Market Risk Management
Market Risk Management

3 · Expected Shortfall และมาตรวัดความเสี่ยงแบบ coherent

VaR บอกว่าประตูสู่หางอยู่ตรงไหน ES บอกว่าข้างในหางมีอะไร บทนี้พิสูจน์สูตร ES ของ Normal ทีละขั้น และแสดงว่าทำไม ES จึงรวมความเสี่ยงข้ามพอร์ตได้ แต่ VaR ทำไม่ได้

อ้างอิงต้นฉบับ: หน้า 6–8 · เปิด PDF หน้า 6

3.1 นิยามสองแบบที่เทียบเท่ากัน

ES⁡c(X)=E[X∣X≤VaR⁡c(X)](ค่าคาดหวังของหางแบบมีเงื่อนไข)ES⁡c(X)=11−c∫01−cVaR⁡u(X) du(ค่าเฉลี่ยของเปอร์เซ็นไทล์ในหาง)\begin{aligned} \operatorname{ES}_c(X)&=\mathbb E\big[X\mid X\le\operatorname{VaR}_c(X)\big] &&(\text{ค่าคาดหวังของหางแบบมีเงื่อนไข})\\ \operatorname{ES}_c(X)&=\frac{1}{1-c}\int_0^{1-c}\operatorname{VaR}_u(X)\,du &&(\text{ค่าเฉลี่ยของเปอร์เซ็นไทล์ในหาง}) \end{aligned}

นิยามแรก: เมื่อรู้ว่า อยู่ในหางแล้ว ผลขาดทุนเฉลี่ยเป็นเท่าไร นิยามที่สอง: เฉลี่ย VaR ทุกระดับในหาง (99%, 99.1%, 99.2%, … 99.99%, …) สำหรับการแจกแจงต่อเนื่องทั้งสองให้ผลเท่ากัน สำหรับการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง แบบที่สองแข็งแรงกว่า (coherent เสมอ) ทั้งสองแบบเป็น model-free ส่วนสูตรใช้งานจริงขึ้นกับการแจกแจงของ XX

สรุปสั้น ๆ: VaR คือประตูสู่หาง ES บอกว่าข้างในมีอะไร

3.2 พิสูจน์ ES ของ Normal ทีละขั้น

ทาง A: จากค่าเฉลี่ยของเปอร์เซ็นไทล์ในหาง เขียนอินทิกรัลใหม่บนหางด้านบน แทน VaR⁡u=μ+σΦ−1(1−u)\operatorname{VaR}_u=\mu+\sigma\Phi^{-1}(1-u) แล้วดึงค่าเฉลี่ยออก

ES⁡c=11−c∫c1(μ+σΦ−1(1−u))du=μ+σ1−c∫c1Φ−1(1−u) du\operatorname{ES}_c=\frac{1}{1-c}\int_c^1\big(\mu+\sigma\Phi^{-1}(1-u)\big)du=\mu+\frac{\sigma}{1-c}\int_c^1\Phi^{-1}(1-u)\,du

แทน u=Φ(z)u=\Phi(z), du=φ(z)dzdu=\varphi(z)dz ขอบเขต [c,1]↦[Φ−1(c),∞)[c,1]\mapsto[\Phi^{-1}(c),\infty) และใช้ความสมมาตร Φ−1(1−Φ(z))=−z\Phi^{-1}(1-\Phi(z))=-z

=μ−σ1−c∫Φ−1(c)∞z φ(z) dz=\mu-\frac{\sigma}{1-c}\int_{\Phi^{-1}(c)}^{\infty}z\,\varphi(z)\,dz

เคล็ดลับสำคัญ: antiderivative ของ zφ(z)z\varphi(z) คือ −φ(z)-\varphi(z) เพราะ ddze−z2/2=−z e−z2/2\frac{d}{dz}e^{-z^2/2}=-z\,e^{-z^2/2} และที่ขอบบน φ(∞)=0\varphi(\infty)=0 ดังนั้น

ES⁡c=μ−σ φ(Φ−1(c))1−cc=99%: φ(−2.32635)0.01=0.0266520.01=2.6652 ⇒ ES⁡99%=μ−2.6652 σ\boxed{\operatorname{ES}_c=\mu-\sigma\,\frac{\varphi\big(\Phi^{-1}(c)\big)}{1-c}} \qquad c=99\%:\ \frac{\varphi(-2.32635)}{0.01}=\frac{0.026652}{0.01}=2.6652\ \Rightarrow\ \operatorname{ES}_{99\%}=\mu-2.6652\,\sigma

ทาง B: โมเมนต์แรกของหาง ÷ ความน่าจะเป็นของหาง ค่าเฉลี่ยหาง =∫−∞μ−nσxf(x) dx / ∫−∞μ−nσf(x) dx=\int_{-\infty}^{\mu-n\sigma}x f(x)\,dx\ /\ \int_{-\infty}^{\mu-n\sigma}f(x)\,dx ตัวหารคือมวลของหาง 1−c1-c ตัวตั้งคือโมเมนต์แรกของหาง การแทน x=μ−zσx=\mu-z\sigma ให้ผลเดียวกัน ตอบสัมภาษณ์ด้วยทางไหนก็ได้

สูตร “inverse CDF อยู่ใน PDF” (φ(Φ−1(c))\varphi(\Phi^{-1}(c))) ดูแปลกจนกว่าจะแทนตัวเลข: หาเปอร์เซ็นไทล์ −2.326 ก่อน แล้วอ่านความสูงของความหนาแน่นที่จุดนั้น 0.02665

PDF ของ Normal มาตรฐานบนแกน P&L มาตรฐาน มีเส้นทึบที่ VaR99% = −2.3263σ และเส้นประที่ ES99% = −2.6652σ พื้นที่หาง 1% ระบายสีแดง
ภาพที่ 2 (ต้นฉบับ Figure 2) VaR 99% (เส้นทึบ) และ ES 99% (เส้นประ) ภายใต้ Normal มาตรฐาน ES คือจุดศูนย์ถ่วงของหางที่ระบายสี

ตัวอย่างคำนวณ 3 · หางที่เลย 2σ

สัดส่วนของหางซ้ายของ Normal มาตรฐานที่เลย −2σ คือ Φ(−2)=2.275%\Phi(-2)=2.275\% หรือความเชื่อมั่น 97.725% ค่าเฉลี่ยของหางนั้นคือ −φ(2)/Φ(−2)=−0.05399/0.02275=−2.373-\varphi(2)/\Phi(-2)=-0.05399/0.02275=-2.373 ในโลกแบบ Normal ผลขาดทุนเฉลี่ยที่เลย 2σ แย่กว่า 2σ เพียงประมาณ 19% เท่านั้น: หางของ Normal บาง

3.3 อัตราส่วน ES/VaR บอกความหนาของหาง

ρc=ES⁡cVaR⁡cNormal(μ=0): ρc=φ(zc)(1−c) ∣zc∣→  c→1  1;GPD tail: ρ→  VaR⁡≫u  11−ξ\rho_c=\frac{\operatorname{ES}_c}{\operatorname{VaR}_c} \qquad \text{Normal}(\mu=0):\ \rho_c=\frac{\varphi(z_c)}{(1-c)\,|z_c|}\xrightarrow{\;c\to1\;}1; \qquad \text{GPD tail}:\ \rho\xrightarrow{\;\operatorname{VaR}\gg u\;}\frac{1}{1-\xi}

ρ\rho ไม่มีหน่วย: วัดว่ามวลหลังประตูอยู่ห่างจากประตูแค่ไหน ภายใต้ Normal ค่า ρ\rho อยู่ระดับปานกลาง (1.146 ที่ 99%) และ ค่อย ๆ ลดลงเข้าหา 1 เมื่อ c→1c\to1 (ตารางใน §2.2) ยิ่งลึก หางของ Normal ยิ่งดูบาง สำหรับหางแบบ power-law (หางหนา) ρ\rho ลู่เข้าสู่ค่าคงที่ 1/(1−ξ)>11/(1-\xi)>1: หางไม่บางลงเลย

ตัวตั้ง ∫xf(x) dx\int x f(x)\,dx อาจระเบิดได้สำหรับหางหนา ขณะที่ตัวหาร (มวลของหาง) ยังมีค่าจำกัด นี่คือเหตุที่ ES อาจไม่มีนิยาม (ξ≥1\xi\ge1) แม้ VaR จะมีอยู่เสมอ ช่วงของ Hull ξ∈[0.1,0.4]\xi\in[0.1,0.4] ทำให้ ρ อยู่ระหว่าง 1.1 ถึง 1.7

หมายเหตุ: สไลด์ของคอร์สอธิบายว่า ρ ของ Gaussian “คงที่ทุกค่า c” ที่ถูกต้องคือมีค่าปานกลางและค่อย ๆ ลดลงเข้าหา 1 ซึ่งเป็นจุดที่ต่างจากลิมิตคงที่ของหางหนา

ξ\xi ลักษณะหาง ρ≈\rho\approx
0.10 ขอบล่างของช่วง Hull 1.11
0.25 ปานกลาง 1.33
0.40 ขอบบนของช่วง Hull 1.67
0.50 ES = 2×VaR 2.00
→1 แบบ Cauchy, ES ไม่มีขอบเขต →∞

3.4 Coherence และ subadditivity

Artzner et al. (1999) นิยามมาตรวัดความเสี่ยงแบบ coherent ρ(⋅)\rho(\cdot) (บนผลขาดทุนที่เป็นบวก) ด้วยสัจพจน์สี่ข้อ

  1. Monotonicity: พอร์ตที่ขาดทุนมากกว่าเสมอไม่ได้เสี่ยงน้อยกว่า
  2. Subadditivity: ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)\rho(X+Y)\le\rho(X)+\rho(Y) การรวมพอร์ตไม่เพิ่มความเสี่ยง หรือก็คือการกระจายความเสี่ยง
  3. Positive homogeneity: สถานะเพิ่มเป็นสองเท่า ความเสี่ยงเพิ่มเป็นสองเท่า
  4. Translation invariance: เพิ่มเงินสด mm ความเสี่ยงลดลง mm

ES ผ่านทั้งสี่ข้อ ส่วน VaR โดยทั่วไปไม่ผ่านข้อ 2 (ยกเว้นการแจกแจง Normal หรือ elliptical) Subadditivity ทำให้เงินกองทุนตาม ES แยกและรวมข้ามโต๊ะเทรดได้อย่างสะอาด

ตัวอย่างคำนวณ 4 · การผิดนัดชำระแบบไม่ต่อเนื่อง

พันธบัตรอิสระสามตัว A, B, C มูลค่าหน้าตั๋ว £1,000 ต่อตัว ความน่าจะเป็นผิดนัด 0.5% ต่อตัว ผลขาดทุนเมื่อผิดนัดเท่ากับมูลค่าหน้าตั๋ว การแจกแจงผลขาดทุนของพอร์ตอยู่ในตารางด้านล่าง

VaR: พันธบัตรตัวเดียวผิดนัดด้วยความน่าจะเป็น 0.5% < 1% ดังนั้น VaR⁡99(A)=\operatorname{VaR}_{99}(A)= £0 สำหรับพอร์ต ความน่าจะเป็นสะสมที่ £0 มีเพียง 98.51% < 99% ดังนั้น VaR⁡99(ABC)=\operatorname{VaR}_{99}(ABC)= £1,000 > 0+0+0 VaR ละเมิด subadditivity: การกระจายความเสี่ยง “เพิ่ม” VaR

ES: สำหรับพันธบัตรตัวเดียว ครึ่งหนึ่งของหาง 1% คือผลขาดทุน £1,000 และอีกครึ่งคือ £0 ดังนั้น ES⁡(A)=0.005×1000/0.01=\operatorname{ES}(A)=0.005\times1000/0.01= £500 สำหรับพอร์ต การผิดนัด 2 และ 3 ตัวครองความน่าจะเป็น 0.0075% และ 0.0000125% มวลแบบมีเงื่อนไขที่เหลือ 0.992525 คือการผิดนัดหนึ่งตัว: ES⁡(ABC)=\operatorname{ES}(ABC)= £1,007.49 ≤ £1,500 ES เป็น subadditive

สังเกตว่าการคำนวณถือหางเป็น 1% ของความน่าจะเป็นพอดี โดยแบ่งก้อน £1,000 ณ จุดที่คร่อมเปอร์เซ็นไทล์ที่ 99 นี่คือนิยาม “ค่าเฉลี่ยของเปอร์เซ็นไทล์ในหาง” ที่ทำงานอยู่ และเป็นเหตุที่นิยามนี้เหมาะกับ P&L แบบไม่ต่อเนื่อง

จำนวนผิดนัด ผลขาดทุน ความน่าจะเป็น สะสม
0 £0 98.5075% 98.5075%
1 £1,000 1.4850% 99.9925%
2 £2,000 0.0075% ≈100%
3 £3,000 0.0000125% 100%

3.5 ทำไม FRTB เลือก ES 97.5%

ภายใต้ Normal ตัวคูณ ES 97.5% คือ 2.338 เกือบเท่าตัวคูณ VaR 99% คือ 2.326 สำหรับการแจกแจงที่ประพฤติดี เงินกองทุนแทบไม่เปลี่ยน แต่สำหรับพอร์ตหางหนา ES 97.5% สูงกว่า VaR 99% อย่างมีนัยสำคัญ มันลงโทษรูปร่างของหางตรงจุด นี่คือตรรกะการ calibrate เบื้องหลังการเปลี่ยนของ Basel จาก VaR 99% ไปเป็น ES 97.5%

ราคาที่ต้องจ่ายคือ backtest ยากขึ้น ES เป็นค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข ไม่ใช่เหตุการณ์แบบสองค่า และไม่เป็น elicitable (Gneiting 2011) จึงไม่มีการทดสอบที่สะอาดเท่าการนับ breach FRTB จึงยังคง backtest VaR ที่ 97.5% และ 99% ขณะที่วัดเงินกองทุนด้วย ES

เทียบกฎเกณฑ์ · Expected Shortfall

กรอบ ข้อกำหนด
UCITS ไม่บังคับ ES; CESR สนับสนุนให้เสริม VaR สำหรับกลยุทธ์หางหนา (arbitrage, structured) โดย ES เป็นตัวเลือกที่พบบ่อย
AIFMD ไม่บังคับ; ผู้จัดการอาจใช้ ES เป็นตัวชี้วัดขีดจำกัดภายใน โดยระบุในนโยบายความเสี่ยง
MiFID II ผ่าน IFR/CRR สำหรับ trading book ของบริษัทหลักทรัพย์ขนาดใหญ่: internal model ของ FRTB ใช้ ES 97.5% (สหภาพยุโรปตั้งแต่ 2027)

ห้องทดลอง: VaR, ES และ Cornish–Fisher

ปรับระดับความเชื่อมั่น ความผันผวน ช่วงเวลา และพารามิเตอร์ความเบ้/ความโด่ง เพื่อดูว่าตัวคูณเปลี่ยนอย่างไร ห้องทดลองนี้ใช้สูตรในบทที่ 2, 3 และ §6.1 กับพอร์ตสมมติ ไม่ใช่ข้อมูลตลาด

ผู้เขียนต้นฉบับ

Yini Gao

ผู้เขียน Market Risk Handbook (English edition, Version 2.1, กันยายน 2026) ซึ่งเป็นต้นฉบับของบันทึกการเรียนภาษาไทยชุดนี้

อ่านบทนี้แล้วอยากเรียนรู้ต่อ? ติดตาม QuantCorner ได้ที่นี่

ค้นหาในสมุดบันทึก