Option Pricing Models
Option Pricing Models

BSM & Black-76

เปรียบเทียบแบบจำลองสำหรับหุ้นกับฟิวเจอร์ และดูว่ากระบวนการสุ่มกับ Cost of carry เปลี่ยนสูตรราคาอย่างไร

แบบจำลองแบล็ก-โชลส์-เมอร์ตัน (Black-Scholes-Merton Model, 1973)

แบบจำลองในยุคถัดมาถูกเสนอโดย ฟิสเชอร์ แบล็ก (Fischer Black), ไมรอน เอส. โชลส์ (Myron S. Scholes) และ โรเบิร์ต ซี. เมอร์ตัน (Robert C. Merton) (Black and Scholes 1973; Merton 1973) ผลงานนี้ทำให้โชลส์และเมอร์ตันได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ (Nobel Memorial Prize in Economic Sciences) ในปี ค.ศ. 1997 สิ่งที่แบบจำลองนี้ปรับปรุงจากแบบจำลองบาเชอลิเยคือ ราคาสินทรัพย์ในอนาคตมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล (Lognormal Distribution) ส่วนผลตอบแทนลอการิทึมมีการแจกแจงปกติ (Normal Distribution) เมื่อพารามิเตอร์คงที่ หรือกล่าวได้ว่าราคาสินทรัพย์เคลื่อนที่แบบสุ่มเชิงเรขาคณิต (Geometric Brownian Motion, GBM) ซึ่งรับประกันว่าราคายังคงเป็นบวกเสมอ อย่างไรก็ตามในยุคเริ่มต้นออปชันถูกพัฒนาสำหรับดัชนีและหุ้นเป็นหลัก หากนำไปใช้กับสัญญาฟิวเจอร์แบบจำลองนี้จะยังไม่เหมาะสม เพราะการถือหุ้นมีค่าเสียโอกาส (cost of carry) จากการนำเงินไปซื้อหุ้นแทนที่จะฝากธนาคาร แต่สำหรับฟิวเจอร์ไม่มีต้นทุนการถือครองในลักษณะเดียวกัน ประเด็นนี้จะนำไปสู่แบบจำลองแบล็ก-76 ในหัวข้อถัดไป

Assumption 5 (พลวัตแบบ GBM). ภายใต้มาตรวัดเชิงกลาง-ความเสี่ยง ราคาสินทรัพย์เป็นไปตาม SDE

dSt=rSt dt+σSt dWt,(2.1)\mathrm{d}S_t = r S_t\,\mathrm{d}t + \sigma S_t\,\mathrm{d}W_t, \tag{2.1}
โดย rr คืออัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง และ σ>0\sigma>0 คือความผันผวน จากเล็มมาของอิโต (Itô’s lemma) จะได้ dln⁡St=(r−12σ2)dt+σ dWt\mathrm{d}\ln S_t = (r-\tfrac12\sigma^2)\mathrm{d}t + \sigma\,\mathrm{d}W_t ดังนั้น ST=S0exp⁡ ⁣((r−12σ2)T+σWT)S_T = S_0\exp\!\big((r-\tfrac12\sigma^2)T + \sigma W_T\big) ซึ่งเป็นการกระจายตัวแบบล็อกนอร์มัล.

Theorem 6 (สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบล็ก-โชลส์). ให้ V(S,t)V(S,t) เป็นมูลค่าพอร์ตของอนุพันธ์ที่ขึ้นกับ SS และ tt ภายใต้สมมติฐาน 5 และการซื้อขายต่อเนื่องโดยไม่มีต้นทุนธุรกรรม มูลค่า VV ต้องสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equation, PDE)

∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+rS∂V∂S−rV=0.(2.2)\frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0. \tag{2.2}

Proof. สร้างพอร์ตโฟลิโอป้องกันความเสี่ยง Π=V−ΔS\Pi = V - \Delta S โดยถืออนุพันธ์หนึ่งหน่วยและขายชอร์ตสินทรัพย์อ้างอิง Δ\Delta หน่วย เพื่อหลีกเลี่ยงการวนตรรกะ (เพราะมาตรวัดเชิงกลาง-ความเสี่ยงเป็นผลลัพธ์ของหลักไร้การเก็งกำไร) เราทำงานภายใต้มาตรวัดจริงซึ่งราคาเป็นไปตาม dSt=μSt dt+σSt dWt\mathrm{d}S_t = \mu S_t\,\mathrm{d}t + \sigma S_t\,\mathrm{d}W_t โดย μ\mu คืออัตราผลตอบแทนคาดหวังใด ๆ ใช้เล็มมาของอิโตกับ V(S,t)V(S,t)

dV=(∂V∂t+μS∂V∂S+12σ2S2∂2V∂S2)dt+σS∂V∂S dWt.\mathrm{d}V = \Big(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac12\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\Big)\mathrm{d}t + \sigma S\frac{\partial V}{\partial S}\,\mathrm{d}W_t.
ดังนั้น
dΠ=dV−Δ dS=(∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+μS(∂V∂S−Δ))dt+σS(∂V∂S−Δ)dWt.\mathrm{d}\Pi = \mathrm{d}V - \Delta\,\mathrm{d}S = \Big(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \mu S\Big(\frac{\partial V}{\partial S} - \Delta\Big)\Big)\mathrm{d}t + \sigma S\Big(\frac{\partial V}{\partial S} - \Delta\Big)\mathrm{d}W_t.
เลือก Δ=∂V/∂S\Delta = \partial V/\partial S เพื่อกำจัดพจน์สุ่ม dWt\mathrm{d}W_t ซึ่งกำจัดพจน์ที่ขึ้นกับ μ\mu ไปพร้อมกัน (นี่คือเหตุผลที่ราคาออปชันไม่ขึ้นกับอัตราผลตอบแทนคาดหวังของสินทรัพย์) ทำให้พอร์ตโฟลิโอไร้ความเสี่ยงในทันที ตามหลักไร้การเก็งกำไรผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอไร้ความเสี่ยงต้องเท่ากับอัตราไร้ความเสี่ยง dΠ=rΠ dt=r(V−ΔS)dt\mathrm{d}\Pi = r\Pi\,\mathrm{d}t = r(V-\Delta S)\mathrm{d}t เมื่อจับพจน์ dt\mathrm{d}t ให้เท่ากันและแทน Δ=∂V/∂S\Delta=\partial V/\partial S จะได้ (2.2) ตามต้องการ. ◻

Remark 7. บทพิสูจน์ข้างต้นเป็นแบบฮิวริสติกตามตำรามาตรฐาน: ขั้นตอน dΠ=dV−Δ dS\mathrm{d}\Pi = \mathrm{d}V - \Delta\,\mathrm{d}S ละเลยพจน์จากการเปลี่ยนแปลงของ Δ\Delta เอง ซึ่งจะถูกต้องเคร่งครัดก็ต่อเมื่อกลยุทธ์เป็นแบบหาเงินทุนในตัว (self-financing) การพิสูจน์อย่างเคร่งครัดสร้างพอร์ตโฟลิโอจำลอง (replicating portfolio) แบบ self-financing โดยตรง ดู (Karatzas and Shreve 1991; Shreve 2004).

Corollary 8 (สูตรราคาออปชันแบล็ก-โชลส์). ราคาออปชันซื้อและออปชันขายแบบยุโรปที่สอดคล้องกับ (2.2) ภายใต้เงื่อนไขปลายทาง (1.1) คือ

CBS=S0 Φ(d1)−Ke−rTΦ(d2),PBS=Ke−rTΦ(−d2)−S0 Φ(−d1),\begin{align*} C_{\mathrm{BS}} &= S_0\,\Phi(d_1) - K\mathrm{e}^{-rT}\Phi(d_2), \tag{2.3}\\ P_{\mathrm{BS}} &= K\mathrm{e}^{-rT}\Phi(-d_2) - S_0\,\Phi(-d_1), \tag{2.4} \end{align*}
โดย
d1=ln⁡(S0/K)+(r+12σ2)TσT,d2=d1−σT.(2.5)d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r+\tfrac12\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}. \tag{2.5}

Proof. คำนวณค่าคาดหวัง (1.2) โดยตรง เขียน ST=S0e(r−12σ2)T+σTZS_T = S_0\mathrm{e}^{(r-\frac12\sigma^2)T+\sigma\sqrt{T}Z} โดย Z∼N(0,1)Z\sim\mathcal{N}(0,1) ผลตอบแทนเป็นบวกเมื่อ ST>KS_T>K กล่าวคือ Z>−d2Z > -d_2 ดังนั้น

CBS=e−rT ⁣∫−d2∞ ⁣(S0e(r−12σ2)T+σTz−K)φ(z) dz.C_{\mathrm{BS}} = \mathrm{e}^{-rT}\!\int_{-d_2}^{\infty}\!\big(S_0\mathrm{e}^{(r-\frac12\sigma^2)T+\sigma\sqrt{T}z} - K\big)\varphi(z)\,\mathrm{d}z.
สำหรับพจน์แรก ทำการเติมกำลังสองสมบูรณ์ (complete the square) ในเลขชี้กำลัง
−12z2+σT z=−12(z−σT)2+12σ2T,-\tfrac12 z^2 + \sigma\sqrt{T}\,z = -\tfrac12(z-\sigma\sqrt{T})^2 + \tfrac12\sigma^2 T,
ทำให้พจน์คิดลดและพจน์ e−12σ2T\mathrm{e}^{-\frac12\sigma^2 T} ตัดกับตัวประกอบ erT\mathrm{e}^{rT} เหลือ S0∫−d2∞φ(z−σT)dz=S0 Φ(d2+σT)=S0 Φ(d1)S_0\int_{-d_2}^\infty \varphi(z-\sigma\sqrt{T})\mathrm{d}z = S_0\,\Phi(d_2+\sigma\sqrt{T}) = S_0\,\Phi(d_1). พจน์ที่สองให้ −Ke−rTΦ(d2)-K\mathrm{e}^{-rT}\Phi(d_2) โดยตรง รวมกันได้ (2.3). สูตรออปชันขาย (2.4) ตามมาจากความเสมอภาคระหว่างพุต-คอล (put-call parity) C−P=S0−Ke−rTC - P = S_0 - K\mathrm{e}^{-rT}. ◻

แบบจำลองแบล็ก-76 (Black-76 Model, 1976)

แบบจำลองแบล็ก-76 เสนอโดย ฟิสเชอร์ แบล็ก (Fischer Black) ในปี ค.ศ. 1976 (Black 1976) เป็นแนวทางแก้ปัญหาที่แบบจำลองแบล็ก-โชลส์เดิมใช้กับสัญญาฟิวเจอร์ไม่ได้ ประเด็นหลักคือต้นทุนการถือครองสินทรัพย์ (cost of carry, bb) เนื่องจากฟิวเจอร์ไม่มีภาระการถือครอง จึงกำหนดให้ b=0b=0 สำหรับฟิวเจอร์ ราคาฟิวเจอร์ FF ที่ตกลงกันถือเป็นมูลค่าในอนาคตที่ถูกคิดกลับมาสู่ปัจจุบันเรียบร้อยแล้ว ต่างจากหุ้นที่ราคาปัจจุบันเป็นมูลค่าที่ต้องจ่ายจริงในทันที ดังนั้นทั้งราคาฟิวเจอร์ FF และราคาใช้สิทธิ KK จึงถูกคิดลด (discounting) กลับสู่มูลค่าปัจจุบัน (present value) ด้วยตัวประกอบ e−rT\mathrm{e}^{-rT} เพียงตัวเดียว

Theorem 9 (สูตรราคาออปชันแบล็ก-76). ให้ราคาฟิวเจอร์เป็นไปตาม dFt=σFt dWt\mathrm{d}F_t = \sigma F_t\,\mathrm{d}W_t ภายใต้มาตรวัดเชิงกลาง-ความเสี่ยง (drift เป็นศูนย์เพราะฟิวเจอร์เป็นมาร์ทิงเกล) ราคาออปชันซื้อและขายแบบยุโรปคือ

C76=e−rT[F Φ(d1)−K Φ(d2)],P76=e−rT[K Φ(−d2)−F Φ(−d1)],\begin{align*} C_{76} &= \mathrm{e}^{-rT}\big[F\,\Phi(d_1) - K\,\Phi(d_2)\big], \tag{2.6}\\ P_{76} &= \mathrm{e}^{-rT}\big[K\,\Phi(-d_2) - F\,\Phi(-d_1)\big], \tag{2.7} \end{align*}
โดย
d1=ln⁡(F/K)+12σ2TσT,d2=d1−σT.(2.8)d_1 = \frac{\ln(F/K)+\tfrac12\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1-\sigma\sqrt{T}. \tag{2.8}

Proof. เนื่องจากฟิวเจอร์ไม่ต้องใช้เงินลงทุนเริ่มต้น ราคาฟิวเจอร์จึงเป็นมาร์ทิงเกลภายใต้ Q\mathbb{Q} กล่าวคือ drift เท่ากับศูนย์ ดังนั้น FT=Fexp⁡(−12σ2T+σTZ)F_T = F\exp(-\tfrac12\sigma^2 T + \sigma\sqrt{T}Z) โดย Z∼N(0,1)Z\sim\mathcal{N}(0,1) แทนใน C76=e−rTE[(FT−K)+]C_{76} = \mathrm{e}^{-rT}\mathbb{E}[(F_T-K)^+] แล้วดำเนินการเติมกำลังสองสมบูรณ์เช่นเดียวกับบทพิสูจน์ของผลสืบเนื่อง 8 จะได้ (2.6). อีกวิธีหนึ่งคือแทน S0=Fe−rTS_0 = F\mathrm{e}^{-rT} ลงใน (2.3) ซึ่งให้ผลลัพธ์เดียวกันทันที เพราะการแทนดังกล่าวทำให้ ln⁡(S0/K)+(r+12σ2)T=ln⁡(F/K)+12σ2T\ln(S_0/K)+(r+\tfrac12\sigma^2)T = \ln(F/K)+\tfrac12\sigma^2 T. ◻

Remark 10. สูตร (2.6) เป็นกรณีเฉพาะของสูตรทั่วไปที่มีต้นทุนการถือครอง bb โดยแทน drift ของสินทรัพย์ด้วย bb และคิดลดด้วย rr; กรณี b=rb=r ให้แบล็ก-โชลส์ (หุ้นไม่จ่ายปันผล) กรณี b=0b=0 ให้แบล็ก-76 (ฟิวเจอร์) กรณี b=r−qb=r-q ให้แบบจำลองของเมอร์ตันสำหรับหุ้นจ่ายปันผลต่อเนื่องอัตรา qq (Merton 1973) และกรณี b=r−rfb=r-r_f ให้แบบจำลองการ์มัน-โคลฮาเกนสำหรับออปชันอัตราแลกเปลี่ยน โดย rfr_f คืออัตราดอกเบี้ยของสกุลเงินต่างประเทศ.

ผู้เขียนต้นฉบับ · QuantCorner

Triphop Mahithitarmmatorn

ผู้เขียนบทความ “แบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน: จากบาเชอลิเยถึงการประมาณค่าออปชันแบบอเมริกัน” ซึ่งเป็นต้นฉบับของซีรีส์นี้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตามผู้เขียนและ QuantCorner ได้ที่นี่

ค้นหาในสมุดบันทึก