Option Pricing Models
Option Pricing Models

Lattice Models

เปลี่ยนการเคลื่อนที่ของราคาให้เป็นต้นไม้เวลาไม่ต่อเนื่อง คำนวณย้อนหลัง และตรวจการลู่เข้าสู่คำตอบแบบต่อเนื่อง

แบบจำลองต้นไม้ทวินาม (Binomial Tree, 1979)

แบบจำลองต้นไม้ทวินาม (Binomial Tree) ถูกเสนอโดย ค็อกซ์ (John C. Cox), รอสส์ (Stephen A. Ross) และ รูบินสไตน์ (Mark Rubinstein) (Cox et al. 1979) แบบจำลองก่อนหน้านี้ล้วนออกแบบสำหรับออปชันแบบยุโรปเท่านั้น แต่ไม่เหมาะกับการคำนวณมูลค่าออปชันแบบอเมริกัน จึงมีการเสนอการคำนวณด้วยแผนภาพต้นไม้ (tree) ซึ่งเหมาะกับการพิจารณาการใช้สิทธิล่วงหน้า (Early Exercise Premium) อันเป็นเหตุผลหนึ่งที่มูลค่าออปชันแบบอเมริกันที่ยังไม่ใช้สิทธิมีค่าสูงกว่าหรือเท่ากับออปชันแบบยุโรปที่เทียบเท่ากัน อย่างไรก็ตามในกรณีทั่วไปต้นไม้ไม่มีรูปแบบปิด และแม้ต้นไม้แบบรวมกิ่ง (recombining) จะมีจำนวนโหนดรวมเพียง O(N2)O(N^2) (ต่างจากจำนวนเส้นทางทั้งหมดซึ่งโตแบบ 2N2^N) การคำนวณด้วยมือก็ยังทำได้ยากเมื่อจำนวนขั้นมาก วิธีการนี้ตั้งสมมติฐานว่าในแต่ละช่วงเวลาสั้น ๆ ราคาสินทรัพย์เคลื่อนที่ได้เพียงสองทิศทาง คือขึ้นด้วยตัวคูณ uu หรือลงด้วยตัวคูณ dd ทำให้มูลค่าสินทรัพย์ขึ้นกับเส้นทาง (path) และเวลาเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (discrete time) ดังแสดงในรูปที่ 1

ต้นไม้ทวินามแบบรวมกิ่งสามช่วงเวลา
รูปที่ 1 · ต้นไม้ทวินามแบบรวมกิ่ง (recombining binomial tree) สามช่วงเวลา แสดงราคาสินทรัพย์ S0ujdi − j ณ โหนดต่าง ๆ พารามิเตอร์คงที่: u=eσΔtu=\mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, d = 1/u, ความน่าจะเป็นเชิงกลาง-ความเสี่ยง p* = (erΔt − d)/(u − d). สังเกตว่าการเลื่อนขึ้นแล้วลงกลับมาที่โหนดเดียวกัน (recombining) ทำให้จำนวนโหนด ณ ขั้น i เท่ากับ i + 1 แทนที่จะเป็น 2i.

Proposition 11 (พารามิเตอร์และการเวียนซ้ำเชิงกลาง-ความเสี่ยง). แบ่งช่วงเวลา [0,T][0,T] เป็น NN ขั้นย่อยเท่า ๆ กัน Δt=T/N\Delta t = T/N กำหนด

u=eσΔt,d=e−σΔt=1u,p∗=erΔt−du−d.(3.1)u = \mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \qquad d = \mathrm{e}^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} = \frac1u, \qquad p^\ast = \frac{\mathrm{e}^{r\Delta t}-d}{u-d}. \tag{3.1}
เมื่อ Δt\Delta t เล็กพอจะได้ 0<p∗<10<p^\ast<1 และมูลค่าออปชันแบบยุโรป ณ โหนดใด ๆ สอดคล้องกับการเวียนซ้ำถอยหลัง (backward induction)
Vi(j)=e−rΔt[p∗Vi+1(j+1)+(1−p∗)Vi+1(j)],(3.2)V_i^{(j)} = \mathrm{e}^{-r\Delta t}\Big[p^\ast V_{i+1}^{(j+1)} + (1-p^\ast)V_{i+1}^{(j)}\Big], \tag{3.2}
ในขณะที่ออปชันแบบอเมริกันแทนที่ด้วย
Vi(j)=max⁡ ⁣{Λ(S0ujdi−j),  e−rΔt[p∗Vi+1(j+1)+(1−p∗)Vi+1(j)]}.(3.3)V_i^{(j)} = \max\!\Big\{\Lambda\big(S_0 u^{j} d^{i-j}\big),\; \mathrm{e}^{-r\Delta t}\big[p^\ast V_{i+1}^{(j+1)} + (1-p^\ast)V_{i+1}^{(j)}\big]\Big\}. \tag{3.3}

Proof. ค่า p∗p^\ast ถูกเลือกให้ราคาสินทรัพย์ที่คิดลดเป็นมาร์ทิงเกล กล่าวคือ EQ[Si+1∣Si]=erΔtSi\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_{i+1}\mid S_i] = \mathrm{e}^{r\Delta t}S_i ซึ่งให้ p∗u+(1−p∗)d=erΔtp^\ast u + (1-p^\ast)d = \mathrm{e}^{r\Delta t} แก้หาได้ (3.1). ภายใต้มาตรวัดนี้มูลค่าออปชันคือค่าคาดหวังของมูลค่าขั้นถัดไปที่คิดลด นำไปสู่ (3.2). สำหรับออปชันอเมริกัน ณ แต่ละโหนดผู้ถือเลือกมูลค่าที่มากกว่าระหว่างการใช้สิทธิทันที Λ(S)\Lambda(S) กับการถือต่อ (continuation value) จึงได้ (3.3). เงื่อนไข erΔt∈(d,u)\mathrm{e}^{r\Delta t}\in(d,u) ที่ทำให้ p∗∈(0,1)p^\ast\in(0,1) เป็นเงื่อนไขไร้การเก็งกำไรพอดี. ◻

แบบจำลองต้นไม้ไตรนาม (Trinomial Tree, 1986)

แบบจำลองต้นไม้ไตรนาม (Trinomial Tree) ถูกเสนอโดย ฟีลิม บอยล์ (Phelim Boyle) (Boyle 1986) จากสมมติฐานเดิมของต้นไม้ทวินามที่ราคาสินทรัพย์มีเพียงสองทิศทาง บอยล์เสนอเพิ่มเส้นทางที่สามคือราคาคงที่ (middle) แม้จะเพิ่มความซับซ้อนในการคำนวณ แต่มีประโยชน์เพราะต้นไม้ไตรนามลู่เข้าสู่แบบจำลองแบล็ก-โชลส์อย่างราบเรียบกว่าและมีค่าคงตัวความคลาดเคลื่อนเล็กกว่าต้นไม้ทวินาม (อัตราการลู่เข้าเชิงอันดับเท่ากันคือ O(1/N)O(1/N) ดูหัวข้อการลู่เข้าของแบบจำลองเชิงต้นไม้สู่แบล็ก-โชลส์ด้านล่าง) ดังแสดงในรูปที่ 2 ทั้งนี้เราขอละการอธิบายแบบจำลองอื่น ๆ ในตระกูลต้นไม้ เช่น implied trees, non-combining trees และ NN-nomial trees

ต้นไม้ไตรนามแบบรวมกิ่งสองช่วงเวลา
รูปที่ 2 · ต้นไม้ไตรนามแบบรวมกิ่งสองช่วงเวลา แต่ละโหนดแตกออกเป็นสามทิศทาง (ขึ้น u, คงที่ m, ลง d) โดยกำหนด ud = 1 เพื่อให้กิ่งรวมกันได้ ความน่าจะเป็น pu, pm, pd รวมกันเท่ากับ 1 ตาม (3.5). โครงสร้างสามทิศทางทำให้มีโหนดที่ราคาตรงกับราคาใช้สิทธิ ช่วยลดความคลาดเคลื่อนในการกำหนดราคา.

Proposition 12 (พารามิเตอร์ต้นไม้ไตรนามของบอยล์). กำหนด Δt=T/N\Delta t = T/N และ

u=eσ2Δt,d=1u,(3.4)u = \mathrm{e}^{\sigma\sqrt{2\Delta t}}, \qquad d = \frac1u, \tag{3.4}
ความน่าจะเป็นเชิงกลาง-ความเสี่ยงของสามทิศทางคือ
pu=(erΔt/2−e−σΔt/2eσΔt/2−e−σΔt/2) ⁣2,pd=(eσΔt/2−erΔt/2eσΔt/2−e−σΔt/2) ⁣2,pm=1−pu−pd.(3.5)p_u = \left(\frac{\mathrm{e}^{r\Delta t/2}-\mathrm{e}^{-\sigma\sqrt{\Delta t/2}}}{\mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t/2}}-\mathrm{e}^{-\sigma\sqrt{\Delta t/2}}}\right)^{\!2}, \quad p_d = \left(\frac{\mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t/2}}-\mathrm{e}^{r\Delta t/2}}{\mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t/2}}-\mathrm{e}^{-\sigma\sqrt{\Delta t/2}}}\right)^{\!2}, \quad p_m = 1-p_u-p_d. \tag{3.5}
การเวียนซ้ำถอยหลังของมูลค่าออปชันคือ Vi(j)=e−rΔt[puVi+1(j+1)+pmVi+1(j)+pdVi+1(j−1)]V_i^{(j)} = \mathrm{e}^{-r\Delta t}\big[p_u V_{i+1}^{(j+1)} + p_m V_{i+1}^{(j)} + p_d V_{i+1}^{(j-1)}\big] (แทนด้วย max⁡\max กับผลตอบแทนทันทีสำหรับออปชันอเมริกันเช่นเดียวกับ (3.3)).

Proof. สร้างหนึ่งขั้นไตรนามจากสองขั้นทวินามครึ่งช่วงเวลาอย่างชัดแจ้ง: กำหนดตัวคูณครึ่งขั้น a=eσΔt/2a=\mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t/2}} และความน่าจะเป็นครึ่งขั้นแบบ CRR (เทียบ (3.1) ที่ช่วงเวลา Δt/2\Delta t/2)

p~=erΔt/2−a−1a−a−1.\tilde p = \frac{\mathrm{e}^{r\Delta t/2}-a^{-1}}{a-a^{-1}}.
การขึ้นสองครั้งติดกันให้ตัวคูณ a2=eσ2Δt=ua^2 = \mathrm{e}^{\sigma\sqrt{2\Delta t}} = u ด้วยความน่าจะเป็น p~ 2\tilde p^{\,2} ซึ่งเท่ากับ pup_u ใน (3.5) พอดี การลงสองครั้งให้ d=1/ud=1/u ด้วยความน่าจะเป็น (1−p~)2=pd(1-\tilde p)^2 = p_d และกรณีผสม (ขึ้น-ลง หรือ ลง-ขึ้น) กลับสู่โหนดกลางด้วยความน่าจะเป็น 2p~(1−p~)=1−pu−pd=pm2\tilde p(1-\tilde p) = 1-p_u-p_d = p_m. โครงสร้างนี้รับประกันเงื่อนไขมาร์ทิงเกล E[Si+1∣Si]=erΔtSi\mathbb{E}[S_{i+1}\mid S_i] = \mathrm{e}^{r\Delta t}S_i โดยอัตโนมัติ เพราะแต่ละครึ่งขั้นเป็นมาร์ทิงเกลที่คิดลดตามบทตั้ง 11. สำหรับโมเมนต์ของผลตอบแทนล็อก การคำนวณโดยตรง (แสดงในบทพิสูจน์ผลสืบเนื่อง 15) ให้ E[ln⁡(Si+1/Si)]=(r−12σ2)Δt+O(Δt2)\mathbb{E}[\ln(S_{i+1}/S_i)] = (r-\tfrac12\sigma^2)\Delta t + O(\Delta t^2) และ Var[ln⁡(Si+1/Si)]=σ2Δt+O(Δt2)\mathop{\mathrm{Var}}[\ln(S_{i+1}/S_i)] = \sigma^2\Delta t + O(\Delta t^2) ตรงกับ GBM ถึงอันดับนำ. เงื่อนไข pu,pm,pd≥0p_u,p_m,p_d\ge 0 เป็นจริงเมื่อ Δt\Delta t เล็กพอ (ต้องการ erΔt/2∈(a−1,a)\mathrm{e}^{r\Delta t/2}\in(a^{-1},a) ซึ่งเป็นเงื่อนไขไร้การเก็งกำไรต่อครึ่งขั้น). ◻

การลู่เข้าของแบบจำลองเชิงต้นไม้สู่แบล็ก-โชลส์

ในหัวข้อนี้เราพิสูจน์ว่าเมื่อจำนวนขั้น N→∞N\to\infty ราคาออปชันจากต้นไม้ทวินามและไตรนามลู่เข้าสู่ราคาจากแบบจำลองแบล็ก-โชลส์ กุญแจสำคัญคือทฤษฎีบทลิมิตกลาง (Central Limit Theorem, CLT) ที่ทำให้ผลรวมของผลตอบแทนล็อกในแต่ละขั้นลู่เข้าสู่การแจกแจงปกติ อันเป็นการกระจายตัวของ ln⁡(ST/S0)\ln(S_T/S_0) ในแบบจำลองแบล็ก-โชลส์

Assumption 13 (สมมติฐานที่จำเป็น). (i) พารามิเตอร์ r,σr,\sigma คงที่; (ii) ขั้นย่อยเป็นอิสระและกระจายตัวเหมือนกัน (i.i.d.) ภายใต้ Q\mathbb{Q}; (iii) ใช้พารามิเตอร์ CRR (3.1) สำหรับทวินาม และ (3.4)–(3.5) สำหรับไตรนาม; (iv) ฟังก์ชันผลตอบแทน Λ\Lambda ต่อเนื่องและเติบโตไม่เกินเชิงเส้น เพื่อให้สลับลิมิตกับค่าคาดหวังได้ (uniform integrability).

Theorem 14 (การลู่เข้าของต้นไม้ทวินาม). ภายใต้สมมติฐาน 13 ราคาออปชันแบบยุโรปจากต้นไม้ทวินาม CNC_N ลู่เข้าสู่ราคาแบล็ก-โชลส์ CBSC_{\mathrm{BS}} เมื่อ N→∞N\to\infty

lim⁡N→∞CN=CBS.(3.6)\lim_{N\to\infty} C_N = C_{\mathrm{BS}}. \tag{3.6}

Proof. เขียนผลตอบแทนล็อกสะสม ln⁡(ST/S0)=∑i=1NXi\ln(S_T/S_0) = \sum_{i=1}^{N} X_i โดย XiX_i รับค่า ln⁡u=σΔt\ln u = \sigma\sqrt{\Delta t} ด้วยความน่าจะเป็น p∗p^\ast และ ln⁡d=−σΔt\ln d = -\sigma\sqrt{\Delta t} ด้วยความน่าจะเป็น 1−p∗1-p^\ast. กระจายอนุกรมของ p∗p^\ast ใน (3.1) รอบ Δt=0\Delta t=0

p∗=erΔt−e−σΔteσΔt−e−σΔt=12+12(r−12σ2σ)Δt+O(Δt3/2).p^\ast = \frac{\mathrm{e}^{r\Delta t}-\mathrm{e}^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}{\mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-\mathrm{e}^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}} = \frac12 + \frac12\Big(\frac{r-\tfrac12\sigma^2}{\sigma}\Big)\sqrt{\Delta t} + O(\Delta t^{3/2}).
จากนั้นคำนวณโมเมนต์ต่อขั้น
E[Xi]=(2p∗−1)σΔt=(r−12σ2)Δt+O(Δt2),Var[Xi]=σ2Δt−E[Xi]2=σ2Δt+O(Δt2).\begin{align*} \mathbb{E}[X_i] &= (2p^\ast-1)\sigma\sqrt{\Delta t} = \big(r-\tfrac12\sigma^2\big)\Delta t + O(\Delta t^2),\\ \mathop{\mathrm{Var}}[X_i] &= \sigma^2\Delta t - \mathbb{E}[X_i]^2 = \sigma^2\Delta t + O(\Delta t^2). \end{align*}
รวม N=T/ΔtN=T/\Delta t ขั้นได้ค่าเฉลี่ยรวม μN=∑E[Xi]→(r−12σ2)T\mu_N = \sum\mathbb{E}[X_i] \to (r-\tfrac12\sigma^2)T และความแปรปรวนรวม sN2=∑Var[Xi]→σ2Ts_N^2 = \sum\mathop{\mathrm{Var}}[X_i] \to \sigma^2 T. เนื่องจาก XiX_i มีขอบเขต (∣Xi∣=σΔt→0|X_i|=\sigma\sqrt{\Delta t}\to 0) เงื่อนไขลินเดอเบิร์ก (Lindeberg condition) เป็นจริง กล่าวคือสำหรับทุก ϵ>0\epsilon>0
1sN2∑i=1NE ⁣[(Xi−EXi)2 1{∣Xi−EXi∣>ϵsN}]→0,\frac{1}{s_N^2}\sum_{i=1}^{N}\mathbb{E}\!\big[(X_i-\mathbb{E}X_i)^2\,\mathbf{1}_{\{|X_i-\mathbb{E}X_i|>\epsilon s_N\}}\big]\to 0,
เพราะเมื่อ NN ใหญ่พอ ∣Xi−EXi∣≤2σΔt<ϵsN|X_i-\mathbb{E}X_i|\le 2\sigma\sqrt{\Delta t} < \epsilon s_N ทำให้ตัวชี้บ่ง (indicator) เป็นศูนย์ทั้งหมด. โดยทฤษฎีบทลินเดอเบิร์ก-เฟลเลอร์ (Lindeberg-Feller CLT)
∑i=1NXi→  d  N ⁣((r−12σ2)T, σ2T),\sum_{i=1}^N X_i \xrightarrow{\;d\;} \mathcal{N}\!\big((r-\tfrac12\sigma^2)T,\ \sigma^2 T\big),
ซึ่งตรงกับการแจกแจงของ ln⁡(ST/S0)\ln(S_T/S_0) ในแบบจำลองแบล็ก-โชลส์พอดี. โดยทฤษฎีบทการส่งต่อเนื่อง (continuous mapping theorem) และความต่อเนื่องของ Λ\Lambda จะได้ Λ(ST(N))\Lambda(S_T^{(N)}) ลู่เข้าในการแจกแจงสู่ Λ(ST)\Lambda(S_T) เหลือเพียงตรวจสอบความอินทิเกรตได้อย่างเอกรูป (uniform integrability) ซึ่งพิสูจน์ได้จริงจากขอบเขตโมเมนต์ที่สอง: เนื่องจาก ud=1ud=1
E[(ST(N))2]=S02[p∗u2+(1−p∗)d2]N=S02[erΔt(u+d)−1]N=S02[1+(2r+σ2)Δt+O(Δt2)]N,\mathbb{E}\big[(S_T^{(N)})^2\big] = S_0^2\big[p^\ast u^2 + (1-p^\ast)d^2\big]^N = S_0^2\big[\mathrm{e}^{r\Delta t}(u+d) - 1\big]^N = S_0^2\big[1+(2r+\sigma^2)\Delta t + O(\Delta t^2)\big]^N,
ดังนั้น sup⁡NE[(ST(N))2]≤S02 e(2r+σ2)T+O(Δt)<∞\sup_N \mathbb{E}[(S_T^{(N)})^2] \le S_0^2\,\mathrm{e}^{(2r+\sigma^2)T + O(\Delta t)} < \infty. ขอบเขตโมเมนต์ที่สองอย่างสม่ำเสมอร่วมกับการเติบโตไม่เกินเชิงเส้นของ Λ\Lambda ตามสมมติฐาน 13(iv) ให้ uniform integrability ของ {Λ(ST(N))}N\{\Lambda(S_T^{(N)})\}_N การลู่เข้าในการแจกแจงจึงส่งผลให้ค่าคาดหวังของผลตอบแทนที่คิดลดลู่เข้า และได้ (3.6). ◻

Corollary 15 (การลู่เข้าของต้นไม้ไตรนาม). ภายใต้สมมติฐาน 13 ราคาจากต้นไม้ไตรนามลู่เข้าสู่ CBSC_{\mathrm{BS}} เช่นกัน โดยผลตอบแทนต่อขั้น XiX_i รับสามค่า {σ2Δt,0,−σ2Δt}\{\sigma\sqrt{2\Delta t},0,-\sigma\sqrt{2\Delta t}\} ด้วยความน่าจะเป็น {pu,pm,pd}\{p_u,p_m,p_d\} ซึ่งจับคู่โมเมนต์ที่หนึ่งและที่สองให้ตรงกับ GBM ทำให้เงื่อนไขลินเดอเบิร์กเป็นจริงด้วยเหตุผลเดียวกัน.

Proof. จากนิยาม (3.5) เขียน a=eσΔt/2a=\mathrm{e}^{\sigma\sqrt{\Delta t/2}} ผลต่างของกำลังสองให้

pu−pd=(erΔt/2−a−1)2−(a−erΔt/2)2(a−a−1)2=2erΔt/2−a−a−1a−a−1=(r−12σ22σ)2Δt+O(Δt3/2),p_u - p_d = \frac{(\mathrm{e}^{r\Delta t/2}-a^{-1})^2 - (a-\mathrm{e}^{r\Delta t/2})^2}{(a-a^{-1})^2} = \frac{2\mathrm{e}^{r\Delta t/2} - a - a^{-1}}{a-a^{-1}} = \Big(\frac{r-\tfrac12\sigma^2}{2\sigma}\Big)\sqrt{2\Delta t} + O(\Delta t^{3/2}),
โดยกระจายอนุกรม 2erΔt/2−a−a−1=(r−12σ2)Δt+O(Δt2)2\mathrm{e}^{r\Delta t/2}-a-a^{-1} = (r-\tfrac12\sigma^2)\Delta t + O(\Delta t^2) และ a−a−1=σ2Δt+O(Δt3/2)a-a^{-1} = \sigma\sqrt{2\Delta t} + O(\Delta t^{3/2}). ดังนั้น E[Xi]=(pu−pd)σ2Δt=(r−12σ2)Δt+O(Δt2)\mathbb{E}[X_i] = (p_u-p_d)\sigma\sqrt{2\Delta t} = (r-\tfrac12\sigma^2)\Delta t + O(\Delta t^2) และ Var[Xi]=(pu+pd)⋅2σ2Δt−E[Xi]2=σ2Δt+O(Δt2)\mathop{\mathrm{Var}}[X_i] = (p_u+p_d)\cdot 2\sigma^2\Delta t - \mathbb{E}[X_i]^2 = \sigma^2\Delta t + O(\Delta t^2) (ใช้ pu+pd=12+O(Δt)p_u+p_d = \tfrac12 + O(\Delta t)) ที่เหลือเหมือนบทพิสูจน์ทฤษฎีบท 14. ◻

Remark 16. ทฤษฎีบท 14 และผลสืบเนื่อง 15 ครอบคลุมเฉพาะออปชันแบบยุโรป การลู่เข้าของราคาออปชันแบบอเมริกันจากแบบจำลองเชิงต้นไม้สู่มูลค่าการหยุดเหมาะสมในเวลาต่อเนื่อง (1.3) เป็นผลลัพธ์ที่ลึกกว่าและต้องอาศัยเทคนิคเพิ่มเติม ดูบทพิสูจน์ของอามินและคานนา (Amin and Khanna 1994).

อัตราการลู่เข้า (เชิงคณิตศาสตร์และเชิงคำนวณ)

เชิงคณิตศาสตร์ ทั้งสองแบบจำลองมีอัตราการลู่เข้าอันดับหนึ่ง ∣CN−CBS∣=O(1/N)|C_N - C_{\mathrm{BS}}| = O(1/N) แต่ต้นไม้ทวินามมีองค์ประกอบ แกว่ง (oscillatory) แบบฟันเลื่อยตามภาวะคู่/คี่ของ NN เนื่องจากตำแหน่งของราคาใช้สิทธิ KK เทียบกับโหนดปลายทางสลับไปมา ในทางตรงข้ามต้นไม้ไตรนามมีโหนดกลางที่จัดวางให้ตรงกับ KK ได้ดีกว่า จึงลู่เข้าอย่างราบเรียบและมีค่าคงตัวคลาดเคลื่อนเล็กกว่า รูปที่ 3 ยืนยันข้อสังเกตนี้เชิงคำนวณ โดยแสดงความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เทียบกับจำนวนขั้นในมาตราส่วนล็อก

กราฟความคลาดเคลื่อนของ Binomial และ Trinomial เทียบกับจำนวนขั้น
รูปที่ 3 · ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ |ĈN − CBS| ของการกำหนดราคาออปชันซื้อแบบยุโรป (พารามิเตอร์คงที่: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.20, T = 1) เทียบกับจำนวนขั้น N ในมาตราส่วนกึ่งล็อก สังเกตการแกว่งแบบฟันเลื่อยของต้นไม้ทวินาม (เส้นทึบ) เทียบกับการลู่เข้าที่ราบเรียบและเร็วกว่าของต้นไม้ไตรนาม (เส้นประ) ซึ่งสอดคล้องกับการวิเคราะห์เชิงทฤษฎี.

ทดลองต้นไม้ Binomial

เปิด JavaScript เพื่อปรับค่าห้องทดลองนี้ สมการและตัวอย่างในบทอ่านได้ตามปกติ

จำนวนขั้นและการลู่เข้า

เปิด JavaScript เพื่อปรับค่าห้องทดลองนี้ สมการและตัวอย่างในบทอ่านได้ตามปกติ

ผู้เขียนต้นฉบับ · QuantCorner

Triphop Mahithitarmmatorn

ผู้เขียนบทความ “แบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน: จากบาเชอลิเยถึงการประมาณค่าออปชันแบบอเมริกัน” ซึ่งเป็นต้นฉบับของซีรีส์นี้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตามผู้เขียนและ QuantCorner ได้ที่นี่

ค้นหาในสมุดบันทึก