Calendar Spread under VRP พิมพ์หน้านี้
BSM & Risk-neutral
วางฐานการกำหนดราคาออปชันก่อนใช้ค่ากรีกวิเคราะห์ Calendar Spread
บทนำ (Introduction)
ตลาดอนุพันธ์ (derivatives market) มีปัจจัยหลายด้านที่ส่งผลต่อราคาออปชัน (option pricing) กลยุทธ์ Calendar Spread ใช้ความแตกต่างของการเสื่อมมูลค่าเวลา (time value) และความผันผวนแฝง (implied volatility หรือ IV) ระหว่างสัญญาออปชันที่มีวันหมดอายุต่างกัน ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับเส้นทางราคา การเปลี่ยนแปลง IV ของแต่ละขา และต้นทุนการซื้อขาย ไม่ใช่ผลตอบแทนที่สม่ำเสมอโดยอัตโนมัติ (Options Industry Council ).
ปัจจัยสำคัญที่นักลงทุนใช้ในการบริหารความเสี่ยงและประเมินสภาวะของพอร์ตโฟลิโอคือค่ากรีกซึ่งใช้วัดความไวของราคาออปชั่นต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต่าง ๆ ได้แก่ ราคาสินทรัพย์อ้างอิง (underlying price) ความผันผวน (volatility) เวลาที่เหลือถึงวันหมดอายุ (time to expiration) และอัตราดอกเบี้ย (interest rate) การเข้าใจค่ากรีกช่วยให้ผู้ลงทุนสามารถเลือกช่วงเวลาการทำกลยุทธ์ได้อย่างเหมาะสม (Hull 2018).
บทเรียนนี้ใช้คำว่า Volatility Risk Premium (VRP) อย่างง่ายสำหรับส่วนต่าง I V − R V IV-RV I V − R V variance risk premium ซึ่งใช้อัตราความแปรปรวน เช่นในงาน Carr and Wu (2009) เมื่อ RV สูงกว่า IV ส่วนต่างของบทเรียนจะติดลบ การที่ IV พุ่งขึ้นเพียงอย่างเดียวจึงไม่ได้ทำให้ส่วนต่างกลับเครื่องหมาย.
บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อ (1) อธิบายนิยามและคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของค่ากรีกแต่ละตัว (2) วิเคราะห์ปฏิสัมพันธ์ระหว่างค่ากรีกในกลยุทธ์ Calendar Spread และ (3) ระบุตัวแปรที่มีบทบาทหลักภายใต้สภาวะ VRP ที่แตกต่างกัน.
แบบจำลองแบล็ก-โชลส์-เมอร์ตัน (Black-Scholes-Merton)
แบบจำลอง Black-Scholes-Merton (BSM) พัฒนาโดยแบล็ก-โชลส์ (Black and Scholes 1973) และเมอร์ตัน (Merton 1973) เป็นพื้นฐานของการกำหนดราคาออปชั่น (option pricing) สูตรราคาออปชั่น Call แบบ European มีรูปแบบดังนี้:
C = S N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) , (1.1) C = S\,N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2),
\tag{1.1} C = S N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) , ( 1.1 ) d 1 = ln ( S / K ) + ( r + 1 2 σ 2 ) T σ T , d 2 = d 1 − σ T , \begin{align*}
d_1 &= \frac{\ln(S/K) + \bigl(r + \tfrac{1}{2}\sigma^2\bigr)T}
{\sigma\sqrt{T}}, \tag{1.2} \\
d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T}, \tag{1.3}
\end{align*} d 1 d 2 = σ T ln ( S / K ) + ( r + 2 1 σ 2 ) T , = d 1 − σ T , ( 1.2 ) ( 1.3 ) N ( ⋅ ) N(\cdot) N ( ⋅ ) S S S K K K T T T r r r σ \sigma σ รากฐานของแบบจำลองนี้คือสมมติฐานที่ว่าราคาสินทรัพย์อ้างอิงเคลื่อนที่ตาม กระบวนการ Geometric Brownian Motion (GBM) ซึ่งภายใต้มาตรวัดความเสี่ยงเป็นกลาง (risk-neutral measure Q \mathbb{Q} Q
d S t = r S t d t + σ S t d W t Q , (1.4) dS_t = r\,S_t\,dt + \sigma\,S_t\,dW_t^{\mathbb{Q}},
\tag{1.4} d S t = r S t d t + σ S t d W t Q , ( 1.4 ) W t Q W_t^{\mathbb{Q}} W t Q Q \mathbb{Q} Q 1 2 σ 2 S 2 \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 2 1 σ 2 S 2 สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบล็ก-โชลส์ (Black-Scholes Equation)
ภายใต้สมมติฐาน BSM ราคา V ( S , t ) V(S,t) V ( S , t )
∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0. (1.5) \frac{\partial V}{\partial t}
+ \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}
+ r S \frac{\partial V}{\partial S}
- r V = 0.
\tag{1.5} ∂ t ∂ V + 2 1 σ 2 S 2 ∂ S 2 ∂ 2 V + r S ∂ S ∂ V − r V = 0. ( 1.5 ) (1.5) จะได้ความสัมพันธ์จากค่ากรีกดังนี้: Θ + 1 2 σ 2 S 2 Γ + r S Δ − r V = 0 , (1.6) \Theta + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\Gamma + rS\,\Delta - rV = 0,
\tag{1.6} Θ + 2 1 σ 2 S 2 Γ + r S Δ − r V = 0 , ( 1.6 ) Θ \Theta Θ Γ \Gamma Γ Θ = r V − r S Δ − 1 2 σ 2 S 2 Γ . (1.7) \Theta = rV - rS\,\Delta - \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\Gamma.
\tag{1.7} Θ = r V − r S Δ − 2 1 σ 2 S 2 Γ. ( 1.7 ) (1.7) เป็นความสัมพันธ์พื้นฐานที่แสดงให้เห็นว่าสำหรับพอร์ตที่ Delta-neutral (Δ ≈ 0 \Delta \approx 0 Δ ≈ 0 Θ \Theta Θ Γ \Gamma Γ r V rV r V Θ ≈ r V − 1 2 σ 2 S 2 Γ , (Delta-neutral portfolio) . (1.8) \Theta \approx rV - \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\Gamma,
\quad \text{(Delta-neutral portfolio)}.
\tag{1.8} Θ ≈ r V − 2 1 σ 2 S 2 Γ , (Delta-neutral portfolio) . ( 1.8 ) สูตรกระจายแบบครบถ้วนในรูปของค่ากรีก
เมื่อกระจายสูตรแบล็ก-โชลส์แล้วจัดรูปสำหรับ Call Option ได้:
Δ call = N ( d 1 ) , Γ = N ′ ( d 1 ) S σ T , Θ call = − S N ′ ( d 1 ) σ 2 T − r K e − r T N ( d 2 ) , ν = S T N ′ ( d 1 ) , ρ call = K T e − r T N ( d 2 ) , \begin{align*}
\Delta_{\text{call}} &= N(d_1), \tag{1.9} \\[4pt]
\Gamma &= \frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}, \tag{1.10} \\[4pt]
\Theta_{\text{call}} &= -\frac{S\,N'(d_1)\,\sigma}{2\sqrt{T}}
- rKe^{-rT}N(d_2), \tag{1.11} \\[4pt]
\nu &= S\sqrt{T}\,N'(d_1), \tag{1.12} \\[4pt]
\rho_{\text{call}} &= KTe^{-rT}N(d_2), \tag{1.13}
\end{align*} Δ call Γ Θ call ν ρ call = N ( d 1 ) , = S σ T N ′ ( d 1 ) , = − 2 T S N ′ ( d 1 ) σ − rK e − r T N ( d 2 ) , = S T N ′ ( d 1 ) , = K T e − r T N ( d 2 ) , ( 1.9 ) ( 1.10 ) ( 1.11 ) ( 1.12 ) ( 1.13 ) N ′ ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 N'(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2} N ′ ( x ) = 2 π 1 e − x 2 /2 บทบาทของ CDF ( N ) (N) ( N ) ( N ′ ) (N') ( N ′ )
ในสูตรค่ากรีกข้างต้น ฟังก์ชันการแจกแจงปกติมาตรฐานปรากฏสองรูปแบบที่ทำหน้าที่ต่างกัน คือฟังก์ชันสะสม N ( ⋅ ) N(\cdot) N ( ⋅ ) n ( ⋅ ) = N ′ ( ⋅ ) n(\cdot) = N'(\cdot) n ( ⋅ ) = N ′ ( ⋅ )
ค่ากรีกสำหรับการแจกแจงแบบสะสม (CDF) N ( ⋅ ) N(\cdot) N ( ⋅ ) ตัวราคาออปชั่นเอง, Δ call = N ( d 1 ) \Delta_{\text{call}} = N(d_1) Δ call = N ( d 1 ) ρ call ∝ N ( d 2 ) \rho_{\text{call}} \propto N(d_2) ρ call ∝ N ( d 2 ) ความน่าจะเป็นสะสม เช่น N ( d 2 ) N(d_2) N ( d 2 ) Q \mathbb{Q} Q [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
ค่ากรีกสำหรับการแจงแจงความน่าจะเป็น (PDF) n ( ⋅ ) n(\cdot) n ( ⋅ ) Γ ∝ N ′ ( d 1 ) \Gamma \propto N'(d_1) Γ ∝ N ′ ( d 1 ) ν ∝ N ′ ( d 1 ) \nu \propto N'(d_1) ν ∝ N ′ ( d 1 ) Θ \Theta Θ ∝ N ′ ( d 1 ) \propto N'(d_1) ∝ N ′ ( d 1 ) ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ณ จุดปัจจุบัน จึงสูงสุดที่ ATM (d 1 ≈ 0 d_1 \approx 0 d 1 ≈ 0
เหตุผลเชิงแคลคูลัสคือการหาอนุพันธ์เทียบ S S S Δ = ∂ C / ∂ S \Delta = \partial C/\partial S Δ = ∂ C / ∂ S N ( d 1 ) N(d_1) N ( d 1 ) Γ = ∂ 2 C / ∂ S 2 \Gamma = \partial^2 C/\partial S^2 Γ = ∂ 2 C / ∂ S 2 N ( d 1 ) N(d_1) N ( d 1 ) N ′ ( d 1 ) N'(d_1) N ′ ( d 1 ) ν \nu ν Θ \Theta Θ σ \sigma σ t t t N ( d ) N(d) N ( d ) N ′ N' N ′ K K K Γ \Gamma Γ ν \nu ν Θ \Theta Θ
การประเมินมูลค่าแบบ Risk-Neutral และทฤษฎี Martingale
แบบจำลองการกำหนดราคาออปชั่นทั้งหมดในบทความนี้ตั้งอยู่บนแนวคิดการประเมินมูลค่าแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral valuation) ส่วนนี้สรุปแนวคิดเชิงทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังเพื่อความครบถ้วน.
Martingale
กระบวนการสุ่ม { M t } \{M_t\} { M t } Q \mathbb{Q} Q { F t } \{\mathcal{F}_t\} { F t }
E Q [ M t ∣ F s ] = M s , s ≤ t . (1.14) \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\,M_t \mid \mathcal{F}_s\,\right] = M_s,
\qquad s \le t.
\tag{1.14} E Q [ M t ∣ F s ] = M s , s ≤ t . ( 1.14 ) ตัวอย่าง: พิจารณาเกมทายเหรียญที่ได้/เสียตาละ 10 บาท สมมติขณะนี้ผู้เล่นมีเงิน X t = 150 X_t = 150 X t = 150 X t + 1 X_{t+1} X t + 1 1 2 ( 160 ) + 1 2 ( 140 ) = 150 \tfrac{1}{2}(160) + \tfrac{1}{2}(140) = 150 2 1 ( 160 ) + 2 1 ( 140 ) = 150
คุณสมบัตินี้ในเชิงคณิตศาสตร์เรียกว่า คุณสมบัติมาร์ติงเกล (martingale property) กล่าวคือ ค่าคาดหวังของค่าในอนาคตเมื่อทราบข้อมูลทั้งหมดจนถึงปัจจุบัน เท่ากับค่าปัจจุบันเสมอ:
E [ X t + 1 ∣ X 1 , X 2 , … , X t ] = X t ( = 150 ) . \mathbb{E}\!\left[X_{t+1} \mid X_1, X_2, \dots, X_t\right] = X_t \;(= 150). E [ X t + 1 ∣ X 1 , X 2 , … , X t ] = X t ( = 150 ) . คุณสมบัติมาร์คอฟ (Markov property) ซึ่งระบุเพียงว่าการแจกแจงของอนาคตขึ้นกับสถานะปัจจุบันเท่านั้น คือ P ( X t + 1 ∣ X 1 , … , X t ) = P ( X t + 1 ∣ X t ) P(X_{t+1} \mid X_1,\dots,X_t) = P(X_{t+1} \mid X_t) P ( X t + 1 ∣ X 1 , … , X t ) = P ( X t + 1 ∣ X t ) Risk-Neutral Measure ( Q ) (\mathbb{Q}) ( Q )
risk-neutral measure คือมาตรวัดความน่าจะเป็น Q \mathbb{Q} Q P \mathbb{P} P ราคาสินทรัพย์ที่คิดลดแล้ว S ~ t = e − r t S t \tilde{S}_t = e^{-rt}S_t S ~ t = e − r t S t Q \mathbb{Q} Q r r r μ \mu μ r r r
V 0 = E Q [ e − r T p a y o f f ( S T ) ] . (1.15) V_0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\,e^{-rT}\,\mathrm{payoff}(S_T)\,\right].
\tag{1.15} V 0 = E Q [ e − r T payoff ( S T ) ] . ( 1.15 ) (1.1) ก็คือผลของ E Q [ e − r T ( S T − K ) + ] \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[e^{-rT}(S_T-K)^+\right] E Q [ e − r T ( S T − K ) + ] ใช้ทำอะไร. ประโยชน์หลักคือ Q \mathbb{Q} Q ผลตอบแทนจริง μ \mu μ และเบี้ยความเสี่ยงของนักลงทุนออกจากการกำหนดราคาทำให้ราคาออปชั่นไม่ขึ้นกับความชอบเสี่ยง (risk preference) ของแต่ละบุคคล เราจึงตั้งราคาได้ด้วยการคิดลดค่าคาดหวังเพียงอย่างเดียวโดยไม่ต้องทราบ μ \mu μ numéraire ต่างกันยังให้มาตรวัดมาร์ติงเกลที่ต่างกัน เช่น เมื่อใช้พันธบัตรไร้คูปองครบกำหนด T T T Q T \mathbb{Q}^{T} Q T F F F (1.16) และ (1.20) ไม่มีพจน์ drift.
หากไม่มี Q \mathbb{Q} Q ทฤษฎีบทหลักของการกำหนดราคาสินทรัพย์ (Fundamental Theorem of Asset Pricing) (Harrison and Pliska 1981) ระบุว่าตลาด ปราศจากการเก็งกำไร (no-arbitrage) ก็ต่อเมื่อมีมาตรวัดมาร์ติงเกลที่สมมูลอย่างน้อยหนึ่งตัว ดังนั้นหากไม่มี Q \mathbb{Q} Q P \mathbb{P} P μ \mu μ Q \mathbb{Q} Q มากกว่าหนึ่งตัว (ตลาดไม่สมบูรณ์, incomplete market) ราคาที่ปราศจากการเก็งกำไรจะไม่ซ้ำกันแต่กลายเป็น ช่วงราคา แทน.
ความเชื่อมโยงกับความสัมพันธ์ Θ – Γ \Theta\text{--}\Gamma Θ – Γ เงื่อนไขที่ราคาออปชั่นซึ่งคิดลดแล้วต้องเป็นมาร์ติงเกลภายใต้ Q \mathbb{Q} Q (1.5) โดยตรง ดังนั้นความสัมพันธ์ Θ – Γ \Theta\text{--}\Gamma Θ – Γ
Θ \Theta Θ ความสัมพันธ์ Θ – Γ \Theta\text{--}\Gamma Θ – Γ (1.7) ไม่ได้เป็นลักษณะเฉพาะของแบบจำลองแบล็ก-โชลส์เท่านั้น แต่เป็นผลที่ตามมาจากโครงสร้างของกระบวนการสุ่มที่กำหนดให้สินทรัพย์อ้างอิงและเงื่อนไขการทำกำไรโดยปราศจากความเสี่ยง (no-arbitrage) ในตลาดที่มีประสิทธิภาพ เพื่อยืนยันประเด็นนี้ เราพิจารณาแบบจำลองทางเลือกอีกสองแบบ ได้แก่ Bachelier (normal model) และ Black-76 (log-normal forward model) ซึ่งตั้งอยู่บน กระบวนการสุ่มคนละแบบ กับแบบจำลองแบล็ก-โชลส์ แล้วนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ต่างกันและมีค่า Θ \Theta Θ Θ – Γ \Theta\text{--}\Gamma Θ – Γ
ก่อนเข้าสู่รายละเอียด เราสรุปนิยามของสัญลักษณ์ที่ใช้ร่วมกันในส่วนนี้ ซึ่งหลายตัวเป็นสัญลักษณ์เฉพาะของแบบจำลองทางเลือกและมักไม่ปรากฏ ในตำราออปชั่นพื้นฐาน
แบบจำลองของบาเชอลิเยร์ (Bachelier Model)
แบบจำลองบาเชอลิเยร์ใช้กระบวนการ Arithmetic Brownian Motion (ABM) เป็นพลวัตของราคาที่อิงกับราคาส่งมอบล่วงหน้า (forward price) F F F Q T \mathbb{Q}^{T} Q T σ N \sigma_N σ N
d F t = σ N d W t Q T . (1.16) dF_t = \sigma_N\,dW_t^{\mathbb{Q}^{T}}.
\tag{1.16} d F t = σ N d W t Q T . ( 1.16 ) σ N \sigma_N σ N ระดับราคา (จึงมีหน่วยเดียวกับราคา) ไม่ใช่ความผันผวนเชิงสัดส่วน และแบบจำลองนี้ยอมให้ราคาติดลบได้ ราคา Call ที่ได้จากการคิดลดมูลค่าคาดหวังของผลตอบแทนภายใต้ Q T \mathbb{Q}^{T} Q T C B C = e − r τ [ m A N ( z A ) + σ N τ n ( z A ) ] , (1.17) C_{\mathrm{BC}} = e^{-r\tau}\bigl[m_A\,N(z_A)
+ \sigma_N\sqrt{\tau}\,n(z_A)\bigr],
\tag{1.17} C BC = e − r τ [ m A N ( z A ) + σ N τ n ( z A ) ] , ( 1.17 ) m A = F − K m_A = F - K m A = F − K z A = m A / ( σ N τ ) z_A = m_A/(\sigma_N\sqrt{\tau}) z A = m A / ( σ N τ ) σ N \sigma_N σ N n ( ⋅ ) n(\cdot) n ( ⋅ ) สมการอนุพันธ์ย่อยของบาเชอลิเยร์ (Bachelier) (forward-based, ไม่มี drift term):
∂ C ∂ t + 1 2 σ N 2 ∂ 2 C ∂ F 2 − r C = 0 ⟺ Θ N + 1 2 σ N 2 Γ N − r C B C = 0. (1.18) \begin{split}
&\frac{\partial C}{\partial t}
+ \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\,\frac{\partial^2 C}{\partial F^2}
- r C = 0 \\[2pt]
&\quad\Longleftrightarrow\quad
\Theta_N + \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\,\Gamma_N - r C_{\mathrm{BC}} = 0.
\end{split}
\tag{1.18} ∂ t ∂ C + 2 1 σ N 2 ∂ F 2 ∂ 2 C − r C = 0 ⟺ Θ N + 2 1 σ N 2 Γ N − r C BC = 0. ( 1.18 ) Θ N = r C B C − 1 2 σ N 2 Γ N \Theta_N = r\,C_{\mathrm{BC}} - \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\,\Gamma_N Θ N = r C BC − 2 1 σ N 2 Γ N Γ N = e − r τ n ( z A ) / ( σ N τ ) \Gamma_N = e^{-r\tau}\,n(z_A)/(\sigma_N\sqrt{\tau}) Γ N = e − r τ n ( z A ) / ( σ N τ ) Θ N = r C B C − 1 2 σ N 2 ⋅ e − r τ n ( z A ) σ N τ = − e − r τ σ N 2 τ n ( z A ) + r C B C . \begin{align*}
\Theta_N
&= r\,C_{\mathrm{BC}}
- \tfrac{1}{2}\sigma_N^2 \cdot
\frac{e^{-r\tau}\,n(z_A)}{\sigma_N\sqrt{\tau}} \notag \\
&= -\,\frac{e^{-r\tau}\,\sigma_N}{2\sqrt{\tau}}\,n(z_A)
+ r\,C_{\mathrm{BC}}.
\tag{1.19}
\end{align*} Θ N = r C BC − 2 1 σ N 2 ⋅ σ N τ e − r τ n ( z A ) = − 2 τ e − r τ σ N n ( z A ) + r C BC . ( 1.19 ) (1.19) ที่ได้จากสมการอนุพันธ์ย่อย ตรงกับ Θ N \Theta_N Θ N τ \tau τ (1.17) จึงยืนยันความสอดคล้อง: Θ N + 1 2 σ N 2 Γ N = r C B C \Theta_N + \tfrac{1}{2}\sigma_N^2\Gamma_N = rC_{\mathrm{BC}} Θ N + 2 1 σ N 2 Γ N = r C BC ■ \blacksquare ■ แบบจำลองของแบล็ก-76 (Black-76 Model)
แบบจำลองของแบล็ก-76 (Black 1976) ใช้ forward price F F F F F F F F F Q T \mathbb{Q}^{T} Q T
d F t F t = σ G d W t Q T , (1.20) \frac{dF_t}{F_t} = \sigma_G\,dW_t^{\mathbb{Q}^{T}},
\tag{1.20} F t d F t = σ G d W t Q T , ( 1.20 ) σ G \sigma_G σ G C B L = e − r τ [ F N ( d 1 G ) − K N ( d 2 G ) ] , (1.21) C_{\mathrm{BL}} = e^{-r\tau}\bigl[F\,N(d_1^G) - K\,N(d_2^G)\bigr],
\tag{1.21} C BL = e − r τ [ F N ( d 1 G ) − K N ( d 2 G ) ] , ( 1.21 ) m G = ln ( F / K ) m_G = \ln(F/K) m G = ln ( F / K ) d 1 G = m G + 1 2 σ G 2 τ σ G τ , d 2 G = d 1 G − σ G τ . (1.22) d_1^G = \frac{m_G + \tfrac{1}{2}\sigma_G^2\tau}{\sigma_G\sqrt{\tau}},
\qquad
d_2^G = d_1^G - \sigma_G\sqrt{\tau}.
\tag{1.22} d 1 G = σ G τ m G + 2 1 σ G 2 τ , d 2 G = d 1 G − σ G τ . ( 1.22 ) สมการอนุพันธ์ย่อยของแบล็ก-76 (ไม่มีพจน์ Δ \Delta Δ F F F
∂ C ∂ t + 1 2 σ G 2 F 2 ∂ 2 C ∂ F 2 − r C = 0 ⟺ Θ B L + 1 2 σ G 2 F 2 Γ B L = r C B L . (1.23) \begin{split}
&\frac{\partial C}{\partial t}
+ \tfrac{1}{2}\sigma_G^2 F^2\,\frac{\partial^2 C}{\partial F^2}
- r C = 0 \\[2pt]
&\quad\Longleftrightarrow\quad
\Theta_{\mathrm{BL}} + \tfrac{1}{2}\sigma_G^2 F^2\,\Gamma_{\mathrm{BL}}
= r\,C_{\mathrm{BL}}.
\end{split}
\tag{1.23} ∂ t ∂ C + 2 1 σ G 2 F 2 ∂ F 2 ∂ 2 C − r C = 0 ⟺ Θ BL + 2 1 σ G 2 F 2 Γ BL = r C BL . ( 1.23 ) F n ( d 1 G ) = K n ( d 2 G ) F\,n(d_1^G) = K\,n(d_2^G) F n ( d 1 G ) = K n ( d 2 G ) n ( d 2 G ) = n ( d 1 G ) e m G n(d_2^G) = n(d_1^G)\,e^{m_G} n ( d 2 G ) = n ( d 1 G ) e m G Γ B L = e − r τ n ( d 1 G ) / ( F σ G τ ) \Gamma_{\mathrm{BL}} = e^{-r\tau}\,n(d_1^G)/(F\sigma_G\sqrt{\tau}) Γ BL = e − r τ n ( d 1 G ) / ( F σ G τ ) Θ B L = r C B L − 1 2 σ G 2 F 2 ⋅ e − r τ n ( d 1 G ) F σ G τ = − e − r τ F σ G 2 τ n ( d 1 G ) + r C B L . \begin{align*}
\Theta_{\mathrm{BL}}
&= r\,C_{\mathrm{BL}} - \tfrac{1}{2}\sigma_G^2 F^2 \cdot
\frac{e^{-r\tau}\,n(d_1^G)}{F\sigma_G\sqrt{\tau}} \notag \\
&= -\,\frac{e^{-r\tau}\,F\sigma_G}{2\sqrt{\tau}}\,n(d_1^G)
+ r\,C_{\mathrm{BL}}.
\tag{1.24}
\end{align*} Θ BL = r C BL − 2 1 σ G 2 F 2 ⋅ F σ G τ e − r τ n ( d 1 G ) = − 2 τ e − r τ F σ G n ( d 1 G ) + r C BL . ( 1.24 ) . . . บทสรุปเชิงเปรียบเทียบ
เราสรุปกระบวนการสุ่ม (stochastic process) ในระดับจุลภาคของแต่ละแบบจำลองไว้เทียบเคียงกัน เพื่อให้เห็นว่าความแตกต่างของสมการอนุพันธ์ย่อยและของค่า Θ \Theta Θ
BSM (GBM): d S t = r S t d t + σ S t d W t , Black-76: d F t = σ G F t d W t , Bachelier (ABM): d F t = σ N d W t . \begin{align*}
\text{BSM (GBM):} \quad & dS_t = r\,S_t\,dt + \sigma\,S_t\,dW_t,
\tag{1.25} \\[2pt]
\text{Black-76:} \quad & dF_t = \sigma_G\,F_t\,dW_t,
\tag{1.26} \\[2pt]
\text{Bachelier (ABM):} \quad & dF_t = \sigma_N\,dW_t.
\tag{1.27}
\end{align*} BSM (GBM): Black-76: Bachelier (ABM): d S t = r S t d t + σ S t d W t , d F t = σ G F t d W t , d F t = σ N d W t . ( 1.25 ) ( 1.26 ) ( 1.27 ) Δ \Delta Δ r S rS r S r S Δ rS\Delta r S Δ ทั้งสามแบบจำลองมีสมการอนุพันธ์ย่อยที่ให้ความสัมพันธ์เดียวกันในรูปทั่วไป:
Θ + 1 2 V 2 Γ = r ( V − S Δ ) , (1.28) \Theta + \tfrac{1}{2}\,\mathcal{V}^2\,\Gamma = r(V - S\Delta),
\tag{1.28} Θ + 2 1 V 2 Γ = r ( V − S Δ ) , ( 1.28 ) V \mathcal{V} V S Δ S\Delta S Δ F F F r S Δ rS\Delta r S Δ ข้อสังเกตสำคัญ: เมื่อ r → 0 r \to 0 r → 0 Θ = − 1 2 V 2 Γ \Theta = -\tfrac{1}{2}\,\mathcal{V}^2\,\Gamma Θ = − 2 1 V 2 Γ