Option Pricing Models
Option Pricing Models

American Approximations

ประมาณมูลค่าของสิทธิใช้ก่อนครบกำหนดด้วย European value และ Early Exercise Premium

สูตรขอบเขตการใช้สิทธิในบทนี้พิจารณา Call ที่ S,K,σ,τ>0S,K,\sigma,\tau>0, r>0r>0 และ b<rb<r หาก b≥rb\ge r ภายใต้ r≥0r\ge0 จะไม่มีประโยชน์จากการใช้ Call ก่อนกำหนด จึงใช้ CA=cC^A=c และไม่แทนค่าลงสูตรขอบเขตที่มีตัวหาร r−br-b โดยตรง สำหรับ BAW ที่ r=0r=0 ต้องใช้ลิมิต M/k→2/(σ2τ)M/k\to2/(\sigma^2\tau) แทนการหาร 0/00/0; สูตรขอบเขต Bjerksund–Stensland ที่แสดงด้านล่างจำกัดไว้ที่เงื่อนไขข้างต้น

การประมาณของบาโรเน-อาเดซี-เวลีย์ (Barone-Adesi-Whaley, 1987)

วิธีบาโรเน-อาเดซี-เวลีย์ เสนอโดย โจวานนี บาโรเน-อาเดซี (Giovanni Barone-Adesi) และ โรเบิร์ต เวลีย์ (Robert E. Whaley) (Barone-Adesi and Whaley 1987) เพื่อแก้ปัญหาที่การคำนวณเชิงต้นไม้ใช้เวลานาน แนวคิดหลักคือมูลค่าออปชันอเมริกันเท่ากับมูลค่าออปชันยุโรปบวกกับส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า (Early Exercise Premium) จากนั้นใช้การประมาณเชิงวิเคราะห์ (analytical approximation) แบบกำลังสอง (quadratic approximation) โดยแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ordinary differential equation, ODE) แบบออยเลอร์ (Euler equation) แล้วหาผลเฉลย

ให้ ε(S,τ)=VA(S,τ)−VE(S,τ)\varepsilon(S,\tau) = V^{A}(S,\tau) - V^{E}(S,\tau) เป็นส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า โดย τ=T−t\tau = T-t และให้ bb เป็นต้นทุนการถือครอง ในบริเวณที่ยังไม่ใช้สิทธิ (continuation region) ทั้ง VAV^{A} และ VEV^{E} สอดคล้องกับ PDE แบล็ก-โชลส์เวอร์ชันทั่วไป

12σ2S2εSS+bS εS−rε−ετ=0,(4.1)\frac12\sigma^2 S^2 \varepsilon_{SS} + bS\,\varepsilon_S - r\varepsilon - \varepsilon_\tau = 0, \tag{4.1}
ε\varepsilon ก็สอดคล้องกับ PDE เดียวกัน กำหนด M=2r/σ2M = 2r/\sigma^2, N=2b/σ2\mathcal{N} = 2b/\sigma^2 และ k(τ)=1−e−rτk(\tau) = 1-\mathrm{e}^{-r\tau} (เราใช้อักษร kk ตัวเล็กเพื่อไม่ให้สับสนกับราคาใช้สิทธิ KK) แล้วเขียน ε=k(τ) g(S,k)\varepsilon = k(\tau)\,g(S,k) ตามข้อเสนอของแมกมิลลัน (MacMillan)

Proposition 17 (สมการกำลังสองของ BAW). เมื่อประมาณโดยละเลยพจน์ M(1−k) ∂g/∂kM(1-k)\,\partial g/\partial k ฟังก์ชัน gg สอดคล้องกับ ODE แบบออยเลอร์

S2gSS+NS gS−Mk g=0,(4.2)S^2 g_{SS} + \mathcal{N} S\,g_S - \frac{M}{k}\,g = 0, \tag{4.2}
ซึ่งมีผลเฉลยรูป g=Sqg = S^{q} โดย qq เป็นรากของสมการกำลังสองลักษณะเฉพาะ (characteristic quadratic)
q2+(N−1)q−Mk=0,q2=−(N−1)+(N−1)2+4M/k2.(4.3)q^2 + (\mathcal{N}-1)q - \frac{M}{k} = 0, \qquad q_2 = \frac{-(\mathcal{N}-1) + \sqrt{(\mathcal{N}-1)^2 + 4M/k}}{2}. \tag{4.3}

Proof. แทน ε=k(τ)g(S,k)\varepsilon = k(\tau)g(S,k) ลงใน (4.1) โดยใช้กฎลูกโซ่ ετ=k′g+k gk k′\varepsilon_\tau = k'g + k\,g_k\,k' และ k′(τ)=re−rτ=r(1−k)k'(\tau) = r\mathrm{e}^{-r\tau} = r(1-k) ดังนั้น ετ=r(1−k)(g+k gk)\varepsilon_\tau = r(1-k)\big(g + k\,g_k\big). หารตลอดด้วย 12σ2k\tfrac12\sigma^2 k และใช้ M,NM,\mathcal{N} ที่นิยามไว้ พร้อมรวมพจน์ −Mg−Mk(1−k)g=−Mkg-Mg - \frac{M}{k}(1-k)g = -\frac{M}{k}g ได้

S2gSS+NSgS−Mkg−M(1−k) gk=0.S^2 g_{SS} + \mathcal{N}S g_S - \frac{M}{k}g - M(1-k)\,g_k = 0.
การประมาณกำลังสองของ BAW คือละพจน์ M(1−k)gkM(1-k)g_k ซึ่งสมเหตุสมผลในสองขีดจำกัด: เมื่อ τ→∞\tau\to\infty ตัวประกอบ (1−k)=e−rτ→0(1-k)=\mathrm{e}^{-r\tau}\to 0 และเมื่อ τ→0\tau\to 0 ส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า ε\varepsilon เองมีค่าเล็กมากจนความคลาดเคลื่อนจากการละพจน์นี้ไม่ส่งผลต่อราคาอย่างมีนัยสำคัญ เหลือ (4.2). เนื่องจากเป็นสมการออยเลอร์ ลองผลเฉลย g=Sqg=S^q แทนแล้วได้ q(q−1)+Nq−M/k=0q(q-1)+\mathcal{N}q - M/k = 0 ซึ่งจัดรูปเป็น (4.3). เลือกรากบวก q2q_2 สำหรับออปชันซื้อเพื่อให้ส่วนเพิ่ม ε\varepsilon ลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อ S→0S\to0. ◻

Theorem 18 (สูตรประมาณ BAW สำหรับออปชันซื้อแบบอเมริกัน). ราคาออปชันซื้อแบบอเมริกันประมาณได้ด้วย

CA(S)≈{c(S)+A2(SS∗)q2,S<S∗,S−K,S≥S∗,(4.4)C^{A}(S) \approx \begin{cases} c(S) + A_2\left(\dfrac{S}{S^\ast}\right)^{q_2}, & S < S^\ast,\\[2ex] S - K, & S \ge S^\ast, \end{cases} \tag{4.4}
โดย c(S)c(S) คือราคาออปชันซื้อแบบยุโรป (แบล็ก-โชลส์/แบล็ก-76 ตามค่า bb) ราคาวิกฤต S∗S^\ast (critical exercise price) เป็นผลเฉลยของเงื่อนไขการเชื่อมต่อแบบราบรื่น (value-matching และ smooth-pasting)
S∗−K=c(S∗)+S∗q2(1−e(b−r)τΦ(d1(S∗))),(4.5)S^\ast - K = c(S^\ast) + \frac{S^\ast}{q_2}\Big(1 - \mathrm{e}^{(b-r)\tau}\Phi(d_1(S^\ast))\Big), \tag{4.5}
และ A2=S∗q2(1−e(b−r)τΦ(d1(S∗)))A_2 = \dfrac{S^\ast}{q_2}\big(1 - \mathrm{e}^{(b-r)\tau}\Phi(d_1(S^\ast))\big) โดยที่ d1d_1 ในที่นี้ใช้รูปทั่วไปที่มีต้นทุนการถือครอง bb คือ d1(S)=[ln⁡(S/K)+(b+12σ2)τ]/(στ)d_1(S) = \big[\ln(S/K)+(b+\tfrac12\sigma^2)\tau\big]\big/\big(\sigma\sqrt{\tau}\big) (ลดรูปเป็น (2.5) เมื่อ b=rb=r และเป็น (2.8) เมื่อ b=0b=0).

แนวพิสูจน์. ที่ราคาใต้จุดวิกฤต (S<S∗S<S^\ast) ยังไม่ใช้สิทธิ มูลค่าเท่ากับออปชันยุโรปบวกส่วนเพิ่ม ε=A2(S/S∗)q2\varepsilon = A_2 (S/S^\ast)^{q_2} ที่ราคาเหนือหรือเท่ากับ S∗S^\ast ใช้สิทธิทันทีจึงได้ S−KS-K. ค่าคงตัว A2A_2 และราคาวิกฤต S∗S^\ast กำหนดจากเงื่อนไขสองข้อ ณ S=S∗S=S^\ast: (i) value-matching c(S∗)+A2=S∗−Kc(S^\ast)+A_2 = S^\ast - K และ (ii) smooth-pasting คือความชันเท่ากันสองข้าง c′(S∗)+q2A2/S∗=1c'(S^\ast) + q_2 A_2/S^\ast = 1. ใช้ c′(S∗)=e(b−r)τΦ(d1(S∗))c'(S^\ast) = \mathrm{e}^{(b-r)\tau}\Phi(d_1(S^\ast)) (เดลตาของออปชันยุโรป) แก้ (ii) หา A2A_2 แล้วแทนใน (i) ได้ (4.5) ซึ่งแก้เชิงตัวเลข (เช่น นิวตัน-ราฟสัน) เพื่อหา S∗S^\ast. ◻

Remark 19. กรณีออปชันขายแบบอเมริกันใช้รากลบ q1=12[−(N−1)−(N−1)2+4M/k]q_1 = \tfrac12\big[-(\mathcal{N}-1)-\sqrt{(\mathcal{N}-1)^2+4M/k}\big] และส่วนเพิ่ม A1(S/S∗∗)q1A_1(S/S^{\ast\ast})^{q_1} โดยมีเงื่อนไขขอบเขตในลักษณะคู่ขนาน.

การประมาณของบเยิร์กซุนด์-สเตนสลันด์ (Bjerksund-Stensland, 1993)

วิธีบเยิร์กซุนด์-สเตนสลันด์ ถูกเสนอโดย เพตเตอร์ บเยิร์กซุนด์ (Petter Bjerksund) และ กุนนาร์ สเตนสลันด์ (Gunnar Stensland) (Bjerksund and Stensland 1993) แนวคิดหลักคือแทนขอบเขตการใช้สิทธิที่แท้จริง (ซึ่งขึ้นกับเวลา) ด้วย ขอบเขตแบน (flat exercise boundary) ที่เป็นราคากระตุ้นคงที่ XX (trigger price) เพียงค่าเดียว วิธีนี้ให้สูตรปิดโดยประมาณที่คำนวณเร็วมากและมีความแม่นยำใกล้เคียงกับ BAW

Theorem 20 (สูตรปิดโดยประมาณของบเยิร์กซุนด์-สเตนสลันด์). กำหนดค่าคงที่

β=(12−bσ2)+(bσ2−12)2+2rσ2,(4.6)\beta = \Big(\tfrac12 - \tfrac{b}{\sigma^2}\Big) + \sqrt{\Big(\tfrac{b}{\sigma^2}-\tfrac12\Big)^2 + \tfrac{2r}{\sigma^2}}, \tag{4.6}
ราคากระตุ้น XX และค่าคงตัว α\alpha
B∞=ββ−1K,B0=max⁡ ⁣(K, rr−bK),X=B0+(B∞−B0)(1−eh(τ)),α=(X−K)X−β,(4.7)B_\infty = \frac{\beta}{\beta-1}K,\quad B_0 = \max\!\Big(K,\ \tfrac{r}{r-b}K\Big),\quad X = B_0 + (B_\infty-B_0)\big(1-\mathrm{e}^{h(\tau)}\big),\quad \alpha = (X-K)X^{-\beta}, \tag{4.7}
โดย h(τ)=−(bτ+2στ)B0B∞−B0h(\tau) = -\big(b\tau + 2\sigma\sqrt{\tau}\big)\dfrac{B_0}{B_\infty-B_0} ราคาออปชันซื้อแบบอเมริกันสำหรับกรณี S<XS<X ประมาณได้ด้วย
CA(S)≈αSβ−α ϕ(S,τ;β,X,X)+ϕ(S,τ;1,X,X)−ϕ(S,τ;1,K,X)−K ϕ(S,τ;0,X,X)+K ϕ(S,τ;0,K,X),(4.8)\begin{aligned} C^{A}(S) \approx \alpha S^{\beta} - \alpha\,\phi(S,\tau;\beta,X,X) + \phi(S,\tau;1,X,X)\\ {}- \phi(S,\tau;1,K,X) - K\,\phi(S,\tau;0,X,X) + K\,\phi(S,\tau;0,K,X), \end{aligned}\tag{4.8}
ส่วนกรณี S≥XS\ge X ใช้สิทธิทันทีได้ CA(S)=S−KC^{A}(S)=S-K. ฟังก์ชันช่วย ϕ\phi นิยามเป็น
ϕ(S,τ;γ,H,X)=eλτSγ[Φ(d)−(XS)κΦ ⁣(d−2ln⁡(X/S)στ)],(4.9)\phi(S,\tau;\gamma,H,X) = \mathrm{e}^{\lambda\tau}S^{\gamma}\Big[\Phi(d) - \Big(\tfrac{X}{S}\Big)^{\kappa}\Phi\!\Big(d - \tfrac{2\ln(X/S)}{\sigma\sqrt{\tau}}\Big)\Big], \tag{4.9}
และ
λ=−r+γb+12γ(γ−1)σ2,d=−ln⁡(S/H)+(b+(γ−12)σ2)τστ,κ=2bσ2+(2γ−1).(4.10)\lambda = -r + \gamma b + \tfrac12\gamma(\gamma-1)\sigma^2,\quad d = -\frac{\ln(S/H) + \big(b+(\gamma-\tfrac12)\sigma^2\big)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}},\quad \kappa = \frac{2b}{\sigma^2} + (2\gamma-1). \tag{4.10}

แนวพิสูจน์. กำหนดกลยุทธ์การใช้สิทธิแบบง่าย: ใช้สิทธิทันทีที่ SS แตะราคากระตุ้นคงที่ X≥KX\ge K เป็นครั้งแรก มูลค่าของกลยุทธ์นี้เป็นขอบเขตล่างของราคาออปชันอเมริกันที่แท้จริง (เพราะเป็นเวลาหยุดที่ยอมรับได้แต่ไม่จำเป็นต้องเหมาะสมที่สุด) ฟังก์ชัน ϕ(S,τ;γ,H,X)\phi(S,\tau;\gamma,H,X) คือค่าคาดหวังคิดลดของ Sτγ1{Sτ<H}S_\tau^{\gamma}\mathbf{1}_{\{S_\tau<H\}} ภายใต้เงื่อนไขว่าราคายังไม่เคยแตะ XX ตลอดช่วง ซึ่งคำนวณได้ในรูปปิดโดยหลักการสะท้อน (reflection principle) ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีอุปสรรค (barrier) พจน์ αSβ\alpha S^\beta แทนมูลค่าเมื่อราคาแตะขอบเขต ส่วนพจน์ ϕ\phi ที่เหลือปรับแก้ผลตอบแทนภายในบริเวณต่อเนื่อง เมื่อรวมเข้าด้วยกันตามโครงสร้าง (4.8) จะได้ราคาประมาณ ราคากระตุ้น XX ถูกเลือกให้เหมาะสมโดยประมาณผ่าน (4.7) ซึ่งสอดแทรกระหว่างค่าขอบเขตทันที B0B_0 กับค่าขอบเขตเมื่อ τ→∞\tau\to\infty คือ B∞B_\infty. ◻

Remark 21. บเยิร์กซุนด์และสเตนสลันด์ปรับปรุงวิธีนี้ในปี ค.ศ. 2002 โดยใช้ขอบเขตแบนสองช่วง (two-step flat boundary) เพื่อเพิ่มความแม่นยำ แต่โครงสร้างเชิงทฤษฎีของฟังก์ชัน ϕ\phi ยังคงเดิม.

ผู้เขียนต้นฉบับ · QuantCorner

Triphop Mahithitarmmatorn

ผู้เขียนบทความ “แบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน: จากบาเชอลิเยถึงการประมาณค่าออปชันแบบอเมริกัน” ซึ่งเป็นต้นฉบับของซีรีส์นี้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตามผู้เขียนและ QuantCorner ได้ที่นี่

ค้นหาในสมุดบันทึก