Option Pricing Models พิมพ์หน้านี้
Foundations & Bachelier
เริ่มจากความต่างระหว่างสิทธิแบบยุโรปกับอเมริกัน แล้ววางฐานการกำหนดราคาแบบ Risk-neutral ก่อนเข้าสู่แบบจำลอง Bachelier
บทนำ (Introduction)
การพิจารณาอนุพันธ์ทางการเงิน (financial derivatives) มีรายละเอียดหลายอย่างนอกเหนือจากพื้นผิวความผันผวน (volatility surface) สิ่งสำคัญก่อนจะสร้างพื้นผิวดังกล่าวได้คือเราจำเป็นต้องทราบแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม เนื่องจากอนุพันธ์ถูกประยุกต์ในหลากหลายกรณี ผู้ใช้จึงมีโอกาสสับสนในการเลือกแบบจำลอง รวมถึงรายละเอียดของลักษณะออปชันซึ่งแบ่งได้เป็นสองประเภทหลัก ได้แก่ ออปชันแบบยุโรป (European option) ที่ใช้สิทธิได้เฉพาะ ณ วันครบกำหนด และออปชันแบบอเมริกัน (American option) ที่ใช้สิทธิได้ทุกเวลาก่อนหรือ ณ วันครบกำหนด โดยทั่วไปมูลค่าออปชันแบบอเมริกันไม่มีรูปแบบปิด (closed-form) ทำให้การคำนวณโดยไม่ใช้คอมพิวเตอร์เป็นเรื่องยาก อย่างไรก็ตามมีความพยายามประมาณมูลค่าออปชันแบบอเมริกันจากออปชันแบบยุโรปที่บวกด้วยส่วนเพิ่มของการใช้สิทธิล่วงหน้า (Early Exercise Premium) ก่อนจะไปถึงจุดนั้นเราจะแสดงภาพรวมความเป็นมาของแบบจำลองตามลำดับเวลา
Definition 1 (ออปชันและฟังก์ชันผลตอบแทน). ให้ S t S_t S t t t t K K K T T T
Λ call ( S T ) = ( S T − K ) + , Λ put ( S T ) = ( K − S T ) + , (1.1) \Lambda_{\text{call}}(S_T) = (S_T-K)^+, \qquad
\Lambda_{\text{put}}(S_T) = (K-S_T)^+,
\tag{1.1} Λ call ( S T ) = ( S T − K ) + , Λ put ( S T ) = ( K − S T ) + , ( 1.1 ) ( x ) + = max ( x , 0 ) (x)^+ = \max(x,0) ( x ) + = max ( x , 0 ) T T T τ ∈ [ t , T ] \tau \in [t,T] τ ∈ [ t , T ] ภายใต้กรอบการกำหนดราคาแบบไร้การเก็งกำไร (no-arbitrage) มูลค่าของออปชันแบบยุโรป ณ เวลา t t t Q \mathbb{Q} Q
V t = E Q [ e − ∫ t T r ( s ) d s Λ ( S T ) ∣ F t ] , (1.2) V_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\Big[\, \mathrm{e}^{-\int_t^T r(s)\,\mathrm{d}s}\,\Lambda(S_T) \,\Big|\, \mathcal{F}_t \,\Big],
\tag{1.2} V t = E Q [ e − ∫ t T r ( s ) d s Λ ( S T ) F t ] , ( 1.2 ) V t A = sup τ ∈ T [ t , T ] E Q [ e − ∫ t τ r ( s ) d s Λ ( S τ ) ∣ F t ] , (1.3) V_t^{A} = \sup_{\tau \in \mathcal{T}_{[t,T]}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\Big[\, \mathrm{e}^{-\int_t^{\tau} r(s)\,\mathrm{d}s}\,\Lambda(S_\tau) \,\Big|\, \mathcal{F}_t \,\Big],
\tag{1.3} V t A = τ ∈ T [ t , T ] sup E Q [ e − ∫ t τ r ( s ) d s Λ ( S τ ) F t ] , ( 1.3 ) T [ t , T ] \mathcal{T}_{[t,T]} T [ t , T ] [ t , T ] [t,T] [ t , T ] แบบจำลองบาเชอลิเย (Bachelier Model, 1900)
แบบจำลองแรกเริ่มถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส หลุยส์ บาเชอลิเย (Louis Bachelier) ในวิทยานิพนธ์ปี ค.ศ. 1900 (Bachelier 1900) โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อพิจารณาพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ที่เปลี่ยนแปลงไป บาเชอลิเยเสนอให้ใช้สมมติฐานการเคลื่อนที่แบบบราวน์ (Brownian Motion) และสมมติว่าราคาสินทรัพย์มีการกระจายตัวแบบปกติ (Normal Distribution) ผลพลอยได้ประการหนึ่งของข้อสมมตินี้คือราคาสินทรัพย์สามารถมีค่าติดลบได้ ซึ่งในยุคหลังเคยถูกมองว่าเป็นจุดอ่อนของแบบจำลอง แต่กลับกลายเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นในบางสถานการณ์ดังจะกล่าวถึงด้านล่าง งานของบาเชอลิเยเป็นพื้นฐานของการศึกษาแบบจำลองที่อธิบายพฤติกรรมของกระบวนการสุ่ม เมื่อสังเกตราคาสินทรัพย์ที่เคลื่อนที่แบบสุ่มเชิงเลขคณิต (Arithmetic Brownian Motion, ABM) แม้แบบจำลองนี้จะถูกเสนอตั้งแต่ปี ค.ศ. 1900 แต่ก็ถูกนำกลับมาใช้อีกครั้งในช่วงวิกฤตโควิด-19 (Covid-19) เมื่อเกิดเหตุการณ์ราคาน้ำมันดิบติดลบ จนกระทั่ง CME ได้ออกประกาศ CME Advisory #20-152 (วันที่ 8 เมษายน 2020) และ #20-171 (วันที่ 21 เมษายน 2020) (CME Group 2020a, 2020b) เพื่อเปลี่ยนกลับมาใช้แบบจำลองบาเชอลิเยสำหรับการกำหนดราคาออปชันบนสัญญาที่ราคาอ้างอิงอาจติดลบได้
Assumption 2 (พลวัตแบบ ABM). ให้ F t F_t F t T T T
d F t = σ N d W t , (1.4) \mathrm{d}F_t = \sigma_N \,\mathrm{d}W_t,
\tag{1.4} d F t = σ N d W t , ( 1.4 ) σ N > 0 \sigma_N>0 σ N > 0 W t W_t W t F T = F 0 + σ N W T F_T = F_0 + \sigma_N W_T F T = F 0 + σ N W T N ( F 0 , σ N 2 T ) \mathcal{N}(F_0,\sigma_N^2 T) N ( F 0 , σ N 2 T ) Theorem 3 (สูตรราคาออปชันบาเชอลิเย). ภายใต้สมมติฐาน 2 และอัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยงคงที่ r r r K K K T T T C B a c h = e − r T [ ( F 0 − K ) Φ ( d ) + σ N T φ ( d ) ] , d = F 0 − K σ N T , (1.5) C_{\mathrm{Bach}} = \mathrm{e}^{-rT}\Big[ (F_0-K)\,\Phi(d) + \sigma_N\sqrt{T}\,\varphi(d) \Big],
\qquad d = \frac{F_0-K}{\sigma_N\sqrt{T}},
\tag{1.5} C Bach = e − r T [ ( F 0 − K ) Φ ( d ) + σ N T φ ( d ) ] , d = σ N T F 0 − K , ( 1.5 ) Φ \Phi Φ φ \varphi φ
Proof. จาก (1.2) เขียน F T = F 0 + σ N T Z F_T = F_0 + \sigma_N\sqrt{T}\,Z F T = F 0 + σ N T Z Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z\sim\mathcal{N}(0,1) Z ∼ N ( 0 , 1 )
C B a c h = e − r T E [ ( F T − K ) + ] = e − r T E [ ( F 0 − K + σ N T Z ) + ] . C_{\mathrm{Bach}} = \mathrm{e}^{-rT}\,\mathbb{E}\big[(F_T-K)^+\big]
= \mathrm{e}^{-rT}\,\mathbb{E}\big[(F_0-K+\sigma_N\sqrt{T}\,Z)^+\big]. C Bach = e − r T E [ ( F T − K ) + ] = e − r T E [ ( F 0 − K + σ N T Z ) + ] . Z > − d Z > -d Z > − d d = ( F 0 − K ) / ( σ N T ) d=(F_0-K)/(\sigma_N\sqrt{T}) d = ( F 0 − K ) / ( σ N T ) E [ ( F 0 − K + σ N T Z ) + ] = ∫ − d ∞ ( F 0 − K + σ N T z ) φ ( z ) d z = ( F 0 − K ) ∫ − d ∞ φ ( z ) d z + σ N T ∫ − d ∞ z φ ( z ) d z . \begin{align*}
\mathbb{E}\big[(F_0-K+\sigma_N\sqrt{T}\,Z)^+\big]
&= \int_{-d}^{\infty} \big(F_0-K+\sigma_N\sqrt{T}\,z\big)\varphi(z)\,\mathrm{d}z \\
&= (F_0-K)\!\int_{-d}^{\infty}\!\varphi(z)\,\mathrm{d}z
+ \sigma_N\sqrt{T}\!\int_{-d}^{\infty}\! z\,\varphi(z)\,\mathrm{d}z.
\end{align*} E [ ( F 0 − K + σ N T Z ) + ] = ∫ − d ∞ ( F 0 − K + σ N T z ) φ ( z ) d z = ( F 0 − K ) ∫ − d ∞ φ ( z ) d z + σ N T ∫ − d ∞ z φ ( z ) d z . ( F 0 − K ) Φ ( d ) (F_0-K)\,\Phi(d) ( F 0 − K ) Φ ( d ) 1 − Φ ( − d ) = Φ ( d ) 1-\Phi(-d)=\Phi(d) 1 − Φ ( − d ) = Φ ( d ) ∫ z φ ( z ) d z = − φ ( z ) \int z\varphi(z)\mathrm{d}z = -\varphi(z) ∫ z φ ( z ) d z = − φ ( z ) φ ′ ( z ) = − z φ ( z ) \varphi'(z) = -z\varphi(z) φ ′ ( z ) = − z φ ( z ) ∫ − d ∞ z φ ( z ) d z = [ − φ ( z ) ] − d ∞ = φ ( − d ) = φ ( d ) , \int_{-d}^{\infty} z\,\varphi(z)\,\mathrm{d}z = \big[-\varphi(z)\big]_{-d}^{\infty} = \varphi(-d) = \varphi(d), ∫ − d ∞ z φ ( z ) d z = [ − φ ( z ) ] − d ∞ = φ ( − d ) = φ ( d ) , φ ( − d ) = φ ( d ) \varphi(-d)=\varphi(d) φ ( − d ) = φ ( d ) e − r T \mathrm{e}^{-rT} e − r T (1.5) ตามต้องการ. ◻
Remark 4 . คุณสมบัติเด่นของ (1.5) คือมูลค่ายังคงนิยามได้แม้ F 0 < 0 F_0<0 F 0 < 0 K < 0 K<0 K < 0 ln ( F 0 / K ) \ln(F_0/K) ln ( F 0 / K )
Payoff และกำไรขาดทุน
เปิด JavaScript เพื่อปรับค่าห้องทดลองนี้ สมการและตัวอย่างในบทอ่านได้ตามปกติ
Normal กับ Lognormal
เปิด JavaScript เพื่อปรับค่าห้องทดลองนี้ สมการและตัวอย่างในบทอ่านได้ตามปกติ