตรวจว่าสินทรัพย์เหล่านั้นรับแรงกระทบจากเรื่องเดียวกันหรือไม่ CFA Institute: Portfolio Mathematics

สำหรับหุ้นต่างประเทศ แรงกระทบอาจมาจากทั้งราคาหุ้นและค่าเงิน สำหรับพันธบัตรอาจเป็นอัตราดอกเบี้ยและ credit spread ส่วน options มีความไวต่อราคาและ volatility ที่เปลี่ยนตามสถานะของสัญญา เราจะลงรายละเอียดในบท Factor risk และ Hedging

8. VaR: เส้นแบ่งของผลขาดทุนภายใต้แบบจำลอง

ให้ $L$ เป็นจำนวนเงินขาดทุน โดยค่าบวกหมายถึงขาดทุน VaR ที่ระดับ $c$ คือ quantile ของการแจกแจง $L$

VaR_c=\inf\{\ell:\Pr(L\le\ell)\ge c\}.

ถ้ารายงานว่า “VaR หนึ่งวัน 95% เท่ากับ 20,000 บาท” เรากำลังระบุเส้นแบ่งผลขาดทุนของช่วงหนึ่งวันภายใต้ข้อมูลและแบบจำลองที่ใช้ ไม่ได้ระบุว่าขาดทุนได้มากที่สุดเพียง 20,000 บาท

หากการแจกแจงต่อเนื่อง โอกาสขาดทุนเกินเส้นแบ่งนั้นเป็น 5% ตามแบบจำลอง แต่การมีโอกาส 5% ก็ยังไม่บอกว่าเมื่อเกินแล้วจะเสีย 25,000 หรือ 200,000 บาท สำหรับการแจกแจงที่มีค่าซ้ำ โอกาสเกิน quantile แบบ strict อาจไม่เท่ากับ 5% พอดี

มีสามแนวทางหลักในการสร้างการแจกแจงสำหรับ VaR: สมมติรูปแบบเชิงสถิติ, ใช้เหตุการณ์ในอดีตกับพอร์ตปัจจุบัน, หรือสร้างสถานการณ์ด้วย Monte Carlo แต่ละวิธีมีสมมติฐานของตัวเอง CFA Institute: Measuring and Managing Market Risk

ตัวอย่าง Normal แบบหนึ่งวัน

สมมติพอร์ตมูลค่า $W=1{,}000{,}000$ บาท ใช้การประมาณ simple return หนึ่งวันแบบ Normal มีค่าเฉลี่ย $\mu=0$ และ standard deviation $\sigma=1\%$ และกำหนด loss เป็น $L=-WR$

VaR_c=W(z_c\sigma-\mu).

ที่ระดับ 95% แบบด้านเดียว $z_{0.95}\approx1.644854$ จึงได้

VaR_{95\%}\approx1{,}000{,}000(1.644854)(0.01) =16{,}448.54\text{ บาท}.

ถ้าเปลี่ยนเป็น 99% จะได้ 23,263.48 บาท ค่าที่ใช้สำหรับ 95% แบบด้านเดียวคือประมาณ 1.645 ไม่ใช่ 1.96 ซึ่งเกี่ยวข้องกับช่วงกลาง 95% แบบสองด้านของ Normal

แบบจำลองนี้เป็นตัวอย่างของพอร์ตที่มีผลตอบแทนเกือบเชิงเส้นในช่วงสั้น การมี standard deviation 1% ไม่ได้ยืนยันว่า Normal เป็นรูปแบบที่เหมาะกับพอร์ตจริง

9. Expected Shortfall: วันที่แย่ที่สุดเสียหนักแค่ไหน

Expected Shortfall หรือ ES ที่ระดับ 95% มองค่าเฉลี่ยของผลขาดทุนในส่วนที่แย่ที่สุด 5% ของการแจกแจง สำหรับการแจกแจงต่อเนื่องจึงอธิบายได้เป็นค่าเฉลี่ยของ loss ที่เลย VaR ไป ส่วนข้อมูลที่มีค่าซ้ำต้องจัดน้ำหนักที่เส้นแบ่งให้ถูกต้อง Acerbi, Nordio และ Sirtori: Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management

ลองสร้างสถานการณ์หนึ่งวัน 100 กรณี แต่ละกรณีมีโอกาสเท่ากันสำหรับพอร์ต C และ D ซึ่งมีเงินเริ่มต้นหนึ่งล้านบาท

จำนวนกรณี	Loss ของ C ต่อกรณี	Loss ของ D ต่อกรณี
94	0 บาท	0 บาท
5	20,000 บาท	20,000 บาท
1	200,000 บาท	400,000 บาท

กำหนด quantile ด้วย inverse empirical CDF หรือ nearest rank ค่า VaR 95% คือ loss ลำดับที่ 95 เมื่อเรียงจากน้อยไปมาก จึงเท่ากับ 20,000 บาททั้งคู่

ส่วน ES 95% เฉลี่ยห้ากรณีที่แย่ที่สุด

ES_C=\frac{4(20{,}000)+200{,}000}{5}=56{,}000\text{ บาท},

ES_D=\frac{4(20{,}000)+400{,}000}{5}=96{,}000\text{ บาท}.

VaR เท่ากันแต่ ES ต่างกัน เพราะเหตุการณ์สุดท้ายของ D เสียหายหนักกว่า

ตัวอย่างนี้ตั้งใจให้มีค่าซ้ำที่ VaR ถ้าเลือกทุกกรณีที่ loss “มากกว่าหรือเท่ากับ VaR” จะได้หกกรณี ไม่ใช่ห้ากรณี ค่าเฉลี่ยของกลุ่มนั้นจึงไม่เท่ากับ Expected Shortfall ของส่วนที่แย่ที่สุด 5% ในตัวอย่างนี้ การเลือก quantile และวิธีจัดน้ำหนัก tail จึงต้องบันทึกให้ชัดเจน

ES ตามนิยามหางที่จัดน้ำหนักถูกต้องมีคุณสมบัติ Coherent เมื่อผลขาดทุนอยู่ในขอบเขตที่ค่าความเสี่ยงมีความหมาย ส่วน VaR ไม่รับรอง Subadditivity สำหรับทุกการแจกแจง ความแตกต่างนี้เป็นอีกเหตุผลที่ต้องพิจารณาคุณสมบัติของตัววัดควบคู่กับคำถามที่ต้องการตอบ Acerbi, Nordio และ Sirtori

ES ก็เป็นค่าประมาณที่ขึ้นกับข้อมูลและแบบจำลอง ข้อมูลเหตุการณ์รุนแรงที่มีน้อยทำให้ค่าประมาณเปลี่ยนได้มาก

เปิด JavaScript เพื่อเปลี่ยนผลขาดทุนรุนแรงที่สุด แล้วเทียบ VaR กับ ES ตัวอย่าง C และ D คำนวณไว้ด้านบน

10. ความเสี่ยงวันนี้อาจไม่เท่ากับค่าเฉลี่ยในอดีต

ลองนึกถึงช่วงที่ราคาขยับเล็กน้อยมาตลอด แล้วจู่ ๆ มีวันที่เคลื่อนไหวแรง การให้ข้อมูลเก่าทุกวันมีน้ำหนักเท่ากันอาจปรับค่าประมาณช้า อีกทางเลือกคือให้น้ำหนักข้อมูลใหม่มากกว่า

EWMA เป็นตัวอย่างของวิธีนี้ ภายใต้การใช้ผลตอบแทนรายวันชนิดเดียวกันและสมมติค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์

\hat\sigma_{t+1|t}^2 =\lambda\hat\sigma_{t|t-1}^2+(1-\lambda)r_t^2, \qquad 0<\lambda<1.

เครื่องหมาย $t+1|t$ หมายถึงการประมาณความผันผวนช่วงถัดไปโดยใช้ข้อมูลที่รู้ถึงเวลา $t$ ค่า $r_t$ จึงเข้าในสูตรได้หลังสังเกตผลตอบแทนของวัน $t$ แล้ว

สมมติค่าคาดการณ์เดิมมี volatility 1% ต่อวัน และวันนี้พบ return innovation −4% เมื่อ $\lambda=0.94$

\hat\sigma_{t+1|t} =\sqrt{0.94(0.01)^2+0.06(-0.04)^2} \approx1.3784\%\text{ ต่อวัน}.

ถ้าใช้ $\lambda=0.80$ จะได้ 2% ต่อวัน น้ำหนักของข้อมูลล่าสุดมากขึ้นทำให้ตัววัดตอบสนองต่อ shock แรงขึ้น แต่การตอบสนองเร็วไม่ได้แปลว่าเหมาะกว่าเสมอ ต้องตรวจผลพยากรณ์กับข้อมูลที่ยังไม่ถูกใช้ประมาณค่า

เอกสาร RiskMetrics ฉบับปี 1996 ใช้ EWMA และรายงานค่า $\lambda=0.94$ สำหรับชุดพยากรณ์รายวัน และ $0.97$ สำหรับชุดพยากรณ์ระยะหนึ่งเดือน โดยการผลิตชุดหลังยังใช้ observations รายวัน ตัวเลขเหล่านี้เป็นการเลือกในบริบทของเอกสาร ไม่ใช่ค่าที่เหมาะสมกับทุกตลาด RiskMetrics, §5.2 และ Table 5.9, หน้าเอกสาร 81–85 และ 100

Conditional risk และการแจกแจงทั้งช่วง

ข้อมูลจากช่วงสงบกับช่วงผันผวนอาจมีขนาดการแกว่งต่างกัน เมื่อรวมทั้งสองช่วงเข้าด้วยกัน การแจกแจงรวมจึงอาจมีหางหนากว่า Normal แม้แบบจำลองรายช่วงจะใช้ Normal แบบมีเงื่อนไขก็ตาม แต่การปรับ volatility ตามเวลาไม่ได้ยืนยันว่ารูปร่างของหางหรือความเสี่ยงกระโดดถูกอธิบายครบแล้ว

เปิด JavaScript เพื่อปรับน้ำหนักข้อมูลและขนาด shock ตัวอย่าง EWMA พร้อมสมมติฐานอ่านได้ด้านบน

11. วัดแล้วต้องตรวจว่าพลาดอย่างไร

เมื่อสร้าง risk forecast ให้บันทึกค่าที่คำนวณจากข้อมูล ณ วันนั้น ก่อนดูผลตอบแทนของวันถัดไป แล้วจึงเปรียบเทียบกับ loss ที่เกิดขึ้น หากนำข้อมูลวันถัดไปย้อนมาแก้ forecast จะไม่ได้กำลังทดสอบการพยากรณ์จริง

หากการแจกแจงต่อเนื่องและ forecast VaR 95% มีโอกาสถูกเกินเส้น 5% ในแต่ละวัน การมี exception บางวันเป็นสิ่งที่คาดหมาย ในการทดสอบ 250 วัน จำนวนเกินเส้นมีค่าเฉลี่ยเชิงทฤษฎี $250(0.05)=12.5$ วัน ไม่ได้แปลว่าข้อมูลชุดหนึ่งต้องมีจำนวนเท่านี้พอดี

ควรดูทั้งจำนวนครั้ง ขนาดที่เกิน และการกระจุกตัวของ exceptions หากแบบจำลองพลาดติดกันในช่วงตลาดผันผวน การนับรวมทั้งปีอย่างเดียวอาจมองข้ามปัญหาได้ ส่วนข้อสรุปทางสถิติต้องมีสมมติฐานและจำนวนข้อมูลที่เพียงพอ

12. Stress test: ถ้าเกิดเหตุการณ์นี้ พอร์ตจะเสียเท่าไร

แทนการถามว่า loss ที่ quantile หนึ่งมีค่าเท่าไร เราอาจกำหนดเหตุการณ์แล้วคำนวณตรง ๆ

สมมติพอร์ตหนึ่งล้านบาทถือสินทรัพย์ A 60% และ B 40% ถ้าเหตุการณ์สมมติทำให้ A ลดลง 20% และ B ลดลง 5% พร้อมกัน ผลตอบแทนหนึ่งช่วงของพอร์ตคือ

R_p=0.6(-20\%)+0.4(-5\%)=-14\%.

พอร์ตเสีย 140,000 บาทก่อนค่าใช้จ่าย ภายใต้การถือคงที่ในช่วงนั้น

การคำนวณนี้ยังไม่ได้บอกว่าเหตุการณ์มีโอกาสเท่าไร แต่ช่วยตรวจว่าขนาดความเสียหายที่เกิดภายใต้เหตุการณ์นั้นรับได้หรือไม่ และความเสียหายมาจากส่วนไหนของพอร์ต

13. จากตัวเลขไปสู่การตัดสินใจ

เมื่อมีตัววัดหลายชนิด ควรเลือกใช้ตามคำถาม

คำถาม	เครื่องมือเริ่มต้น
ผลตอบแทนแกว่งแค่ไหน	Volatility
ผลตอบแทนต่ำกว่าเกณฑ์มากแค่ไหน	Downside deviation
เคยลดจากจุดสูงสุดเท่าไร และฟื้นนานแค่ไหน	Drawdown และ Drawdown duration
Loss ที่ระดับความเชื่อมั่นและช่วงเวลาที่กำหนดอยู่ตรงไหน	VaR
ส่วนที่แย่ที่สุดของการแจกแจงเสียเฉลี่ยเท่าไร	Expected Shortfall
ถ้าเกิดเหตุการณ์เฉพาะจะเสียเท่าไร	Stress test
ความเสี่ยงเปลี่ยนจากช่วงสงบไปช่วงผันผวนอย่างไร	Rolling/EWMA forecasts
ค่าพยากรณ์สอดคล้องกับสิ่งที่เกิดจริงหรือไม่	Risk-model backtesting

Risk report ควรระบุวันที่คำนวณ ช่วงข้อมูล ความถี่ ขนาดพอร์ต สกุลเงิน นิยามเครื่องหมาย และวิธีประมาณด้วย ตัวเลขที่มีชื่อเดียวกันแต่ใช้คนละ convention อาจเปรียบเทียบกันตรง ๆ ไม่ได้

จากนั้นจึงเชื่อมกลับไปหาโจทย์ลงทุน เช่น ลดขนาดสถานะ ปรับการกระจาย ถือเงินที่ต้องใช้ระยะสั้นแยกไว้ หรือเพิ่มการป้องกันที่มีต้นทุนเหมาะกับเป้าหมาย การเลือกวิธีเป็นขั้นตอนบริหารความเสี่ยงที่ตามหลังการวัด

14. ทดลองด้วยตัวเอง

สลับลำดับผลตอบแทนของพอร์ต A ให้ต่างจาก B โดยคงชุด +10%, +10%, −10%, −10% ไว้ ตรวจว่าอะไรเปลี่ยนและอะไรคงเดิม
เปลี่ยนเกณฑ์ downside จาก 0% เป็น +1% ต่อเดือน แล้วตรวจว่าคำถามที่กำลังวัดเปลี่ยนอย่างไร
เปลี่ยน correlation ของพอร์ตสองสินทรัพย์จาก 0 เป็น 0.8 โดยคงน้ำหนักและ volatility เดิม
เพิ่ม loss ในเหตุการณ์เลวร้ายที่สุดของพอร์ต C จาก 200,000 เป็น 300,000 บาท คำนวณ VaR และ ES ใหม่
เปลี่ยน $\lambda$ ในตัวอย่าง EWMA เป็น 0.97 แล้วเปรียบเทียบการตอบสนองต่อ shock
ร่าง stress scenario หนึ่งชุด และเขียนแยกให้ชัดว่าอะไรเป็นค่าที่กำหนด อะไรเป็นผลคำนวณ และอะไรยังไม่รู้

เปิดแนวคำตอบ

แนวคำตอบ: ข้อ 1 เงินปลายทางและตัววัดที่ไม่สนใจลำดับคงเดิม แต่ Drawdown เปลี่ยนได้; ข้อ 3 ได้ volatility ประมาณ 18.97% ต่อปี; ข้อ 4 VaR 95% ยังเป็น 20,000 บาท และ ES 95% เป็น 76,000 บาท; ข้อ 5 ได้ volatility ประมาณ 1.2042% ต่อวัน

15. มนุษย์กลัวความเสี่ยงจริงไหม แล้วทำไมถึงซื้อหวย?

คนคนเดียวกันอาจกังวลเมื่อเงินลงทุนลดลง แต่กลับยอมจ่ายเงินซื้อหวยเพื่อหวังรางวัลใหญ่ได้ ถ้าเราอธิบายการลงทุนด้วยประโยคว่า “มนุษย์ไม่ชอบความเสี่ยง” พฤติกรรมนี้ก็น่าจะทำให้หยุดถามว่า เราหมายถึงความเสี่ยงแบบไหน และคำอธิบายนั้นครอบคลุมการตัดสินใจทุกอย่างจริงหรือเปล่า

ในทฤษฎี Expected Utility คำว่า Risk aversion มีความหมายเฉพาะ: เมื่อมูลค่าคาดหวังเท่ากัน ผู้ตัดสินใจชอบผลลัพธ์ที่แน่นอนมากกว่าการเสี่ยง หากอรรถประโยชน์ขึ้นกับความมั่งคั่งปลายทางเพียงอย่างเดียว เพิ่มขึ้นตามเงิน และมีลักษณะเว้า ก็จะไม่เลือกเดิมพันที่มีกำไรคาดหวังติดลบเมื่อรู้ความน่าจะเป็นถูกต้อง นี่เป็นข้อสรุปภายใต้สมมติฐานของแบบจำลอง ไม่ใช่คำยืนยันว่าทุกคนเลือกเช่นนี้เสมอ Kahneman และ Tversky (1979), หน้า 264

รางวัลใหญ่อาจดึงดูด แม้ค่าเฉลี่ยไม่คุ้ม

ลองสร้างหวยสมมติหนึ่งใบ ราคา 100 บาท มีโอกาส 1 ใน 1,000 ที่จะได้รับรางวัล 50,000 บาท และนอกนั้นไม่ได้รับเงินเลย ตัวเลขนี้ตั้งขึ้นเพื่ออธิบายแนวคิด ไม่ใช่ราคา รางวัล หรือโอกาสถูกรางวัลของหวยจริง ให้ $X$ เป็นกำไรสุทธิหลังหักค่าซื้อ จะได้

E[X]=0.001(50{,}000-100)+0.999(-100)=-50.

กำไรคาดหวังจึงเท่ากับ −50 บาทต่อใบ แต่ไม่มีใบไหนให้ผลลัพธ์ −50 บาทจริง ๆ ผู้ซื้อจะได้กำไรสุทธิ 49,900 บาท หรือขาดทุน 100 บาท ความต่างระหว่าง “ค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์” กับ “โอกาสได้รางวัลใหญ่” คือสิ่งที่ต้องแยกให้ออกก่อนอธิบายว่าทำไมคนจึงเลือกซื้อ

Prospect Theory ของ Daniel Kahneman และ Amos Tversky ในปี 1979 เสนอว่าคนประเมินกำไรและขาดทุนเทียบกับจุดอ้างอิง และให้น้ำหนักความน่าจะเป็นแบบไม่เป็นเส้นตรง การให้น้ำหนักกับโอกาสเล็ก ๆ มากกว่าค่าความน่าจะเป็นอาจทำให้รางวัลใหญ่ดึงดูดใจ และช่วยอธิบายได้ด้วยว่าทำไมคนจึงยอมจ่ายเบี้ยประกันเพื่อเลี่ยงความเสียหายใหญ่ที่มีโอกาสเกิดน้อย อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่ได้ทำให้ทุกคนต้องซื้อหวยหรือประกัน อ่านต้นฉบับ หน้า 281 และ 285–286

Probability weighting หมายถึงน้ำหนักที่ใช้ตัดสินใจ ไม่ได้ทำให้โอกาสถูกรางวัลจริงเพิ่มขึ้น และไม่จำเป็นต้องหมายความว่าผู้ซื้อจำโอกาสผิด ส่วน Loss aversion คือการตอบสนองต่อการเสียและได้เทียบกับจุดอ้างอิงอย่างไม่สมมาตร เป็นคนละแนวคิดกับการไม่ชอบความเสี่ยง จึงใช้แทนกันตรง ๆ ไม่ได้

อีกความเป็นไปได้คือ ผู้ซื้อให้คุณค่ากับความสนุกหรือการได้ลุ้นด้วย หากต้องการอธิบายการเลือกเช่นนั้น แบบจำลองก็ต้องนับประโยชน์ด้านนี้เพิ่มจากเงินปลายทาง แต่เราไม่ควรสรุปเหตุผลของผู้ซื้อทุกคนจากพฤติกรรมเพียงอย่างเดียว และการบอกว่า “เสียแค่เล็กน้อย” ก็ยังไม่แก้ข้อขัดแย้งกับแบบจำลองที่คิดเฉพาะเงินและสมมติว่าไม่ชอบความเสี่ยงตลอดช่วงความมั่งคั่ง

กลับมาที่การลงทุนเชิงปริมาณ

การซื้อหวยจึงไม่ได้บอกทันทีว่าคนคนนั้นอยากให้เงินทั้งพอร์ตเสี่ยงมากขึ้น เวลาพิจารณาการลงทุนที่มีโอกาสกำไรมหาศาลแต่เกิดยาก เราควรถามแยกกันว่า ผลลัพธ์และความน่าจะเป็นเป็นอย่างไร กำไรคาดหวังหลังต้นทุนเท่าไร และเราให้น้ำหนักกับภาพรางวัลใหญ่มากเพียงใด ตัววัดความเสี่ยงอธิบายลักษณะของผลลัพธ์ ส่วนทฤษฎีการตัดสินใจช่วยอธิบายว่าเหตุใดเราจึงเลือกผลลัพธ์เหล่านั้น อ่านตัวอย่างต่อใน Expected Utility และ Cumulative Prospect Theory

อ่านต่อ: Portfolio Insurance — ใช้เครื่องมือป้องกันความเสี่ยงของพอร์ต · ย้อนทบทวน การคำนวณผลตอบแทน

แหล่งอ่านต่อ

Kahneman and Tversky (1979), Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk — นิยาม risk aversion และกรอบอธิบายการตัดสินใจด้วยจุดอ้างอิงและ decision weights; หน้า 281 และ 285–286 อภิปรายหวยและประกัน
J.P. Morgan/Reuters, RiskMetrics Technical Document, Fourth Edition, December 1996 — เอกสารวิธีการของ J.P. Morgan/Reuters ที่ MSCI เผยแพร่ให้ดาวน์โหลด ไม่ใช่รายงานตลาดปัจจุบัน; ส่วนที่ใช้ประกอบการเรียบเรียง: measurement conventions, time-varying volatility และการตรวจค่าความเสี่ยง; เอกสารต้นฉบับมี 296 หน้า PDF และหน้าเนื้อหาพิมพ์เริ่มหลังส่วนต้นเล่ม
NIST: Standard deviation — สูตร sample standard deviation
CFA Institute: Introduction to Risk Management — กรอบการระบุ วัด และบริหารความเสี่ยง
CFA Institute: Portfolio Mathematics — ความเสี่ยงพอร์ตและ covariance
CFA Institute: Measuring and Managing Market Risk — VaR, sensitivities และ scenario measures
Acerbi, Nordio and Sirtori, Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management — Expected Shortfall และปัญหาการวัด tail risk