2 · Value at Risk ในฐานะเปอร์เซ็นไทล์

เจาะลึก · ทำไม “VaR คือเปอร์เซ็นไทล์”

นิยาม $\Pr(X\le\operatorname{VaR})=1-c$ ก็คือนิยามของเปอร์เซ็นไทล์ตรง ๆ เรียงผลลัพธ์ P&L ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากแย่สุดไปดีสุด VaR คือจุดที่ตัดส่วนที่แย่ที่สุด $1-c$ ออกไป มองได้สามมุม

1. การจัดอันดับ: เรียงผลตอบแทนรายวัน 500 ค่า VaR 99% คือค่าที่แย่เป็นลำดับที่ 5 โดยประมาณ (500×1%) ไม่ต้องสมมติการแจกแจง
2. Inverse CDF: CDF แปลง “ค่า” เป็น “ความน่าจะเป็นสะสม” VaR ทำทางกลับ $\operatorname{VaR}=F^{-1}(1-c)$
3. สูตร Normal: $-2.326$ คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ 1 ของ Normal มาตรฐาน; $\operatorname{VaR}=\mu-2.326\sigma$ เพียงเลื่อนและย่อขยายให้เข้ากับพอร์ต

การเป็นเปอร์เซ็นไทล์ก็เป็นข้อจำกัดของ VaR ด้วย มันบอกว่าหาง เริ่ม ที่ไหน ไม่ได้บอกว่าหาง ลึก เท่าไร

เจาะลึก · CDF คือตารางจัดอันดับ

CDF $F(x)=\Pr(X\le x)$ ให้สัดส่วนของผลลัพธ์ที่เท่ากับหรือต่ำกว่า $x$ ลองเรียงผลตอบแทนรายวันสิบค่าจากน้อยไปมาก (ตารางด้านล่าง)

• ทางไปข้างหน้า (CDF): ใส่ค่า ได้สัดส่วนสะสม $F(-2\%)=20\%$
• ทางย้อนกลับ (inverse CDF): ใส่สัดส่วน ได้ค่า “10% ที่แย่ที่สุดสิ้นสุดตรงไหน” → $F^{-1}(10\%)=-3\%$ คือ VaR 90%

Normal มาตรฐาน $\Phi$ คือเวอร์ชันต่อเนื่องของตารางเดียวกัน $\Phi(-2.326)=1\%$ คือการเปิดตารางทางไปข้างหน้า (Excel NORM.S.DIST(-2.326,TRUE)) และ $\Phi^{-1}(1\%)=-2.326$ คือทางย้อนกลับ (NORM.S.INV(0.01)) CDF ตอบว่า “ผลขาดทุนขนาดนี้เกิดบ่อยแค่ไหน” inverse CDF ตอบว่า “ผลขาดทุนที่เกิดบ่อยเท่านี้มีขนาดเท่าไร” VaR คืออย่างหลัง

เจาะลึก · ทำไมความน่าจะเป็นมาจาก CDF ไม่ใช่ PDF

สำหรับการแจกแจงต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นคือ พื้นที่ ใต้ PDF; CDF คือพื้นที่สะสมจนถึง $x$ ตัว PDF เองเป็น ความสูง และความสูงไม่ใช่ความน่าจะเป็น

1. จุดเดียวมีความน่าจะเป็น 0: ผลตอบแทนที่เท่ากับ −2.32635…% พอดีมีความน่าจะเป็นศูนย์ เฉพาะช่วงเท่านั้นที่มีความน่าจะเป็น: $\Pr(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
2. PDF คือความหนาแน่น: ความน่าจะเป็นต่อหน่วยของ $x$ เหมือนจำนวนประชากรต่อตารางกิโลเมตร ต้องคูณด้วยความกว้างจึงได้ความน่าจะเป็น ความหนาแน่นจึงเกิน 1 ได้ เช่น เมื่อ $\sigma=1\%$ จุดยอดของ Normal บนแกนผลตอบแทนสูงราว 39.9 ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นไม่ได้
3. ใช้กับ VaR: $\Pr(X\le\operatorname{VaR})=1\%$ ถามถึงพื้นที่หางทางซ้ายของ VaR คือ $F(\operatorname{VaR})=1\%$ จึงใช้ CDF (และตัวผกผัน)
4. φ ในสูตร ES: $\varphi(-2.326)=0.02665$ ไม่ใช่ ความน่าจะเป็น 2.665% มันมาจากอินทิกรัล: ค่าเฉลี่ยหาง $=\int x f(x)\,dx\ \div$ พื้นที่หาง $(1-c)$; เนื่องจาก antiderivative ของ $z\varphi(z)$ คือ $-\varphi(z)$ φ จึงปรากฏเป็นความสูงในผลลัพธ์ ส่วนตัวหาร $1-c$ คือความน่าจะเป็นซึ่งมาจาก CDF
5. ข้อยกเว้น: การแจกแจงไม่ต่อเนื่อง: สำหรับตัวแปรไม่ต่อเนื่อง เช่น จำนวน breach แต่ละค่ามีความน่าจะเป็นบวก และ PMF ให้ความน่าจะเป็นได้เลย เมื่อ $T=250$ ความน่าจะเป็นที่ breach เท่ากับ 2 ครั้งพอดีคือ 25.7% (BINOM.DIST(2,250,0.01,FALSE)) ส่วนสัญญาณไฟจราจรใช้ค่าสะสม (TRUE)

สรุปในบรรทัดเดียว: PDF บอกว่าความน่าจะเป็นหนาแน่นตรงไหน CDF บอกว่าสะสมมาเท่าไรแล้ว การถามหาความน่าจะเป็นคือการถามหาสิ่งที่สะสม

เจาะลึก · ทำไมต้อง supremum และ infimum

ถ้าการแจกแจงต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด $x$ ที่แก้ $F(x)=1-c$ มีค่าเดียว และ $F^{-1}(1-c)$ ก็เพียงพอ แต่ P&L จริงมักเป็น ไม่ต่อเนื่องหรือผสม: historical simulation มีจำนวนจุดจำกัด การผิดนัดชำระของพันธบัตรเป็นเหตุการณ์ 0/1 พอร์ตออปชันกระโดดรอบราคาใช้สิทธิ CDF จึงเป็นขั้นบันได อาจ ไม่มี $x$ ที่ทำให้ $F(x)=1-c$ พอดี หรือมี ทั้งช่วง ของค่า

Infimum บอกว่า “ในบรรดาระดับขาดทุนที่ความน่าจะเป็นสะสมถึงอย่างน้อย $c$ ให้เลือกค่าที่เล็กที่สุด” ทำให้ได้คำตอบเดียวสำหรับทุกการแจกแจง ส่วน supremum บน P&L คือภาพสะท้อนของแนวคิดเดียวกัน

ตัวพิมพ์เล็ก $x$ คือค่าเฉพาะ (dummy variable) ตัวพิมพ์ใหญ่ $X$ คือตัวแปรสุ่ม “$x<\operatorname{VaR}(X)<0$” อ่านว่า ผลขาดทุนเฉพาะค่าหนึ่งที่แย่กว่า VaR